高中数学第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用课堂导学案新人教B版必修4

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高中数学第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________．答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22，所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2，同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ．反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二向量在解析几何中的应用【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大．正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值，即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________．答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用课件新人教B版必修4

本题采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点 P(x，y)，再利用向量平行、垂直的充要条件建立 x，y 的关系．
已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4，0)， C(－6，2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．解：(1)由已知得点 D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设点 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则D→M∥D→E，D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)．所以(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程．同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0， x＋y＝0.
因为A→F·D→E＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
1.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1，0)，
(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：选 A.A→B＝(3，3)，C→D＝(－2，－2)，
4．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满足O→P·O→A＝4，则 P 点的轨迹方程为______(x，y)·(1，2)＝x＋ 2y＝4，即为 P 点的轨迹方程．
答案：x＋2y＝4
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力 F1 和 F2 的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( √ ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( × ) (3)若向量A→B∥C→D，则 AB∥CD.( × )

人教版高中数学第二章2向量在物理中的应用举例教学 (共14张PPT)教育课件

有些人经常做一些计划，有的计划几乎不去做或者做了坚持不了多久。其实成功的关键是做很坚持。上帝没有在我们出生的时候给我们什么额外的装备，也许你对未来充满迷惑，也许你觉得是在雾里看花，但是只要我们不停的去做，去实践，总是可以走到一个鲜花盛开的地方，也许在那个时候，你就能感受到什么叫柳暗花明。走向成功的过程就好像你的起点是南极，而成功路径的重点在北极。那么无论你往哪个方向走，只要中途的方向不变，最终都会到达北极，那就在于坚持。
解释相关的物理现象.
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，
凡事都是多棱镜，不同的角度会
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人生的
某人骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来；而当速度为2a km/h 时,感到风是从东北方向吹来,试求实际的风速和风向.
风速为 2akm/h的西北风
用向量解决物理问题的一般步骤是: ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;

向量的应用PPT教学课件

直线的方向向量：_直__线__上___的向量以及与它__平__行____的向量都称为直线的方向向量．已知直线的方向向量，可以用向量
平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程．直线的法向量：如果向量 n 与直线 l___垂__直___，则称向量 n
为直线 l 的法向量．已知法向量，可以由向量垂直的条件写出直线方程．
[正解] 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(5,0)、
3 B(
2
3，32)．设点
C
的坐标为(x，y)．
∵O→A＝(5,0)，B→C＝(x－3 2 3，y－32)．
∵O→A＝B→C，∴xy－－323＝2 30＝5
x＝5＋3 ，∴
2
3
y＝32
.
∴|O→C|＝ x2＋y2＝ 5＋3232＋322＝ 34＋15 3.
3．在平面直角坐标系中，点 O(0,0)、P(6,8)，将向量O→P绕
点 O 按逆时针方向旋转34π后得向量O→Q，则点 Q 的坐标是(
)
A．(－7 2，－ 2)
B．(－7 2， 2)
C．(－4 6，－2)
D．(－4 6，2)
题意得|O→Q|＝|O→P|＝ 62＋82＝10.
由A→P∥a，利用向量平行的条件可写出方程． [解析] 设 P(x，y)是所求直线上的任一点， A→P＝(x＋2，y－1)． ∵A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0. 即所求直线方程为 x－3y＋5＝0.
•向量在物理中应用
•
两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j，作
用于同一质点，使该质点从A(20,15)移动到
B→E·C→F＝12(B→A＋B→C)·12(C→A＋C→B) ＝14(B→A·C→A＋B→A·C→B＋B→C·C→A＋B→C·C→B) ＝14[2B→C2＋C→B·(B→A＋A→C)＋B→C·C→B] ＝14[2B→C2＋C→B·B→C＋B→C·C→B] ＝14(2B→C2－2B→C2)＝0. ∴B→E⊥C→F，即 BE⊥CF.

