工程力学 第十章 组合变形
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6
108 MPa ;
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
一、概念： 在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆 件将产生拉（压）弯组合变形。
如斜梁，将力P分解为Px 、
Py 。则垂直于梁轴的横向力PY 如重力坝，自重使坝底受压 使梁产生弯曲变形，轴向力Px使 力，水压力使坝体产生弯曲变 AB梁段产生轴向压缩变形。 形。
第二节
斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
一、强度计算：
1.外力分解：
Py P cos
Pz P sin
z ห้องสมุดไป่ตู้ o K m y
L
Pz o
z x P
Py
x
y
2.内力计算：
M M
z
P y x P cos x M cos ; Pz x P sin x M sin ;
第十章
组合变形
第一节 概述 第二节 斜弯曲 第三节 拉压与弯曲 第四节 偏心拉压 小 结
四种基本变形计算：
变形 外力 内力 (M) 应力 轴向拉压 轴向力 轴力(Ｎ) 正应力 剪切 横向力 剪力(Q) 剪应力 扭转 外力偶 扭矩(Ｍz) 剪应力 平面弯曲A 横向力或外力偶 剪力(Q) 剪应力 弯矩 正应力
max
[ ]
120 cm ;
3
查表选 16 号工字钢，
校核：
max
W z 141 cm , A 26 ,1cm
3
2
;
|
N A
M
max
| 100 . 4 MPa 105
0 0
[ ];
Wz
因此，可选16号工字钢。
第四节
一、概念 ：
偏心拉伸（压缩）
截面核心
受力特点：外力与杆轴线平行但不重合 变形特点：轴向拉压与纯弯曲组合的变形 二、偏心压缩的应力计算：
强度条件：
Z Z
Wy
二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
fy fz p yl 3 EI p zl 3 EI
3
z 3
Pl
3
cos
z
3 EI Pl
3
sin
y
y
3 EI
2
总挠度为：
f
fy fz
2
设挠度f与轴的夹角为α,则可用下式求得：
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的 范围，称为该截面的截面核心。
Thank you!
A
q = 5 K N /m Z P =2K N X y
Pl 2 2 4 KN m 1 2 ql
2
z max
1 2
5 2
2
10 KN m
B
2m
（2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
max
M
z max
M
y max
Wz 10 10 401882
6
Wy 4 10 48283
二、计算：
X
以挡土墙为例 x截面任意点应力：
k
(d) q( x ) (e)
-
N (x) A
M (x) y Iz
;
N( x )
(d) q( x )( d ) q( x ) d ) ( e) ( q( x )( e ) M(x) M(x N( x ) ( C ) ) N( x ) ( C x ) M() [N( x ) ] (C)
分 布 规 律
z
z
z
M
计算 公式
N A
Q A
M x Ip
QS
*
M zy Iz
I zb
第一节
概述
一、概念： 1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以 上的基本变形组合而成的。 2. 组合变形实例 ： y
p m T x m
传动轴
檩条
檩条
檩条
屋 架
y
a
雨
篷
p
tg fz f
y
Iz I
y
tg
例10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自
由端的水平对称平面内受集中力P=2KN的作用。已知截面为25a工字钢,材 料的E= 2 10 5 MPa，试求：梁的最大拉、压应力。
解：（1）固定端截面为危险截面。
M M
y max
P A
M Wz
130 10
3
0 . 18 0 . 28
6 10
6 2
0 . 18 0 . 28
5 . 13 MPa 6
小
结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结
果，然后叠加。 2. 将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分 解为几种基本变形。 综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，
(e) (f) (f) (f)
-
M(x)
(C)
(f)
挡土墙底部截面轴力和弯矩最 大，为危险截面，其最大和最小应 力为： N M
X
N
X
max min
max
max
A
Wz
X
M
强度条件：
max
|
N
max
M
max
|
A
Wz
M
N
例10-2 型号。
简易起重机如图。最大吊重P=8KN，若AB
x ey ez y z p
x ey
z ez
P
y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算
方法与单向偏心拉（压）类似。
1、轴向力P的作用：
N
x
N P
z
P A
P
z o
mz
y b
my
c
m 2、 z 的作用：
mz
M I
z
y
mz I
z
y (b)
d
a
m 3、 y 的作用：
P A mz Iz
y
y y
y + + + + + +
zz
+ +
z
+
m xm x
mx
- -
m ym y
my
Z
y
M y
z y (设 z y )
应力计算：
M yz Iy
Z
IZ
最大应力：
max
max
M IZ
M W
Z
. y max
M
y
M Iy
y
. z max
e p
内力：N=P, M=Pe
应力： ＝
N
M
N A
M y Iz
;
h
强度条件：
max min
P A
Pe Wz
