材料力学-第10章 组合变形

z
ey
F
ez
z
Mz
F
My
拉（压）弯组合
y
y
偏心拉伸（压缩）：平行于杆件但偏离轴心的作用力所引
起的杆件变形
2020/4/13
38
材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
偏心拉伸的计算公式：
z
ey
F
ez
轴向力引起的正应力：
N
F A
弯曲引起的正应力：
M
Myz Iy
Mz y Iz
Fez z Iy
Fey y Iz
8
Wy
Wz
h, b
[ ]
最大挠度： wy
5q cos l4
384 EI z
, wz
5qsin l4
384EI y
刚度条件：w
wy2
wz2
l 200
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材料力学－第10章 组合变形
§10-2 非对称纯弯梁的正应力
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
36
材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
Mz
Mz
F
F
t,max c,max
M
N
My Iz
F A
危险点： 正应力最大点（截面最下端）
危险点应力状态：单向应力状态
最大应力：
t,max c,max
M
N
M W
F A
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
偏心拉伸（压缩）
Mz
O
I yz 0 , M y 0 , M z M
y
My
Iz
2020/4/13
材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论 （3）斜弯曲
具有纵向对称面，但外力不作用在对称面内
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
M
My
Mz
Myz Iy
Mzy Iz
1. 令 M 0 ，可得到中性轴方程
My
M
y
M y z0 M z y0 0
Iy
Iz
2. 取 y h , z= mb ，可得到危险点应力大小
2
2
max
Myz Iy
Mzy Iz
My Iy
b 2
Mz Iz
概述
如果这几种变形中，有一个是主要变形，其它变形所 引起的应力（或变形）很小，这时，构件可按主要变形进 行设计、计算。
但是，如果这几种变形所对应的应力（或变形）属于同 一个数量级，这时，不能略去其中的任何一种变形，必须综 合考虑这些变形因素进行设计、计算，此时构件的变形称为 组合变形。
2020/4/13
O Mz z
My
η
n
平衡： FN dA 0 M y zdA
dA 0（对形心轴静矩必为0） y
My
E
zdA
M z ydA
M z
E
ydA
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
E
zdA
M
y
,
E
ydA
M
z
n
y sin z cos
O Mz z
E
I yz sin I y cos
非对称截面梁
F
F
FF
z
F
z
y
y
问题：无对称轴的任意截面梁，形心已知，截面内弯矩M， 求弯曲正应力
O M
关键：中性轴 分析：几何、物理、平衡
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
几何：平截面假设成立，中性轴n-n n
距中性轴η的点的线应变
物理：应力应变关系 E E
z
qsin
q
2634 q
qcos
y
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
解： 危险点 － 跨中截面，最下或最高点
最大弯矩：
M max
1 ql2 8
危险点最大正应力：
max
M y,max Wy
M z,max Wz
1 q sin l2 1 q cos l2
8
可见，矩形截面梁的最大弯曲正应力一
y
定发生在横截面上的棱角处。
A
Mz
My
M
错误！
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A
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面，危险点位置随弯矩方向变化而变化，应力大 小不随弯矩方向改变。
y A
M
A
M
O
x
max
Mr Iz
z
z
M M
y
矩形截面，危险点位置不随弯矩方向变化而变化，始终 在矩形棱角处，但应力大小随弯矩方向改变。
y
M
N
F A
Fez z Iy
Fey y Iz
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
危险点
Mz My
y
偏心压缩时总的正应力：
z
M
N
F A
Fez z Iy
Fey y Iz
代入危险点坐标
y h, 2
z
=
b 2
：
max M N
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1
z
Fy
800
y
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承
受 载 荷 Fy 与 Fz 作 用 ， 且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝
1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许
用应力[σ]=160MPa，校核该梁强度。
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I yz 0 , M y 0 , M z M My
Iz
F
z O
y
F
O
z
y
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论
（2）截面不具有对称面，但外力在形心主惯性平面内
矩形截面：只有两个平面为对称面
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
2020/4/13
F F
F F
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
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材料力学－第10章 组合变形
3
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
+
压弯组合
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4
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
AA
弯扭组合
F
F
Fa B
C
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5
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
