逻辑代数及其化简
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
化简逻辑表达式的两种方法
化简逻辑表达式的两种方法
一、化简逻辑表达式的两种方法
1、用逻辑代数的方法：
逻辑代数是一种研究逻辑运算的代数化方法，它注重同类的因素合并成一项，若合并后的表达式和原表达式所表达的意义相同，则称此运算为化简。
用逻辑代数的方法来化简逻辑表达式，主要有三步：（1）使用逻辑乘除法和逻辑加括号法，将指定的逻辑表达式归
结成标准形式。
（2）使用合取范式和析取范式，进行逻辑替换，把可以合并的
项合并起来，使表达式简单易懂。
（3）根据合取定义和析取定义，继续合并，直到化简完毕。
2、用布尔代数的方法：
布尔代数是一种逻辑运算的代数，它将逻辑运算定义为一种操作，操作的运算结果可以是“真”和“假”的两种可能性。
使用布尔代数的方法来化简逻辑表达式，可以按照如下步骤：
（1）将逻辑表达式中的各个子式根据布尔代数中的定义转换成
有限的真值表式，也就是如01、0011、1111等等。
（2）利用真值表的合取规则，将真值表式中的项进行合并，最
终得到简化后的真值表式。
（3）根据简化的真值表式，化简出原来逻辑表达式中所包含的
逻辑操作关系，从而得出最终的结果。
- 1 -。
电工学2第11讲：逻辑代数-化简
（5）AB ( AB ) A （6）( A B)( A B ) A 证： A AB
A AB AB A B
B 自己证明(提示：BC•1 ）
补： AB A C BC...... AB A C
1. 圈的个数应最少
2. 每个“圈”要最大 3. 每 “圈”至少 包含 一个未被圈过的最小项
i
写出简化逻辑式 Y A BD 如“0”特别少，也可圈0，但结果为 Y 。重做上题。
项少i个因子，填2 格
例4. 应用卡诺图化简逻辑函数
Y A B C A B C A BC AB B C
口诀： 圈大2n; 重复有新； 不拐不漏，边角为邻； 1原0反； 异去同存。
B取值（异）不同—“去” C、D同样
CD 00 AB 00 0 01 0
01 11 10
0 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
CD 00 AB 00 0
01 11 10
01 11 10
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
（2）配项法 例2： 化简 Y AB A C BC
AB A C BC ( A A ) AB ABC A C A BC AB A C
（3）加项法
例3： 化简 Y ABC A B C AB C
（4）吸收 例 4： 法 化简 Y AB AC BC
反演律
A B A B
A B
A B A B
A B 1 0 0 0
A B 1 1 1 0
列真值表证明：
A B
2 逻辑函数及其化简
=AB A B D A B D
AB A B ( D D )
AB AB
AB A B
A B &
&
AB
&
L
& &
AB
AB A B
（1-38）
利用逻辑代数的基本公式：
例2：
F ABC ABC ABC ABC AB (C C ) ABC AB 提出A A( BC B) A(C B) AC AB
A B( A A) A B
例如：A ABC DC A BC DC 被吸收
（1-17）
3.混合变量的吸收：
AB AC BC AB AC
1 证明： AB AC BC AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC AB AC
普通代 数不适 用!