数学 2.4.2 向量在物理中的应用课件新人教B版必修4

方法感悟
1．向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是研究几何的一个有力工具． 2．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键． 3．利用向量法解决物理问题时，要认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的向量关系，通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题．
∴P→Q＝(2t－1，t－3)，又P→0Q0＝(－1，－3)，由P→Q⊥P→0Q0可知P→Q·P→0Q0＝0，即 2t－1＋3t－9＝0，解得 t＝2. 故当P→Q⊥P→0Q0时，所需时间 t 为 2 s.
【点评】该问题融向量的物理背景、速度的合成与分解、向量数量积的运算于一体，体现了学科知识间的相互渗透，求解过程中充分体现了物理知识向量化，向量运算代数化，用所获得的结果解释物理现象的求解思路．
变式训练1 如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2. 求证：AD⊥BC.
证明：设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d. ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即 e·(c－d)＝0. ∵B→C＝B→D＋D→C＝d－c， ∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0. ∴A→D⊥B→C，即 AD⊥BC.
【思路点拨】解答本题可先用 t 表示出 P、Q 的坐标，然后利用P→Q·P→0Q0＝0 求出 t 的值．
【解】 ∵e1＝(1,0)， ∴e2＝(0,1)， ∴e1＋e2＝(1,1)，3e1＋2e2＝(3,2)，结合物理学中速度的合成与分解的关系，易知t 秒时点P的坐标为(t－1，t＋2)，点Q的坐标为(3t －2,2t－1)，

第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量在物理中的应用课前导引素材新人教B版必修4

2.4.2 向量在物理中的应用
课前导引
情景导入
如图，一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移.
解：如图所示，设A 在东西基线与南北基线的交点处. 依题意，AB 的方向是北偏西60°,|AB |=1 000 km.
的方向是南偏西60°,||=2 000 km ，
∠BAC=60°.过B 作东西基线的垂线，交AC 于点D,
则△ABD 为正三角形，
∴BD=CD=1 000 km.
∴∠CBD=∠BCD=
21∠BDA=30°. ∴∠ABC=90°. 于是，BC=AC·sin60°=2 000×2
3=31000 km ，|BC |=31000 km. ∴飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km,方向是南偏西30°.
知识预览
1.力学中的向量与前面学过的自由向量有所不同，它不仅包括大小、方向两个要素，还有作用点.
2.速度向量可用有向线段表示.
3.由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的加、减法相类似，可以用向量的方法来解决.。

高中数学人教版必修4课件2-5-2向量在物理中的应用举例2

1.平面几何中的长度问题
[例 2] 已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m，BC＝n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．
[解] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0， m)，B(n,0)．
人教版必修4
第二章平面向量
2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例
教材新知
导入新知
平面向量的应用 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
＋ B|
AC ·BC
AC |cos C
＝λ·| AB|·| BC |cos180°－B＋λ| | AB|cos B
ACБайду номын сангаас|·|BC |cos | AC |cos C
C＝0.
∴ AP⊥ BC . ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
答案：垂
3．若动点P满足
OP
＝
OB
＋OC 2
＋λ
|
AB AB |cos
＋ B|
AC AC |cos
C
，λ
∈(0，＋∞), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的________
心．
解析：由条件可得，
OP
－OB
＋OC 2
＝λ|
AB AB |cos

教学设计1：2.4.2 向量在物理中的应用

必修四第二章平面向量2．4.2 向量在物理中的应用教学目的：知识目标：掌握向量在力学、运动学中的应用能用所学知识解决有关综合问题能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：平面向量的综合应用教学难点：平面向量的综合应用教学过程：一、复习准备：1、向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用例1. 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?分析:上面的问题可以抽象为图中所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力），就得到了问题的数学解释。

解: 不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道通过上面的式子，我们发现：当θ由0°~180°逐渐变大时，θ/2由0°~90°逐渐变大，2cos θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。

思考：（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？（2） |F 1|能等于|G|吗？为什么？（3）你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?2cos 21θGF =用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化：把物理问题转化为数学问题；②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.2、向量在速度的分解与合成中的应用例 2. 一条河的两岸平行,河的宽度d =500m, 一艘船从 A 处出发到河的正对岸B 处, 船航行的速度|v 1|=10 km/h , 水流速度|v 2|=4 km /h ,那么v 1与v 2的夹角θ(精确到1°) 多大时,船才能垂直到达对岸 B 处?船行驶多少时间 (精确到0.1min)?分析:如果水是静止的，则船只要取垂直于河对岸的方向行驶就可以了，但由于水流的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于河岸方向。

