量纲分析法

（注：在流体力学中称 Fr =
v lg
为
Froude
数，
Re
=
lvρ μ
为
Reynold
数。）
3． 无量纲化 单位和量纲在建模过程中是一个需要注意的问题，在建立模型时，为了满足量纲齐次原 则需要引入新的参量，这使得模型十分复杂；在建立和分析模型时，模型所描述的实际问题 的内涵性质一般应该独立于度量单位的选择。因此在机理模型建立过程中如何使得模型摆脱
模型建立：
由万有引力定律 m1
d2y dt 2
=
−k
m1m2 (y + r)2
，y(0)
=
0,
y′(0)
=
v 。由假设
2，y′′(0)
=
−g
。
在方程始终令 t = 0 ，则有 g = k m2 ，则模型可以简化为 r2
y′′
=
−
r2g (y + r)2
,
y(0)
=
0,
y′(0)
=
v
。
在模型中有三个参量 r, g, v ，两个变量 t, y 。这些量都是有量纲的，下面将利用无量纲
2
二、 轮廓模型
1．量的比例关系
因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例
关系。所以在同一模型中，若量 X1 和 X 2 的量纲分别为 [ X 1 ] = X α 和 [ X 2 ] = X β ，则一
定有
X1
=
kX
α 2
/
β
。
例 4（几何上的比例关系）
对于正立方体：设棱长为 L1 = a ，底面周长为 L2 = 4a ，底面对角线长 L3 = 2a ，立
A
=
⎢ ⎢
1
00
0
1
1
0
⎥ ⎥
。
⎢⎣− 2 0 0 −1 0 −1 − 2⎥⎦
（3） 假设 f , l, h, v, ρ, μ, g 之间存在关系 ϕ ( f , l, h, v, ρ, μ, g) = 0 ，按照量纲齐次原
则 ， 构 造 π = f l h v ρ μ g y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 为 无 量 纲 量 ， y1 , y2 ,L, y6 为 方 程 组 Ay = 0 的解。
易知该线性方程组的基础解系中有唯一的解向量 (2,−1,0,1)T ，因此可以确定唯一的无量
纲量π = t 2l −1g ，由上述定理 f (t, l, m, g) = 0 与ϕ (π ) = ϕ (t 2l −1g) = 0 等价，按照隐函数
存在定理，ϕ (t 2l −1g) = 0 可以确定出函数 t 2l −1g = C ，即 t = C l ，其中 C 待定。 g
m
β ij
∏ [xi ] = [ X j ] ,i = 1,2,L, n 。若矩阵 B = (β ij )n×m 的秩为 r ，则存在 n − r 个无量纲量
j =1
π 1,π 2 ,L,π n−r 使 得 ψ (π 1,L,π n−r ) = 0 与 ϕ (x1, x2 ,L, xn ) = 0 相 互 等 价 ， 其 中
化的方法化简模型，将变量化为无量纲的。所谓无量纲化就是将模型中的变量化为无量纲的
变量。在该模型中， [t] = T ,[ y] = L ，因此可以选择两个分别具有时间和长度量纲的常数
tc , yc ，通过变换 t = t / tc , y = y / yc 生成两个无量纲变量 t , y ，在该变换下
26 14.50 3049 .0085
27 14.50 3049 .0089
41 17.25 5133 .008
Hale Waihona Puke 49 17.75 5592 .0088
黑鲈鱼的体重与体长关系（W ∝ L3 ）
（2）人的体重 W 和身高 L
W(kg)
12 17 22
L(cm)
86 108 116
L3(103cm3) 636 1260 1560
( yc
y + 1)2
yc
r
（1）取 yc = r,tc = r / v ，即 t = vt / r, y = y / r ，通过简单的求导数运算，可以得到
微分方程 εy′′ =
−1 ( y + 1)2
，其中 ε
=
v2 rg
为无量纲量，初始条件为 y(0)
=
0, y′(0)
= 1。
（2）令 yc = r,tc =
体对角线长 L4 = 3a ；表面积 S1 = 6a 2 ，底面面积 S2 = a 2 ， 对角面面积 S3 = 2a 2 ；
体积V1 = a3 。
结论：在简单的几何体中，
相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比：Si ∝ L2j ，相应部位的体积与相应部位长