弯扭wk.baidu.com合
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6
材料力学－第10章 组合变形
概述
超高层建筑在设计过程中，主要考虑的不再是重力，而是风载与地震载荷
说明：只有当截面为圆形或者正方形时，杆件 弯曲方向与弯矩作用平面一致。
定义：杆件变形方向与弯矩作用平面不在同一 平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
2020/4/13 y
20
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
中性轴
如何确定截面内危险点？
z
M
将中性轴平移，危险截面上距中性轴最 远处即为危险点。
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
max
My Wy
Mz Wz
Fz
2 hb2
0.8
Fy 0.8 hb2
146.5MPa
4. 强度校核
6
6
1 max 146.5MPa 160MPa 该梁安全
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题
矩形截面木檩条，跨长l，受集度q的分布载荷作用，已 知弹性模量E，截面高宽比h/b=3/2，许用应力，许可 挠度l/200。试选择界面尺寸，作刚度校核。
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
问题：对于一些铸铁杆件，希望截面内只有压应力，没有拉应力。 那么，轴向集中力的作用点应该在什么区域内？
轴向力引起的正应力：
N
F A
Mz
z 弯曲引起的正应力：
My
M
Myz Iy
Mz y Iz
Fez z Iy
Fey y Iz
偏心压缩时总的正应力：
I yz 0 , M y M cos , M z M sin
M cos z M sin y
Iy
Iz
中性轴公式： cos z sin y 0
Iy
Iz
tan z I y tan
y Iz
z
O
M
y
中性轴
2020/4/13
材料力学－第10章 组合变形
§10-3 拉（压）弯组合变形
2020/4/13
2020/4/13
10
叠加原理
材料力学－第10章 组合变形
基本方法
变形
线弹性、小变形
分解
基本变形1 基本变形2 基本变形n
叠加
组合变形
2020/4/13
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2020/4/13
材料力学－第10章 组合变形
计算简图
借助于带轮或齿轮传递功率 的传动轴，工作时在齿轮的齿上 均有外力作用。
将作用在齿轮上的力向轴的 截面形心简化便得到与之等效的 力和力偶，这表明轴将承受横向 载荷和扭转载荷。
y
偏心拉伸时总的正应力：
M N
M表达式中，两项之前的正负号需要由实际力的效果决定。图中所 示情况，两号皆为正。
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
偏心压缩时的截面核心
z
ey
F
ez
z
My
F
Mz
压弯组合
y
y
偏心压缩时，轴向压力产生压应力，弯矩在部分截面产生 拉应力，部分截面产生压应力。
h 2
My Wy
Mz Wz
2020/4/13
19
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对中性轴进行分析：
Mz z
My
M
中性轴 y
z
θ
M
令 M 0 ，可得到中性轴方程
M y z0 M z y0 0
Iy
Iz
中性轴角度：
tan z0 I y M z I y M sin I y tan y0 Iz M y Iz Mcos Iz
My
E
Iz sin I yz cos
Mz
My y η
z
nη
y
E cos M y Iz M z I yz
IyIz
I2 yz
E sin M z I y M y I yz
IyIz
I2 yz
tan M z I y M y I yz
M y I z M z I yz
E
My
zI z yI yz M z
材料力学
第十章
组合变形
2020/4/13
1
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的概念 ：
杆件的基本变形 – 杆件的轴向拉伸（压缩）变形 – 杆件的自由扭转变形 – 杆件的平面弯曲变形
工程实际中，构件在外载荷的作用下，经常发生 两种或两种以上的基本变形
2020/4/13
2
材料力学－第10章 组合变形
Mz z
My
M
I yz 0 , M y 0 , M z 0
Myz Mzy
y
Iy
Iz
2020/4/13
材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论
（4）截面不具有对称面，且外力不在形心主惯性平面内
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
1. 将M沿坐标轴方向分解
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
Mz z
My
M
My
Myz Iy
Mz
Mzy Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力
y
M
My
Mz
Myz Iy
Mzy Iz
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
为简单起见，可以用轴线受 力图代替原来的受力图。这种图 称为传动轴的计算简图。
12
材料力学－第10章 组合变形
组合变形的一般步骤
计算简图 剪力图、弯矩图 － 确定危险截面，危险点 危险点处应力状态分析
2020/4/13
13
材料力学－第10章 组合变形
§8－2 两相互垂直平面内的弯曲 （斜弯曲）
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
z
Fy
解： 1. 确定危险截面
800
y
Fa
Mz 2Fa
My
Fz 800
x
x
危险截面在 x 0处
2. 确定危险点
z
y
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
z
Fy
z
800
y
Fz 800
y
3. 计算危险点应力，危险点为单向受拉（压）
2020/4/13
7
材料力学－第10章 组合变形
概述
超高层建筑在设计过程中，主要考虑的不再是重力，而是风载与地震载荷
2020/4/13
8
材料力学－第10章 组合变形
概述
2020/4/13
9
材料力学－第10章 组合变形
基本方法－叠加法 计算简图 危险面、危险点及应力状态
两相互垂直平面内的弯曲（斜弯曲） 拉（压）弯组合 弯扭组合变形 连接件实用计算 铆钉连接的计算
IyIz
I2 yz
yI y zI yz
（广义弯曲正应力公式）
2020/4/13
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论 （1）对称弯曲
具有纵向对称面，且外力作用在对称面内