（1-15）
三、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
AB CD AB D( E F ) AB CD
被吸收
（1-16）
2.反变量的吸收：
A AB A B
证明：A AB A AB AB
2、逻辑函数的化简方法
化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法:
A A 1
AB( C C ) AB
（1-36）
L AB C ABC
吸收法：
第2章 逻辑代数与逻辑化简
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号
逻辑代数的常用化简公式
逻辑代数的常⽤化简公式
1. 交换律： A+B=B+A;---@1 AB=BA;---@2
2. 结合律： (A+B)+C=A+(B+C);---@3 (AB)C=A(BC);---@4
3. 分配律： A(B+C)=AB+BC;---@5 A+BC=(A+B)(A+C);---@6
4. 吸收率： A+AB=A;---@7 A(A+B)=A;---@8
5. 其他常⽤：A+!AB=A+B;---@9 A(!A+B)=AB@10
以上逻辑运算基本定律中，恒等式⼤多是成对出现的，且具有对偶性。
⽤完全归纳法可以证明所列等式的正确性，⽅法是：列出等式的左边函数与右边函数的真值表，如果等式两边的真值表相同，说明等式成⽴。
但此⽅法较为笨拙，下⾯以代数⽅法证明其中⼏个较难证明的公式。
@7式证明：A+AB=A(1+B)=A;
@8式证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A;由七式易得；
@6式证明：
A+BC=(A+AB)+BC;此处由@7式可得A=A+AB;
=A+AB+BC=A+B(A+C);此处由@5式可得AB+BC=B(A+C);
=A+AC+B(A+C);此处由@7式可得A=A+AC;
=A(A+C)+B(A+C);
=(A+B)(A+C); 得证。
@9式证明： A+!AB=A(1+B)+!AB;
=A+AB+!AB;
=A+B(A+!A);
=A+B;得证。
第四章：逻辑代数及其化简(4)
0 1 1 0
BC
F2
F = AB + C = AB + C = AB ⋅ C 1
F2 = BC + ABC = BC + ABC = BC ⋅ ABC 2、将 F1 和 F2 整体 化简(找公共项 找公共项） 找公共项
AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 0 0 1 ABC 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 C
尾部代替因子 一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩 展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后 的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。
Ei = abc = abac = abbc = ababc 头部因子可以随意放入尾部因子， 头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因 子中取走。 子中取走。 即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头 部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。
例： 证明： 证明： abc = abac = ab(a + c) = aba + abc = abc
abc = abbc = ab b + c = abc abc = ababc = ab a + b + c = abc
(
(
)
(a ⋅a = 0)
)
乘积项合并 如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个 乘机项可以合并为一个乘积项。 AB
例4:已知 F = ∑m(0,1,3,4,5)求F' 的最小项表达式。
F = B+ A C F' = B A + C = AB + BC
(
1 1 0 1 B = ABC + ABC + ABC A C = ∑m (0,1,5) F和F'号码数目相同，对应之和为7。 变量： F和F'之间的关系： 由此推广到 n 变量： ) F = ∑m (0,1,3,4,5) F( a, b, cL = ∑( i) 最小项编号
第四章：逻辑代数及其化简(2)
包含律：AB AC BC AB AC 证：AB AC BC AB AC A ABC
AB AC ABC ABC
AB1 C AC 1 B
若两个乘积项中分别 包含A和A两个因子， 而这两个乘积项的其 余因子组成第三个乘 积项，则第三个乘积 项是多余的。可消去
定理：任何逻辑函数 F 都可以用最小项之和的形式表示。 而且这种形式是唯一的。 1、 真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最 小项之和。 例：将 F ABC BC AC 表示为最小项之和的形式。 解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,
AC缺变量B, BC和AC不是最小项。 所以 F 是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。
例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶 ③ n个输入变量就有2n个 为1,奇为0)，试写出它的逻辑函数式。
A 0 0 0
B 0 0 1
C 0 1 0
Y
0
1 1
1
0 0
1
0 1
1
1
0
解： 当ABC=011时， 使乘积项 ABC 1 1 1 1 不同的取值组合。 当ABC=101时， 使乘积项ABC 1 当ABC=110时， 使乘积项ABC 1 因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。 Y ABC ABC ABC
二、从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合 逐一代入逻辑式，求出函数值， 列成表，即可得到真值表。 例：已知函数 Y A BC ABC 求其对应真值表。 解：将三变量所有取值组合代 入Y式中，将计算结果列表。
A B C 0 0 0 0 0 1
BC
第04讲-逻辑函数代数法化简
4
逻辑代数的三条规则
规则三：对偶规则 如果将函数F作如下变换得到一个新函数，则 新函数就是原来函数F的对偶函数，记为 F’ 。