[ ];
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算
外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一 个形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 e y 和 e z 的某一点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双 向偏心拉伸：
N max 40 KN , 在 AC 梁段。
N max 40 KN , 在 AC 梁段。
（3）应力计算：
max
M
N A
max
M
max
Wz |
max
; 在 C 左 截面下边缘； |; 在 C 右 截面上边缘。
max
Wz
（4）强度计算：
设计： W z M
并建立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1. 斜弯曲：
max
M
z
M Iy
y
[ ];
Wz
max
2. 轴向拉压与弯曲：
|
N max A
M
max
| [
]
Wz
3. 偏心拉压：
max min
P A
Pe Wz
[ ];
杆为工字钢, A3钢的[σ]＝100Mpa，试选择工字钢的
T X A A YA a C
Ty
B P
TX
D
0 .8 m
a
A C
12 kN .m
B
2 .5 m
2 .5 m P
40 kN
解：（1）内力计算：
M
max
T 42 kN
M
max
12 KN m , 在 C 截面；
12 KN m , 在 C 截面；
烟
q G
牛 腿 柱
囱
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） 二、计算方法 ：
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载 分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解----应先分解为各种基本变形，分别计 算各基本变形。 后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即 得组合变形的结果。
z
h 6 h 6
4 1 2 3
z
z
z
b
h 6
h 6
y
y
y
D 8
D
y
h
例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车 梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面 不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
P1 e P 2
解：1.求内力：
M=P2 e=6KN.m
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
max
P A
M Wz
130 10 0 . 18 h
3
6 10 0 . 18 h
2
6
0; 6
b z o
h
e y h
h 276 . 9 mm , 取 h 280 mm .
max
M y Iy
my
M I
y
y
Z
m I
y y
Z
y
Z
P A
Pe y Iz
Pe z y Z Iy
强度条件：
Pe z [ ] A Wz Wy
P
Pe y
四、截面核心：
max
N bh
(1
6e h
) 0;
e
h 6
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段 内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可 确定其它截面的截面核心。
108 MPa ;
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合作用
一、概念： 在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆 件将产生拉（压）弯组合变形。
如斜梁，将力P分解为Px 、
Py 。则垂直于梁轴的横向力PY 如重力坝，自重使坝底受压 使梁产生弯曲变形，轴向力Px使 力，水压力使坝体产生弯曲变 AB梁段产生轴向压缩变形。 形。
第二节
斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。
一、强度计算：
1.外力分解：
Py P cos
Pz P sin
z ห้องสมุดไป่ตู้ o K m y
L
Pz o
z x P
Py
x
y
2.内力计算：
M M
z
P y x P cos x M cos ; Pz x P sin x M sin ;
第十章
组合变形
第一节 概述 第二节 斜弯曲 第三节 拉压与弯曲 第四节 偏心拉压 小 结
四种基本变形计算：
变形 外力 内力 (M) 应力 轴向拉压 轴向力 轴力(Ｎ) 正应力 剪切 横向力 剪力(Q) 剪应力 扭转 外力偶 扭矩(Ｍz) 剪应力 平面弯曲A 横向力或外力偶 剪力(Q) 剪应力 弯矩 正应力
max
[ ]
120 cm ;
3
查表选 16 号工字钢，
校核：
max
W z 141 cm , A 26 ,1cm
3
2
;
|
N A
M
max
| 100 . 4 MPa 105
0 0
[ ];
Wz
因此，可选16号工字钢。
第四节
一、概念 ：
偏心拉伸（压缩）
截面核心
受力特点：外力与杆轴线平行但不重合 变形特点：轴向拉压与纯弯曲组合的变形 二、偏心压缩的应力计算：
强度条件：
Z Z
Wy
二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
fy fz p yl 3 EI p zl 3 EI
3
z 3
Pl
3
cos
z
3 EI Pl
3
sin
y
y
3 EI
2
总挠度为：
f
fy fz
2
设挠度f与轴的夹角为α,则可用下式求得：
三、截面核心：
使截面上只产生压应力而无拉应力时，外力作用的 范围，称为该截面的截面核心。
Thank you!
