3 工程力学静力学第三章 平面一般力系

■ 平衡方程的其它形式的证明 二矩式： 1 二矩式： Σ X= 0 2 三矩式： 矩式：
附加条件： 附加条件：
B A
附加条件： 附加条件：
B
x
A
C
A、B 连线不垂直
于x 轴
A、B、C 三点不
在同一条直线上
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■二矩式的证明： 二矩式的证明： 二矩式成立 平 衡 必要性 即 r ′ FR = 0 ， MO＝0 ∴ ∵ 平衡 则，力系的主矢在任一轴上的投影为零； 力系的主矢在任一轴上的投影为零； 对任一点的矩为零。 对任一点的矩为零。 ∴ 充分性 即
轴不与AB连线垂直 且 x 轴不与 连线垂直
AB
必有：合力为零，即力系平衡。 ∴ 必有：合力为零，即力系平衡。 三矩式的证明类似，请大家自己证明。 三矩式的证明类似，请大家自己证明。
证毕
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特殊力的平衡方程
平面汇交力系： 平面平行力系： 有力平行于x轴 平面力偶系:
∑F
∑
ix
Hale Waihona Puke =0∑Fiy=0
i
F =0
2
3
2
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下面讨论分布载荷合力Q的大小： Q qx c q1 qx
Q =
O x l dx
x
∫
q 1l = 2
q1 q x dx = ∫ xdx 0 l
= 分布载荷的面积
q1 = x l l
利用合力矩定理，设合力Q的作用点 Q
分布载荷合力Q的作用位置：到原点的距离为C，向O点取矩有：
Qc = ∫ q x dx ⋅ x =
解得：
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P=− − +2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA =P+qa−RB =20+20×0.8−12=24(kN)
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例：求图示梁支座 的约束反力。已知 ：
y F
Fy
F
FB
F = 2kN a = 2m
解:取梁为研究对象。 受力图如图示。建 立坐标系，列平衡 方程：
G=300KN X=1.25m
A
B
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例：图示简支梁，求A、B两处的约束反力。 q1 q2 A l l y 解：研究AB，受力如图： 建坐标如图 XA A x YA B q1 q2 B
∑ X = 0 XA=0 NB q 1l − q 2 l =0 ∑Y = 0 YA+ NB 2 ∑ mo = 0 N ⋅ 2 l − 1 q l ⋅ 2 l − q l ⋅ ( l + l ) = 0 B 1 2
XA =0
YB + N B − P = 0,
P ∴Y A = 3
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[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 例 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由∑ X = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∑ Y = 0 ∴Y A + RB − qa − P = 0
∵
二矩式成立。 二矩式成立。 平 衡
二矩式成立
力系不可能合成为合力偶， ∴ 力系不可能合成为合力偶， 只可能合成为合力或平衡。 只可能合成为合力或平衡。
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由 由 又有 Σ X= 0
若有合力， 若有合力，则合 力作用线过A点。 若有合力， 若有合力，则合 力作用线过B点。
B A
x
合 力 作 用 线 过
2 R = Rx2 + R y = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
∑Y α = arctg ∑X
R=ΣFi 与简化中心无关
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力系向一点简化： 力系向一点简化 通过简化中心的平面汇交力系 通 过简化中心的力， 过简化中心的力，与简化中心的位置无关 。 （绝对的，主矢决定于原力系中各力的大 绝对的， 小和方向） 小和方向） 平面力偶系： 平面力偶系：与简化位置有关 （相对的，主矩的大小和转向取决于简化 相对的， 中心的位置） 中心的位置）
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平面一般力系简化结果的应用------固定端约束的反力。 简图： R
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力， 两个正交分力，一个反力偶
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第二节
平面一般力系的简化结果分析
R——主矢 R=ΣFi 与简化中心无关 R ′ 主矢 MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化中心有关
′ ， ① R =0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专 门讨论。 ② R ′=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
FNAx − FNCx = 0
− FNCy + FNAy − G = 0
6 FNAx + 5G − 6 FNAy = 0
解之得： FNAx
= 9.2kN FNCx = 9.2kN FNCy = 2.5kN
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所以：
FNBx = 9.2kN
第四节
平面桁架
由若干个杆件彼此在两端铰接 而成的一种结构,受力后其几何 形状不发生改变，如: 桥梁、 井架、高压电线杆、起重机架 等，称之为桁架。
R' = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2 = 0 M O = ∑mO ( Fi ) = 0
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∑
X =0
∑X =0
∑ m A ( Fi ) = 0
