理论力学 动能定理
理论力学第十三章动能定理
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系 图示弹簧原长 ， 一端固定在点O， 数k=4.9KN/m,一端固定在点 ，此点 一端固定在点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的圆周上。 在半径为 的圆周上 的另一端由点B拉至点 和由点A拉至 拉至点A和由点 的另一端由点 拉至点 和由点 拉至 垂直BC， 和 为直径 为直径。 垂直 点D，AC垂直 ，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。 分别计算弹簧力所作的功。
1 2 ⇒ d( mυ ) =δw 2
——质点动能定理 ——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 ——质点动能定理 m 2 − m 1 =W ——质点动能定理 υ υ2 12 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中， 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 作用于质点的力作的功。
0−0 = mgl(1−cosϕ1) −
mgl(1−cosϕ2) −W k
冲断试件需要的能量为
W = 78.92J k
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r 为均质圆盘；曲柄重Q 作用一力偶, 矩为M 常量), 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 的函数表示) 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加 速度。 速度。 解：取整个系统为研究对象
dt
由 δW = F·dr 得 ，
dr P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
力学中的动能定理
力学中的动能定理力学中的动能定理是描述物体运动能量变化的重要定律之一。
它通过分析物体的速度、质量和作用力等因素，深入揭示了动能的转化和守恒规律。
本文将从动能定理的基本原理、应用领域以及实际案例等方面进行探讨。
一、动能定理的基本原理动能定理是基于牛顿第二定律而推论出的一个重要关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
而动能则是描述物体运动状态的一种量度，与物体质量和速度平方成正比。
基于这两个定律，我们可以推导出动能定理的表达式：动能定理公式：物体的净动能变化等于作用在物体上的净力乘以物体的位移。
即：△K = W其中，△K代表物体的净动能变化，W代表作用在物体上的净力所做的功。
二、动能定理的应用领域动能定理在力学中有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域：1. 机械工程：在机械工程中，动能定理常常用于分析和优化各种机械系统的动力学性能。
例如，通过对发动机的动能定理进行分析，我们可以评估其动力输出和燃油消耗等性能指标。
2. 车辆碰撞：在交通事故中，动能定理可以帮助我们分析车辆碰撞前后的能量变化和力的作用情况。
基于动能定理的分析结果，我们可以判断碰撞后车辆的速度和撞击力大小，从而进一步研究事故的原因和后果。
3. 物体运动：在物体运动学中，动能定理是研究物体加速度和速度变化的重要工具之一。
通过动能定理，我们可以计算物体在不同位置的动能大小，从而揭示了物体在空间中的运动规律。
三、实际案例：汽车刹车过程中的动能定理应用为了更好地理解动能定理的应用，我们以汽车刹车过程为例进行探讨。
当汽车行驶过程中，司机踩下刹车踏板，刹车系统施加一定的制动力。
根据动能定理，汽车的净动能变化等于刹车制动力所做的功。
在刹车过程中，汽车的动能逐渐减小，同时刹车制动力对汽车产生的负功使其减速。
通过动能定理的分析，我们可以得出以下结论：1. 汽车的净动能变化为负，代表动能被转化成其他形式的能量，如热能、声能等。
理论力学——动能定理
W12 M z dj
j1
j2
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
第十三章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率· 功率方程· 机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。
13.1 力的功
13.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力 F 在微小弧段上所作的功称为力的元功 , 记为 dW, 于是有
δW F cos d s
力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1
ds dr
M'
F
M2
W F cos ds
0
s
上式称为自然法表示的功的计算公式。
I 为AB杆的瞬心
v IA
系统分析
v l sin
v
C
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
TAB
T总
2
A
1 2 I I AB 2