•
+
+
•
0
1
变量保持不变 第四讲 代数法化简
1
0
5
逻辑代数的三条规则
例: 求函数 F=A ( B+C)的对偶函数 解: F’ =A + B C 注意: (1)保持原运算顺序不变 (2)表达式中“大非号”不变
(3) (F’)’= F
(4)变量 A’=A
(5)若F1=F2, 则F1’=F2’
第四讲 代数法化简
6
逻辑代数的三条规则
例: 已知 F=A B+A B +B C D+A B C D 求F’, F 解: F’ =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D F =A+B (A+B) (B+C+D) A+B+C+D
A+B+C，A+B+C，A+B+C 任一最小项都有n个邻项。
第四讲 代数法化简
13
逻辑函数的标准式
分解定理 F(x1,x2,…,xn) =xi · 1,x2,…,0,…,xn)+xi· 1,x2,…,1,…,xn) F(x F(x = xi · 1,x2,…,xn)|xi=0+ xi·F(x1,x2,…,xn)|xi=1 F(x F(x1,x2,…,xn)
10
第四讲 代数法化简
逻辑函数的标准式
2.3逻辑代数及其化简
常用逻辑函数表示方法有：1、逻辑真值表2、逻辑表达式3、逻辑图各种表示方法间的相互转换4、工作波形图常用逻辑函数表示形式：1、逻辑函数的八种表示形式2、逻辑函数的标准表示形式标准表示形式间的相互转换= A利用代入规则：五、综合法 合并项法、吸收法、消去法、配项法。
F = AD + A D + AB + AC + BD + ACEF + BEF + DEFG= A(D + D ) + AB + AC + BD + ACEF + BEF = A(1 + B + CEF ) + AC + BD + BEF = A + AC + BD + BEF 加对乘分配率：A + AC = ( A + A)( A + C ) = A + C + BD + BEFF = A( A + B )( A + C )( B + D )( A + C + E + F )(B + F )( D + E + F ) 解：首先将或－与表达式通过求对偶变为与－或表达式，利用 公式法在与－或表达式中进行化简。
（分配率） ' F = A + AB + AC + BD + ACEF + BF + DEF （合并项） = A + AC (1 + EF ) + BD + BF （包含率）= A + AC + BD + BF （分配率） = A + C + BD + BF第二步：将对偶式再次求对偶，得到原函数的最简或－与式。
F = F = AC ( B + D )(B + F )''代数化简法优点 ： 不受变量限制。
缺点：化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。
对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根 据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。
例：F = A ⊕ B真值表A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F F = 1 的输入变量组合有 AB = 01、10 两组。
= m1 + m 2 = ∑ (1.2 ) 最小项之和： F = A B + A B 0 1 F = 0 的输入变量组合有 AB = 00、11 两组。
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）⼀、逻辑函数的化简将⼀个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。
由于运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较⾼，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便⽤最少的门实现它们，从⽽降低系统的成本，提⾼电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。
在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、⾮三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或⾮”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
⼆、将使⽤“与或”表达式的化简表达式中乘积项的个数应该是最少的表达了最后要⽤到的与门是最少的，因为每⼀个乘积项都需要⼀个与门来实现。
同时也对应了或门输⼊端的个数变少，有2个与项或门就有2个输⼊端，有3个与项或门就有3个输⼊端。
所以第⼀个条件是为了我们的与门和或门最少。
每⼀个乘积项中所含的变量个数最少它是解决每⼀个与门的输⼊端最少。
逻辑函授的化简有三种⽅法三、逻辑函数的代数化简法3.1 并项法并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成⼀个项，这⾥就⽤到了“合并律”将公因⼦A提取出来合并成⼀项，b和b⾮相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
吸收法是利⽤公式“吸收律”来消去多余的项3.3 消项法消项法⼜称为吸收律消项法3.4 消因⼦法（消元法）3.4 配项法左边的例⼦⽤到了⽅法1，右边的例⼦⽤到了⽅法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点优点：对变量的个数没有限制。
在对定律掌控熟练的情况下，能把⽆穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使⽤时需要能够灵活应⽤，才能把函数化到最简，使⽤门槛较⾼。
课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简
课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第2章 逻辑代数及其化简2-1 分别将十进制数，和转换成二进制数。
解答：10=(1,210=(111,,1100,…)2 10=(1,0111,,1100,…)22-2 分别将二进制数101101.和转换成十进制数。
解答：(101101.)2=(45.)102=102-3 分别将二进制数和转换成十六进制数。
解答：2=(0010,,1100)2=162=(1,0101,,1110)2=162-4 分别将十六进制数和转换成二进制数。