度的立方呈正比：Vi
∝
L3j
，相应部位的体积与相应部位面积的 3/2 次方呈正比：Vi
W/L3
.0189 .0135 .0141
35 135 2460 .0142
（2） 各物理量的量纲
[ f ] = MLT −2 ,[l] = L,[h] = L,[v] = LT −1,[ρ ] = ML−3 ,[g] = LT −2 ,[μ ] = L−1MT −1
（注：对 μ 的量纲的说明，由关系 p = μ ∂v ）量纲矩阵为 ∂x
⎡ 1 1 1 1 −3 −1 1 ⎤
n
∏ π s =
xα
s i
i
,
s
=
1,2,L,
n
−
r
为无量纲量。
i =1
例 1 单摆的运动周期
考虑质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，偏离平衡位置后小球在重力 mg 的作用 下做往复摆动，忽略阻力，球摆动周期 t 的表达式。
在 该 问 题 中 出 现 了 四 个 物 理 量 t,l, m, g ， 量 纲 分 别 为
（4）
m
β ij
∏ 按照物理知识用基本量纲表示 xi 的量纲为[xi ] = [ X j ] , i = 1,2,L, n 。
j =1
n
∏ 设 π =
xαi i
为 无 量 纲 量 ， 其 中 αi
待定。 π
的量纲表达式为
i =1
n
nm
β ij
m
∑ βijαi
∏ ∏ ∏ [π ] = ( [ X j ] )αi = [ X j ] i=1 ， 由 于 π 无 量 纲 ， 可 以 得 到
[t] = T ,[l] = L,[m] = M ,[g] = LT −2 。 设 四 个 量 之 间 存 在 关 系 f (t, l, m, g) = 0 ，
π = t xl y mu g v 为无量纲量。[π ] = T x Ly M u (LT −2 )v = T x−2v M u Ly+v ，则有 ⎧x − 2v = 0 ⎪⎨u = 0 ⎪⎩y + v = 0
α , β ,γ ,δ ,ε ,ζ ,η 称为量纲指数。 例：[速度]= LT −1 ，[能量]= ML2T −2 ，[压强]= ML−1T −2 。
若某个物理量的量纲指数全为 0，则称该物理量为无量纲量，如圆周率，角度。 注意：常数未必都无量纲（如万有引力常数），无量纲的量未必都是常数（如角度）。
2． 量纲分析法（Buckingham π定理，量纲齐次法则）
量纲齐次法则 设 n 个物理量 x1,x 2 ,L, xn 之间存在函数关系 ϕ (x1, x2 ,L, xn ) = 0 。
有 m 个 基 本 量 纲 [ X1 ],[ X 2 ],L,[ X m ] 。 xi 的 量 纲 可 以 表 示 为
i=1 j=1
j =1
n
∑ β ijα i = 0, j = 1,2,L, m 。
i =1
n
∑ 解线性方程组 β ijα i = 0, j = 1,2,L, m 。若方程组的秩为 r ，则有 n − r 个 i =1
基本解，记做
αs
=
(α
s 1
,L
,α
s n
)T
,
s
= 1,2,L, n − r
。从而
( y + 1)2 Taylor 展开式知道，在 0 点的附近， y(t ) ≈ 0 + 0 + 1 y′′(0)t 2 = −0.5t 2 < 0 ，无意义；
2
第三个变换中 ε 视为 0，得到 y′′ = −1, y(0) = 0, y′(0) = 1，方程有解 y = − t 2 + t ，代
2 会原来的变量可以得到 y = − 1 gt 2 + vt ，可以看成是原问题模型的近似解。
m
∏ π s =
xα
s i
i
，而α
s i
是方程组
B
T
α
=
0 的基本解（称 BT 为量纲矩阵）。
i =1
按照上述定理，量纲分析方法的一般步骤如下：
（1） 将与问题有关的有量纲的物理量记作 x1,x 2 ,L, xn ，按照物理意义确定问题 的基本量纲[ X1 ],[ X 2 ],L,[ X m ]；
（2） （3）
例 2 船在水中航行受到的阻力 假设：
（1） 船长为 l ，吃水深度为 h ，船的航行速度为 v ；
（2） 不考虑风对船航行的影响 （3） 水是均匀的，密度一致，粘性系数一致 模型建立：
（1） 此问题中涉及的物理量有：阻力 f ，船长 l ，吃水深度 h ，速度 v ，水的密度 ρ ， 水的粘性系数 μ ，重力加速度 g 。
问题：在三个模型中 ε 能否作为一个非常小的数而视为 0？为什么？（从将 ε = 0 简化