1 9 M 4m v 2 12
理论力学公式范文
理论力学公式范文理论力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律。
其核心是用数学方法描述物体受力和运动的关系，从而推导出力学公式。
下面将介绍几个重要的理论力学公式。
1. 牛顿第二定律：F = ma牛顿第二定律是理论力学的基础公式之一，描述了物体受力和加速度之间的关系。
它说明了一个物体所受合力与其质量乘以加速度之间的关系。
在这个公式中，F代表合力，m代表物体质量，a代表物体的加速度。
2.动能定理：W=ΔK动能定理描述了物体动能的变化与力做功之间的关系。
根据这个定理，物体动能的增量等于力对物体所做的功。
其中，W为力所做的功，ΔK为物体动能的变化量。
3.动量定理：FΔt=Δp动量定理描述了力的作用使物体动量发生变化的关系。
它表明力与物体作用时间的乘积等于物体动量的变化量。
其中，F为力的大小，Δt为力的作用时间，Δp为物体动量的变化量。
4. 弹性势能：U = 1/2kx^2弹性势能描述了弹性体由于变形而具有的储存能量。
对于弹性体来说，当其形状发生变化时，会具有恢复力，并且会储存一定的能量，这部分能量就是弹性势能。
其中，U为弹性势能，k为弹簧劲度系数，x为弹性体的变形量。
5.万有引力定律：F=G*(m1*m2)/r^2万有引力定律是描述两个物体之间引力作用的公式。
根据这个定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
其中，F为引力的大小，G为万有引力常数，m1和m2为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
以上是几个重要的理论力学公式，它们是理论力学研究的基础，被广泛应用于科学研究和工程实践中。
通过这些公式，我们可以准确地描述和解释物体运动的规律，进而预测和控制各种物理现象。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学动能定理
12
2
mi ri 2
即
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC
2
即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。
§14-3 动能定理
1、质点的动能定理
将 m d F 两端点乘 dt dr ，
1.势力场
力场 F F x, y, z 如：重力场、弹性力场、万有引力场
势力场： 物体在力场内运动，作用于物体的力的功只 与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。
2.势能：在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，
有势力所作的功。
V M0 F dr M
M 0 称零势能点
4．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M1M2F
ds
M1M
2
f
'Nds
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于速度瞬心C，瞬心的元位移
dr vCdt0 W Fdr FvCdt0
dt
得 m d F dr
由于 m d d(1 m2 ), F dr w,
2 因此 d(1 m 2 ) w
2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点
动能的微分等于作用在质点上力的元功。
理论力学第13章动能定理
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
理论力学课件：动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
理论力学 第9章 动能定理
φ
v
S
W=F·S=FScosφ
9.2.2 几种特殊力的功
z M1
M
2. 重力的功
设质点由M1运动到M2，重力的在坐标轴上的投影：
z1 P
M2
Fx=0，Fy=0，Fz=－P
o
z2
y
x
对于质点系，有
特点：重力的功只与重心的起止位置的高度差有关，而与路径无关。
9.2.2 几种特殊力的功
3. 弹性力的功 设弹簧原长为l，刚度系数为k，
求: 轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解: 轮C与轮O共同作为一个质点系
W 12 M m 2 g s s in T1 0
T2
1 2
(
m1
R12
)
2 1
1 2
m2v22
1 2
1 ( 2
m
2
R
2
2
)
2 2
1
vC R1
,2
vC R2
W 12 T2 T1
M
m2 gs sin
vC 2 4
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作 用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.
3、理想约束
为什么？
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等 约束的约束力作功等于零.
称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可. 质点系内力作功之和不一定等于零.
