第二讲：有理数概念

有理数基本概念

1.有理数分类

⎧⎧⎫⎪

⎪⎪⎬⎪

⎪⎨

⎪⎭

⎪⎪⎪

⎨⎪⎩

⎪

⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩⎩

正整数自然数零整数负整数有理数(按定义分类)正分数分数负分数

⎧⎧⎪⎨

⎩⎪

⎪

⎨⎪

⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数

正有理数正分数有理数(按符号分类)零负整数负有理数负分数

⎧⎫

⎪⎬⎨⎭

⎪

⎩有限小数可化成分数形式，

是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数

1. “四非”的概念

⑴ 零和正数 统称为非负数； ⑵ 负数和零统称为非正数；

⑶ 正整数和零统称为非 负整数 ； ⑷ 负整数和零 统称为非正整数． 2. 数轴

数轴的三要素 ① 原点 ② 正方向 ③ 单位长度.

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。 3. 相反数

⑴ 若两个数a 与b 互为相反数，则 0a b += 若0a b +=则a 与b 互为相反数. ⑵ 正数的相反数是负数，0的相反数是0 ，负数的相反数是正数．一个数的相反数等于其本身，则这个数一定是 0 ． 4. 绝对值

⑴ 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 相反数 ；0的绝对值是 0 ．

⑵ 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点 到原点的 距离．数a 的绝对值记作a ．

⑶①

_____(0)

___0__(0)

_____(0)

a a

a a

a a

>

⎧

⎪

==

⎨

⎪-<

⎩

②(0)

(0)

a a

a

a a

⎧

=⎨

-<

⎩

≥

③(0)

(0)

a a

a

a a

>

⎧

=⎨

-

⎩≤

⑷①绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．

②如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0 ．

5.倒数（负倒数）

乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；

正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．

负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数.

1）a的倒数是1

a（a≠0）；2）0没有倒数3）若a与b互为倒数，则ab=1.

注意点:

1分数与小数均有时，应先化为统一形式.

2带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

3多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

4若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

5若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

6符号相同的数可以先结合在一起.

3.有理数的运算律

1) 加法交换律a+b=b+a

2) 加法结合律a+b)+c=a+(b+c)

3) 乘法交换律ab=ba

4) 乘法结合律(ab)c=a(bc)

5) 分配律a(b+c)=ab+ac

有理数运算技巧

一. 灵活运用运算律

例1. 计算：。

分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量。

解原式=

=。

二. 逆用运算律

例2. 计算：。

分析：本题每项含有，因此可逆向运用分配律来计算。

解原式=

=。

三. 倒序相加

例3. 计算：。（桂林市中考题）

分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算。

解原式=

=

=

=

=。

四.凑数法

例4. 计算：。（“信利杯”竞赛题）

分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是，所以把各项凑成10的倍数计算。

解原式=

=

=。

五. 拆项法

例5. 计算：。（天津市竞赛题）

分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法。

解原式=

=。

六.错位相减法

例6. 计算：。

分析：考虑到后一项与前一项的比都是3，所以可采用错位相减法。

解设，则。

所以，即原式。

七.用字母代替数

例7. 计算：。

解设1997=a，则

原式

。

八.分解相消 例8. 计算：。（北京市

竞赛题）

分析：此题满足平方差公式，所以可用因式分解来简便运算。

解 原式

。

练习：

1.a,b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：

a 0 b

把a,-a,b,-b 按照从小到大的顺序排列 ( )

A. -b ＜-a ＜a ＜b

B.-a ＜-b ＜a ＜b

C. -b ＜a ＜-a ＜b

D.-b ＜b ＜-a ＜a 2.数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为（ ）

A 、―3

B 、5

C 、6

D 、7

3.为庆祝“五·一”国际劳动节，市政府决定在人民广场上增设一排灯花，其设计由以下图

案逐步演变而成，其中圆圈代表灯花中的灯泡，n 代表第n 次演变过程，s 代表第n 次演变后的灯泡的个数．仔细观察下列演变过程，当n =6时，s =__________．

2 －5 O B A