A
q = 5 K N /m Z P =2K N X y
Pl 2 2 4 KN m 1 2 ql
2
z max
1 2
5 2
2
10 KN m
B
2m
（2）由于截面对称，最大拉压应力相等。
max
M
z max
M
y max
Wz 10 10 401882
6
Wy 4 10 48283
二、计算：
X
以挡土墙为例 x截面任意点应力：
k
(d) q( x ) (e)
-
N (x) A
M (x) y Iz
;
N( x )
(d) q( x )( d ) q( x ) d ) ( e) ( q( x )( e ) M(x) M(x N( x ) ( C ) ) N( x ) ( C x ) M() [N( x ) ] (C)
分 布 规 律
z
z
z
M
计算 公式
N A
Q A
M x Ip
QS
*
M zy Iz
I zb
第一节
概述
一、概念： 1. 组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以 上的基本变形组合而成的。 2. 组合变形实例 ： y
p m T x m
传动轴
檩条
檩条
檩条
屋 架
y
a
雨
篷
p
tg fz f
y
Iz I
y
tg
例10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自
由端的水平对称平面内受集中力P=2KN的作用。已知截面为25a工字钢,材 料的E= 2 10 5 MPa，试求：梁的最大拉、压应力。
解：（1）固定端截面为危险截面。
M M
y max
P A
M Wz
130 10
3
0 . 18 0 . 28
6 10
6 2
0 . 18 0 . 28
5 . 13 MPa 6
小
结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结
果，然后叠加。 2. 将荷载沿杆轴的相应方向分解，将组合变形分 解为几种基本变形。 综合各种基本变形截面的内力，判断危险截面，
(e) (f) (f) (f)
-
M(x)
(C)
(f)
挡土墙底部截面轴力和弯矩最 大，为危险截面，其最大和最小应 力为： N M
X
N
X
max min
max
max
A
Wz
X
M
强度条件：
max
|
N
max
M
max
|
A
Wz
M
N
例10-2 型号。
简易起重机如图。最大吊重P=8KN，若AB
x ey ez y z p
x ey
z ez
P
y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算
方法与单向偏心拉（压）类似。
1、轴向力P的作用：
N
x
N P
z
P A
P
z o
mz
y b
my
c
m 2、 z 的作用：
mz
M I
z
y
mz I
z
y (b)
d
a
m 3、 y 的作用：
P A mz Iz
y
y y
y + + + + + +
zz
+ +
z
+
m xm x
mx
- -
m ym y
my
Z
y
M y
z y (设 z y )
应力计算：
M yz Iy
Z
IZ
最大应力：
max
max
M IZ
M W
Z
. y max
M
y
M Iy
y
. z max
e p
内力：N=P, M=Pe
应力： ＝
N
M
N A
M y Iz
;
h
强度条件：
max min
P A
Pe Wz
[ ];
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算
外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一 个形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 e y 和 e z 的某一点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双 向偏心拉伸：
N max 40 KN , 在 AC 梁段。
N max 40 KN , 在 AC 梁段。
（3）应力计算：
max
M
N A
max
M
max
Wz |
max
; 在 C 左 截面下边缘； |; 在 C 右 截面上边缘。
max
Wz
（4）强度计算：
设计： W z M
并建立相应的强度条件来进行强度计算。
二、各种组合变形杆件的强度条件：
1. 斜弯曲：
max
M
z
M Iy
y
[ ];
Wz
max
2. 轴向拉压与弯曲：
|
N max A
M
max
| [
]
Wz
3. 偏心拉压：
max min
P A
Pe Wz
[ ];
杆为工字钢, A3钢的[σ]＝100Mpa，试选择工字钢的
T X A A YA a C
Ty
B P
TX
D
0 .8 m
a
A C
12 kN .m
B
2 .5 m
2 .5 m P
40 kN
解：（1）内力计算：
M
max
T 42 kN
M
max
12 KN m , 在 C 截面；
12 KN m , 在 C 截面；
烟
q G
牛 腿 柱
囱
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） 二、计算方法 ：
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载 分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。
2. 计算方法： “先分解，后叠加。” 先分解----应先分解为各种基本变形，分别计 算各基本变形。 后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即 得组合变形的结果。
z
h 6 h 6
4 1 2 3
z
z
z
b
h 6
h 6
y
y
y
D 8
D
y
h
例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊车 梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截面 不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
P1 e P 2
解：1.求内力：
M=P2 e=6KN.m
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
max
P A
M Wz
130 10 0 . 18 h
3
6 10 0 . 18 h
2
6
0; 6
b z o
h
e y h
h 276 . 9 mm , 取 h 280 mm .
max
M y Iy
my
M I
y
y
Z
m I
y y
Z
y
Z
P A
Pe y Iz
Pe z y Z Iy
强度条件：
Pe z [ ] A Wz Wy
P
Pe y
四、截面核心：
max
N bh
(1
6e h
) 0;
e
h 6
即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段 内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可 确定其它截面的截面核心。