( 2 m1
3m2 )
(a)
s
R1
vC 2
(M m2 gR1 sin )s
R1 (2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
理论力学动能定理
的等效力（其力矢为力系的主矢）在质心的位移上所作
的功。
③ 作用在定轴转动刚体上的力的功
作用在定轴转动刚体上的力系的元功为
dW dWi ω M z (Fi )dt M z (Fi )d M z d
作用在定轴转动刚体上的力系的功等于力系向转轴 简化的等效力偶（其力偶矩为力系对转轴的主矩）在刚 体的角位移上所作的功。
drAB
B
drAB // FB
y
drAB可以分解为平行于FB与垂直于FB的两部分，即
drAB drAB // drAB
内力元功之和
dW i FB drAB FB (drAB// drAB ) FBdrAB //
当A、B的距离变化时，内力的元功之和不等于零。
工程中常用的弹簧力的功就是内力的功。设弹簧的
② 作用在平移刚体上的力的功
设力F在质点系上的作用点的速度为v，则在时间dt
内，力F的元功为
dW F dr F vdt
刚体平移时，在任一瞬时刚体上的各点的速度相同， 则作用在刚体上的力系的元功为
dW Fi dri Fi vdt Fi drC FR drC
例如质点系在重力场中各质点的z坐标为 时为零势能点位置，则各质点z坐标为 时的势能为
z10 , z20 ,, zn0
z1 , z2 , , zn
V mi g ( zi zi 0 )
质点系的重力势能可写为
V mg ( zC zC 0 )
(4) 有势力的功
设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从 点M1到点M2，该力所作的功为W12。若取M0为零势能点， 则从M1到M0和从M2到M0有势力所作的功分别为M1和M2 位置的势能V1和V2。因有势力的功与轨迹形状无关，而 由M1经过M2到达M0时，有势力的功为
理论力学动能定理
光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细 绳作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。 滑动摩擦力作负功。
当轮子在固定面上只滚不滑时，滚动摩擦力不作功。
变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功； 刚体所有内力作功的和等于零。
例2 卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已 知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱 的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α， 圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路 程S 时的速度。 解：以系统为研究对象， 受力如图。系统在运动过程中 所有力所作的功为
vC 1 R1
2 1
1 2 J c m2 R2 2
vC 2 R2
m2g
FS
FN
于是
2 vC T2 (2m1 3m2 ) 4
FOy M O C m1g FOx
由 T2 T1 W12 得
m2g
FS
FN
2 vC s (2m1 3m2 ) 0 M m2 g sin s 4 R1
1 2 d mv W 2
－－质点动能定理微分式
即：质点动能的增量等于作用于质点上外力所作的 元功。
1 1 2 2 积分后得： mv2 mv1 W 2 2 或： T2 T1 W
即：在一段路程中，质点动能的改变量等于作用于质 点上外力在路程上所作的功。
二、质点系的动能定理
的联系，这是一种能量传递的规律。
§13－1 力的功
一、力的功
力的功是力在一段路程内对物体作用的积累效应
的度量。力做功的结果是使物体的机械能发生变化
1、常力功的计算
动能定理及相关应用
动能定理及相关应用动能定理是力学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与物体受力和位移的关系。
本文将介绍动能定理的概念、公式推导以及其在实际应用中的意义和重要性。
一、动能定理的概念与公式推导动能定理是描述物体动能变化的物理定理，它可以用数学公式表达为：物体的动能变化量等于物体所受合外力进行的功。
假设物体的质量为m，初始速度为v₁，末速度为v₂，物体在受力F作用下发生位移s。
根据牛顿第二定律F=ma，可以得出物体所受合外力F=ma。
根据功的定义，可以得出物体所受合外力所进行的功为W=Fs，而动能的定义是E=1/2mv²。
因此根据动能变化的定义可以得出：ΔE=1/2mv₂²-1/2mv₁²=W二、动能定理的应用1. 物体速度与动能的关系从动能定理的公式可以看出，物体的动能变化量与物体速度的平方成正比。
这意味着当物体的速度增加时，其动能也会增加。
例如，在汽车行驶过程中，当车辆的速度增加时，其动能也会相应增加，这就是为什么车辆在高速行驶时需要更长的制动距离来停下的原因。
2. 动能定理与工作定理的关系动能定理与工作定理都是描述物体动能变化的定理。
两者的区别在于，动能定理强调了物体所受力所进行的功与动能的关系，而工作定理强调了物体所受力通过位移所做的功与动能的关系。
两者可以相互转化和推导，从不同角度理解和描述物体的运动规律。