解答：16=(11,1010,,1110,1011)216=(110,1100,0010,,1010,0111)22-5 试用真值表法证明下列逻辑等式： (1) AB A C BC AB C (2) AB AB BC AB AB AC (3) AB BC C A AB BC CA (4) AB AB BC AC ABC(5) AB BCCDD AABCDABCD(6) AB AB ABC A B证明：++=+(1) AB A C BC AB C真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
++=++ (2) AB AB BC AB AB AC 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
++=++ (3) AB BC C A AB BC CA 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
+++=+(4) AB AB BC AC A BC真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
+++=+(5) AB BC CD D A ABCD ABCD 真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
(6) AB AB ABC A B++=+真值表如下所示：由真值表可知，逻辑等式成立。
2-6 求下列各逻辑函数F的反函数F和对偶式F:(1)1F A ABC A C(2)2()()()F A B A AB C A B C AB ABC(3)3F A B CD ADB(4) 4F AB BD C AB B D(5) 5F ABAB BCBC(6) 6F CDCDA CDB解答：(1) 1F A ABC A C =++1()()F A A B C A C =+++ 1'()()F A A B C A C =+++ (2) 2()()()F A B A AB C A B C AB ABC2()()()F AB AA B C A BC A B A B C =+++++++ 2'()()()F AB AA B C A BC A B A B C =+++++++ (3) 3F A B CD ADB3F ABC DA D B =+++3'F ABC DA D B =+++ (4) 4F AB BD C AB B D4()()()F A B B D C A B BD =+++ 4'()()()F A B B D C A B BD =+++ (5) 5F AB AB BC BC5()()()()F A B A B B C B C =+++++ 5'()()()()F A B A B B C B C =+++++(6) 6F CD CD A C DB6()()()()F C D C D A C D B =++++ 6'()()()()F C D C D A C D B =++++2-7 某逻辑电路有A、B、C共3个输入端，一个输出端F，当输入信号中有奇数个1时，输出F为1，否则输出为0，试列出此逻辑函数的真值表，写出其逻辑函数表达式，并画出逻辑电路图。
逻辑代数及其化简
2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法 一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定输入逻辑变量、输出逻辑变量。 研究它们之间的因果关系，列出其真值表。 再根据真值表写逻辑函数表达式。 根据表达式画出电路图。 为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。
E
A
B
F
？？ 怎么表示与运算呢
1. 与运算
*
1)真值表: 将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。
与逻辑运算真值表
A
B
F
0
0
1
0
1
0
0
0
0
输入
输出
1.与运算
*
逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为F＝A·B，式中“·”为与运算符号，有时也可以省略。 与运算的规则为： 0·0＝0，0·1＝0，1·0＝0，1·1=1。 与运算可以推广到多个逻辑变量，即 F＝A·B·C···。
0 1 1 1 1 1 1 0
如果表达式不为与或式一般需要将其转换为与或式。
F
A B C
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
*
01
对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。
02
例如,等式 ，若函数F＝BC去置换等式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显然，等式仍然成立。
规则
*
对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的
01
则得到的结果就是F的反函数。
例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水，当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。
第5讲 逻辑代数的运算规则及化简法
逻辑代数是分析与设计逻辑电路的数学工具，它表示的是逻辑关系，而不是数量关系。 一 逻辑代数的基本公式
嘉
南 兴
基本公式是逻辑代数的基础， 利用这些公式可以化简逻辑函数， 还可以用来证明一些基
本定律。逻辑常量只有 0 和 1 两种取值，代表两种状态（0 代表低电平、1 代表高电平） 、设
业 职 洋
名称 与运算 或运算
2 对偶规则： 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0； 所得新函数表达式叫做 L 的对偶式，用 L 表示。对偶规则的基本内容是：如果两个逻 辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。 3 反演规则 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做 L 的反函数，用 L 表示。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。 §3.3-§3.4 逻辑函数的标准表达式 一 标准与或表达式 1 最小项的定义
A ⋅ B + A ⋅C + BCD = A ⋅ B + A ⋅C 6. A ⋅ A ⋅ B = A ⋅ B A⋅ A⋅ B = A