∑ m A ( Fi ) = 0 ∑ mB ( Fi ) = 0 ∑ mC ( Fi ) = 0
③三矩式 条件： 条件：A,B,C不在 不在 同一直线上
A
B
平面平行力系(平面力系中各力的作用线互相平行，则称为平行力系)的平衡 的平衡 平面平行力系
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解：设左边铁轨对起重机的支撑力为FA，右边铁轨对 起重机的支撑力为FB。则：空载时，此时FB=0；满载 时，FA=0。 空载时，以A点为矩心，列平衡方程： GX-0.75G1 =0 (1)
满载时，以B点为矩心，列平衡方程： G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2) 由（1）、（2）可得：
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。 ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， ③ R′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, R = R ′ 。（此时 （ 此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
工程力学
Engineering Mechanics
2
§3–1 平面一般力系向作用面内任一点简化 §3–2 平面一般力系的简化结果分析 §3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §3-4 §3-5 §3-6 平面桁架 静定与静不定问题的概念 摩擦
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第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化
平面一般力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用 平面一般力系 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面 一般力系.如图起重机横梁。
FAy FAx G
FT
Q
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平面一般力系的简化
F′
O d A F
F′
=
O d
M A
F″
M (F，F ′′) = ± Fd = M O (F )
力线平移定理
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 作用于刚体上的力， 作用于刚体上的力 任意一点，但必须附加一力偶， 任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩 等于原力对平移点的力矩。 等于原力对平移点的力矩。
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作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为 一个力，称为该力系的主矢 主矢，其作用线过简化中 主矢 心点O。各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶 主矩。主矩等于各分力对简化 矩，称为该力系的主矩 主矩 中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上, 如图示
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.O
O——简化中心
R——主矢 主矢 R=Σ i 与简化中心无关 =ΣF =Σ
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基本三角形) 力学中的桁架模型 ( 基本三角形) 三角形有稳定性
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工程力学中常见的桁架简化计算模型
MO
R
MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化 主矩
中心有关
.O
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R——主矢 主矢
R=Σ i 与简化中心无关 =ΣF =Σ
y MO
MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化 主矩
中心有关 讨论 :主矢 R=Σ i =ΣF =Σ 其大小 Rx =
R
. Oα
x
x y
Ry
∑F = ∑X = ∑ F = ∑Y
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[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 例 解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上） 解除约束
由∑ m A ( Fi ) = 0 2P − P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B = 3
∑X =0 ∑Y = 0
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解:取整体 整体为研究对象 整体 画出受力图，并建立 如图所示坐标系。列 平衡方程
12 FNBy − 9 P − 11G − G = 0
FNAx − FNBx = 0
FNAy + FNBy − P − 2G = 0
解之得： F
NBy
= 47.5kN
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FNAy = 42.5kN
取左半拱 左半拱为研究对象画出 左半拱 受力图，并建立如图所示 坐标系。列解平衡方程 ：
i
(F ∑ M (F ) = 0
∑ M =0
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求解平面一般力系平衡问题的一般方法步骤 1. 选取正确的研究对象，取分离体，作受力图。 2. 建立适当的坐标系（一般为平面直角坐标系） 坐标轴的选择： a：坐标轴的选择应尽可能使较多的力与坐标轴 平行或垂直。 b：尽可能将坐标原点设在较多的力的汇交处。 3. 列出平衡方程求出未知力 a：尽可能列一个方程求解一个未知数，注意列 出的次序 b：矩心的选择尽可能在比较多的力（未知力） 的汇交处。