3. 动能定理在机械能守恒中的应用根据动能定理，如果物体所受的合外力为零，则物体的动能保持不变，即动能守恒。
这在机械能守恒中起着重要作用。
例如，在自由落体运动中，物体只受重力作用，而重力所进行的功是负值，因此根据动能定理可以得出物体的动能会增加，即下落过程中的动能转化为势能。
4. 动能定理在运动学分析中的应用动能定理可以用于运动学分析，通过计算物体所受的合外力和物体的位移，可以推导出物体的速度和位置的关系。
例如，在弹性碰撞中，根据动能定理可以计算出物体在碰撞过程中的速度变化。
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
理论力学：动能定理
9. 动能定理动能：是描述质系运动强度的一个物理量，任一质点在某瞬时的动能为212i i m v 。
质点动能定理的微分形式：作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。
质点动能定理的积分形式：作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改变量。
力的元功:力在一无限小位移中力所做的功。
力在有限路程上的功：力在此路程上元功的定积分21d M M W =⋅⎰F r 。
理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。
质系动能定理的微分形式：在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和，即d δF T W =∑。
质系动能定理的积分形式：质系在任意有限路程的运动中，起点和终点动能的改变量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和，即21i T T W -=∑。
质点系的动能：组成质点系的各质点动能的算术和，即2112ni i i T m v ==∑。
柯尼西定理：平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。
功率：在单位时间内所做的功。
力场：如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场。
势力场或保守力场：如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。
质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。
势能：在势力场中，质点由某一位置M 运动到选定的参考点M 0的过程中，有势力所做的功，以V 表示，即0x d d d d M M y z MMV F x F y F z =⋅=++⎰⎰F r 。
保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质系。
机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和。
机械能守恒定律：保守系统在运动过程中，其机械能保持不变。
即，质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。
理论力学：第9章 动能定理
δ。小球运动时所受的力有重力 FP 和弹性力 F。当小球由 O 运
动到 B 时，重力 FP 所做的功等于 FPδ；至于弹性力 F 所做的
功，在式（9-9）中令
δ1=0，δ2=δ，即知为
速不变。已知绞车 І 的半径为 r1，其对轴的转动惯量为 I1；滑轮Ⅱ、Ⅲ的半径各
为 r2 、r3，对轴的转动惯量各为 I2、I3；链带的单位长度重量为 q，全长为 l。试
求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。
FP 2 FP1
例 9-5 图
·9·
解：用功率方程求解，设链带速度为 v，系统总动能、有用功率、无用功率为
如果用微分形式的动能定理求解此题，则要注意到
δ WF
FPdy
k
y 2
d
y 2
δ WF
FP
k 4
y dy
将式（d）和式（h）代入式（9－21），得
d
8FP 3Q 16g
v
2 A
FP
k 4
y
dy
此式两边被 dt 除，同样得到物块 A 的微分方程（g）。
k 2
2
。由质点动能
定理得 即
0
1 2
FP g
v02
FP
k 2
2
k
2
2FP
FP g
v02
0
解得
1 k
理论力学11动能定理
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
9
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
F d (rA rB ) F d (BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零。
功的计算公式中力作用点的含义应包括三方面： （1）受力点：受力物体（分析对象）上直接受到力的那个点； （2）加力点：施力物体上加力的那个点，该瞬时与受力点的接触点； （3）力点：力作用点的空间位置。 任何瞬时这三个点都是重合的，但在很多情况下，这三个点具有不同的运 动和轨迹。 功的正确计算： dr 和 v应当为受力点的位移和速度。
即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dT W (F) ; T2 T1 W (F)