二 逻辑代数的基本运算法则和定律 在逻辑代数中，只有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种基本的运算。由这三种运算可以导出 逻辑运算的一些法则和定律，如表 5-2 所示。 表 5-2 逻辑代数的基本法则和定律
解： Y = A BCD + A BCD = A( BCD + BCD) = A 例 5-5
试用吸收法化简逻辑函数： Y = AB + ABC + ABD + AB( C + D )
嘉
逻辑代数基本原理及公式化简
THANKS
感谢观看
未来发展方向与挑战
新技术与新应用
随着技术的不断发展，数字电路设计面临着 新的挑战和机遇，需要不断探索新的设计方 法和工具，以适应新的需求。
复杂系统设计
随着系统规模的扩大和复杂性的增加，需要研究更 加高效的设计方法和算法，以应对复杂系统的设计 挑战。
人工智能与自动化
人工智能和自动化技术的发展为数字电路设 计提供了新的思路和方法，可以进一步提高 设计的效率和智能化水平。
02
利用逻辑代数基本原理，可以分析组合逻辑电路的输入和输出
关系，简化电路结构。
通过公式化简，可以将复杂的逻辑表达式转换为简单的形式，
03
便于理解和应用。
时序逻辑电路的分析与设计
01
02
03
时序逻辑电路由触发器 和逻辑门电路组成，具
有记忆功能。
利用逻辑代数基本原理 ，可以分析时序逻辑电 路的状态转移和输出特
分配律与结合律
分配律
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C，(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)，(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
公式化简的步骤与技巧
利用分配律和结合律化简
利用吸收律和消去律化简
利用吸收律和消去律简化表达式 ，消除冗余项。
利用分配律和结合律将表达式重 组，便于化简。
在自动化控制系统中，逻辑代数用于描述和优化控制逻辑。
逻辑代数的发展历程
起源
逻辑代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole ）在19世纪中叶提出。
发展
随着电子技术和计算机科学的进步，逻辑代数在 20世纪得到了广泛的应用和发展。
逻辑代数及逻辑函数的化简
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
第 1页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
逻辑代数法化简
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述 方法，才能将逻辑函数化为最简。 例：化简逻辑函数：
L AD AD AB AC BD ABEF BEF
解：
L A AB AC BD ABEF BEF
A AC BD BEF
A C BD BEF
小结：
1、逻辑代数的基本公式。 2、逻辑代数的化简方法。 3、公式的灵活应用。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本公式:
二、公式的证明方法：
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。
例： 证明吸收律 证：
A AB A B
A AB A(B B) AB
AB AB AB
AB AB AB AB
A(B B) B( A A)
A B
（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的 真值表是否一致。
例：用真值表证明反演律
AB A B
三、逻辑函数的代数化简法：
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形 式，并且能互相转换。 例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
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础
第
二
章 电子学教研室
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数 与或表达式： F AB ACD
字 电
标准与或表达式：F ABCD ABCD ABCD
子 或与表达式： F ( A B)(A C D)
技 术
标准或与表达式: F (A B C D)(A B C D)(A B C D)
1
数 字
A
0 m0 m1
电
1 m2 m3
子
技
术
BC 00 01 11
基 础
A
0 m0 m1 m3
第
1 m4 m5 m7
二
章 电子学教研室
CD AB
00
01
11
10
00 m0 m1 m3 m2
01 m4 m5 m7 m6
11 m12 m13 m15 m14
10 m8 m9 m11 m10
10
m2
方格中脚标数字为 对应最小项编号。
子
选定某种进位的计数制来表示某个数的值
技
术 按“形”表示 编码 （Encode）
基
用代码来表示某些数的“值”
础 先要确定编码规则，然后按此编码规则编
第
二 出代码，并给代码赋以一定的含义
章 电子学教研室
2
2020/5/16
常用计数制及其转换
数 字 电 子 技 术 基 础
第 二 章 电子学教研室
自学
3
章 电子学教研室
12
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数 3）逻辑符号
字 电
在数字电路中，实现逻辑与运算的单元
子 电路叫与门。
技
术
与门的逻辑符号
基
A&
F B
础 本教材采用的逻辑符号
第
A B
F
二
章 电子学教研室
13
2020/5/16
或运算
数
在决定一事件发生的多个条件中，只
字 电 要有一个条件满足，此事件就会发生。
技
术 基
F D A D(B C)
础
第
二
章 电子学教研室
34
2020/5/16
数 3 对偶规则
字
对于一个逻辑函数式F,若将其中的
电 子
0 1, 1 0,
技
,
术
则得到的结果就是F的对偶式
基 础
F F
若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。
第
二
章 电子学教研室
35
2020/5/16
练习
子
技
A
术
B
基
础
F
E
第
二
章 电子学教研室
14
2020/5/16
数 1）真值表
字
逻辑或运算的真值表
电
子
AB F
技
00 0
术
10 1
基
01 1
础
11 1
第
二
章 电子学教研室
15
2020/5/16
数 2）逻辑函数表达式
字
表示逻辑或运算的逻辑函数表达式为
电 子
F＝A+B
技
“+”为或运算符号
术
不可以省略
基 础