5
若将质点系中的受力分为外力、内力，则有外力功和内力功
T2 T1 W12
W12 i
ri 2 ri1
F (e)
i
dri
i
ri 2 ri1
F (i)
i
dri
什么是动能定理
什么是动能定理动能定理是热力学中的一个重要定理，它描述了物体动能与外力的关系。
根据动能定理，一个物体的动能的变化等于作用在该物体上的合外力对该物体所做的功。
动能定理可以用数学公式表示为：\[\Delta KE = W_{\text{{ext}}}\]其中，\(\Delta KE\)表示动能的变化，\(W_{\text{{ext}}}\)表示外力所做的功。
动能定理可以帮助我们理解物体在运动过程中动能的变化情况，进而推导出其他与能量相关的重要性质和定理。
下面将从理论和实际应用两个方面来探讨动能定理。
一、理论基础根据牛顿第二定律，物体的加速度与其所受合外力成正比，也与物体质量成反比。
根据牛顿第二定律的推导，可以得到一个重要的公式：\[F = m \cdot a\]其中，\(F\)表示物体受到的合外力，\(m\)表示物体的质量，\(a\)表示物体的加速度。
当一个物体受到合外力的作用时，它会发生加速度变化，从而使它的速度发生改变。
根据动能的定义，物体的动能等于其质量乘以速度的平方的一半：\[KE = \frac{1}{2}m \cdot v^2\]其中，\(KE\)表示物体的动能，\(m\)表示物体的质量，\(v\)表示物体的速度。
根据对物体运动过程中的动能和力的分析，可以推导出动能定理。
二、实际应用动能定理在实际生活和工程中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的例子：1. 跳水运动中的应用：跳水选手在空中进行各种动作时，需要通过调整身体的动能来完成飞身、旋转等动作。
跳水选手可以利用动能定理来帮助控制动作的完成程度和稳定性。
2. 交通工具的设计：例如汽车、火车等交通工具在设计中需要考虑能量的转换和利用。
动能定理可以帮助工程师了解车辆加速、刹车以及行驶过程中能量的变化规律，从而优化设计方案，提高能源利用效率。
3. 机械工程和结构工程中的应用：在机械工程和结构工程中，需要对各种力进行计算和分析。
动能定理可以提供力与动能之间的关系，帮助工程师进行力的计算和分析，并了解物体在不同力作用下的动能变化情况。
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第11章动能定理
即质点系的动能等于其随质心平
B
C
θ
A
B
θC
P
A
2r
O
r C
力的功
2r
O
r C
A
P
2r
O
r C
A
P
2r
O
r C
A
P
s
汽车驱动问题
能量角度：汽缸内气体爆炸力是内力，不改变汽车的动量，但使汽车的动能增加。
动量角度：地面对后轮的摩擦力是驱动力，使汽车的动量增加，但不做功，不改变汽车的动能。
内力不能改变质点系的动量和动量矩，但可以改变能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变能量。
例题11-8
水平悬臂梁AB，B端铰接
滑轮B，匀质滑轮质量
m1，半径r；绳一端接滚
，
轮C，半径r，质量m
2
视为质量集中在边缘；
绳另端接重物D，质量
m3。
求重物加速度。
C
ωD
v B
ωC
v 解：末位置是一般位置
h
const 01==T T =2T 2321D v m 2
2
1B B J ω+221C
P J ω+运动学关系
r
r v v B C C D ωω===2
121r
m J B =2
222222r
m r m r m J P
=+=2
321222121D
v m m m T ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛++=gh m W 312=
C
ωD
v B
ωC
v h
12
12W T T =−gh m T v m m m D 302
32122121=−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛++对t 求导
h g m v
v m m m D D &&33210)22
1(=−++D
v h =&D D a v
=&g
m m m m a D 3213
22
1
++=
例11-9
匀质圆盘和滑块的质量均为m。
圆盘的半径为r。
杆平行于斜面，其质量不计。
斜面的倾斜角为θ。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为μ。
圆盘在斜面上作纯滚动。
试求滑块下滑加速度。
12
12W T T =−0
1=T 22
222
12121mv
J mv T A ++=ω解
()s
F F mgs mgs W B A +−+=θθsin sin 12θ
μcos mg F F B A ==取导
2
2
1,mr
J v r A ==ω224
5mv
T =()θμθcos sin 24
52
−=gs v a v v s
==&&,()θμθcos sin 5
4
−=g a F A 是静摩擦力，理想约
束，不作功。
a. 重力场中的势能
b. 弹性力场中的势能
取M 0为零势能点，则点M 的势能为：
)
(0z z mg V −=)
(2
202
δδ−=k V 取弹簧原长为零势能点，则有：
2
2
δ
k V =取弹簧
为零势能点，则有：
δ。