AB, AB, AB, AB
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最小项编号
数
字 最小项
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
电 子 二进制代码 000 001 010 011 100 101 110 111
技 术 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
基 础
mi
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
二
章 电子学教研室
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数 2. 反演规则
字
对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的
电 子
0 1, 1 0,
技
,
术 基 础
A A, A A
则得到的结果就是F的反函数
第
FF
二
章 电子学教研室
33
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数 注意：优先顺序不能变，帽子以上不能变。
字
电 子
例 F D A D BC
第 推论：AB AC BCDEF（K ） AB AC
二
章 电子学教研室
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数
5. AB AB A
字
电
子
6. (A B)( A B) A
技
术
基
础
第
二
章 电子学教研室
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*异或公式(补充)
数 A0 A
字 电
A1 A
子 A A0
技 术
A A 1
基 A B A B A B A B 1
础
第
二
章 电子学教研室
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逻辑代数的基本运算和复合运算
数
逻辑代数的基本运算包括与、或、非三
字 电 种运算。
子
设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭
技
术 合为逻辑1、开关断开为逻辑0；设灯为逻
基 础
辑函数F，约定灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑
第 0。
二
章 电子学教研室
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与运算
m6 每一个方格内mn取
值为0或1。
43
最小项-标准与或表达式
数
标准与或表达式是一种特殊的与或表达
字 式，其中的每个与项都包含了所有相关的
电 子
逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出
技 现一次且仅出现一次，这样的与项称为标
术 准与项，又称最小项。
基
础
如 F=F(A, B)，共有最小项4项：
第 二 章 电子学教研室
础
01
1
第
10
1
二
11
0
A B
F
章 电子学教研室
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2020/5/16
数 2）或非运算
字
电
子
AB F
技
00
1
术
01
0
基
10
0
础
11
0
第 二 章 电子学教研室
F AB
A ≥1
F B
A B
F
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数 3）与或非运算
字
电 F A•BC•D
子 技 术
A & ≥1
B C
F
D
基
础
A B
F
B
基
F
础
第
二 章 电子学教研室
C D
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4 卡诺图
数
将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个
字 电 方向排列出各组变量的所有取值组合，构
子 成一个有2n个方格的图形，其中，每一个
技 术 方格对应变量的一个取值组合，这种图形
基 叫做卡诺图。
础
第
二
章 电子学教研室
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B0
数
字 Y AB B AB A B
电
子 Y AC AB B C AC BC
技
术 基
Y ABCD ABCD A
础
Y (A BC)(A BC） A
第
二
章 电子学教研室
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2020/5/16
2.3 逻辑函数常用的描述方法及相互间的转换
数 逻辑函数常用的描述方法
字
电
逻辑表达式
子
真值表
基 与非与非表达式: F ABCD 础 第 或非或非表达式: F A B C D
二 与或非表达式： F AB CD
章 电子学教研室
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ABC F
2 真值表
0
0
0
0
0
0
1
1
数
用来反映变量所有取值00组合及11 对应01 函数10
字 电
值的表格，称为真值表。 1 1
0 0
子 技
所谓二-十进制码，就是用4位二进制数
术 组成的代码来表示1位十进制数。
基
础
第
二
章 电子学教研室
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数 4位二进制数具有16种组合，二-十进制
字 数的10个数字符号只需选用其中的10种组
电 子
合来表示常用的几种二-十进制编码表2-1
技 所示。
术
基
础
第
二
章 电子学教研室
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技
术
AB F
基 础
00 0 10 0
逻辑与运算的真值表
01 0
第 二
11 1
章 电子学教研室
11
2020/5/16
数 2）逻辑函数表达式
字
表示逻辑与运算的逻辑函数表达式为
电 子
F＝A ·B
技
“·”为与运算符号
术
也可以省略
基 础
与运算规则为： 0·0＝0
0·1＝0
第
1·0＝0 1·1＝1
二 可推广到多变量： F＝A·B·C·D···
非运算
数 当条件不具备时，事件才会发生。
字
电
子
技
R
术
E
基
A
F
础
第
二
章 电子学教研室
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2020/5/16
数 1）真值表