平面向量的应用

§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．( √ )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)(理)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0,10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0. ( √ )2．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．答案 y 2＝8x (x ≠0)解析由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案 226 m/s解析如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226 m/s.题型一平面向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .思维启迪正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0<λ<2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)，∴P A →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|P A →|＝ (－22λ)2＋(1－22λ)2＝λ2－2λ＋1， |EF →|＝(22λ－1)2＋(－22λ)2＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，即P A ＝EF .思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 (2)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 ( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 (1)C (2)A解析 (1)∵cos ∠BOA ＝a ·b|a ||b |，则sin ∠BOA ＝ 1－(a ·b )2|a |2|b |2，∴S △OAB ＝12|a ||b | 1－(a ·b )2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. (2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．题型二平面向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．思维启迪向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，∵0<B <π，∴B ＝5π6.题型三平面向量在解析几何中的应用例3 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将PE →·PF →转化为关于y 的函数，求函数的最值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2 ＝x 2＋(y －1)2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上：PE →·PF →的最大值为19； PE →·PF →的最小值为12－4 3.思维升华平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)， AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．题型四平面向量在物理中的应用例4 在长江南岸渡口处，江水以252 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．思维启迪题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．答案北偏西30°解析如图所示，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知|OA →|＝252，|OB →|＝25.∵OD →＝OB →＋OA →，∴OD →·OA →＝OB →·OA →＋OA →2， ∵OD →⊥OA →，∴OD →·OA →＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋(252)2＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.思维升华在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．答案 27解析方法一由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋ |F2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2，即∠OF 1F 2为直角，|F 3|＝2 F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|F 1F 2→|22＝27.高考中以向量为背景的创新题典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12思维启迪先根据定义表示出a ∘b 和b ∘a ，利用其属于集合{n2|n ∈Z }，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(π4，π2)确定cos θ的取值范围，结合集合中n ∈Z 的限制条件即可确定n 的值，从而求出a ∘b 的值．解析根据新定义，得a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ∘b 和b ∘a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈(π4，π2)，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1.故a ∘b ＝n 12＝12.答案 D(2)(5分)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．思维启迪根据定义先写出m ⊗OP →，进而求出OP →，确定函数y ＝f (x )的解析式．解析设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 温馨提醒解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价.A 组专项基础训练一、选择题1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析由题意知：CB →－PB →＝λP A →，即CB →＋BP →＝λP A →，∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线，∴点P 在AC 边所在直线上．2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．3．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3答案 D解析由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0，即4|b |2＋4·2|b |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.5. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( ) A.π6 B.712πC.76πD.73π答案 B解析由题意知M (π12，A )，N (712π，－A )，又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.二、填空题6．(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________. 答案 (1,2)解析由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．答案 3解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三、解答题9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )．∵D 是BC 的中点，∴D (0，a 2)．又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . ∵AD →＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2)， OE →＝CE →＝(a 3，23a )， ∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0. ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其α∈(π2，3π2)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α ＝10－6cos α，|BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈(π2，3π2)，∴α＝54π. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴sin(α＋π4)＝23>0. 由于π2<α<3π2， ∴3π4<α＋π4<π，∴cos(α＋π4)＝－73. 故tan(α＋π4)＝－147. B 组专项能力提升1．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2，同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.2．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________. 答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角，又S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154. ∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°. 3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．答案 5解析方法一以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →.∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)若AC →⊥BC →，求tan α的值．解 (1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3.又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6.(2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，①所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34.又因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)．因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74，cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.②由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.5. 如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得 y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，所以λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2)＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m －4＝0.。

高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理

（C）1200
（D）1500
例 3.若、、均为单位向量，且
，
的最大值为________
【答案】
【解析】因为、、均为单位向量，且
，
5
设 =（1，0）， =（0，1），
,
,
故
的最大值为
.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题是转换为代数运算求最值问题.
例 1．已知向量
的夹角为（
）
A．30° 【解析】∵
B．60°
C．120°
，∴ 是共线向量，
D．150°
∴
，
∴
，
∴向量和所成角为，又与共线且方向相反， ∴向量和所成角为，从而选项C正确.
【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，
是共线向量，从而将
和的夹角问题进行有效的转化. 举一反三：【变式 1】已知向量与的夹角为 120°，【答案】7 【解析】
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理
【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量
积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】
【解析】（1）由题意得， = （ + ）；
故 •（ + ）=2 • ；
故 2=3 • ；
故 cosA=
=；
（2） • =| |•| |cosA

高中数学第二章 2.4.2向量在物理中的应用

答
因此，f· s＝|f||s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
研一研·问题探究、课堂更高效
[典型例题] 例1
2.4.2
帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项
水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30° ，速度
本课时栏目开关
为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考问题探究、课堂更高效
探究点二向量的数量积在物理中的应用
2.4.2
物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即 W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正
本课时栏目开关
可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量 F 与 s 的数量积．例如：已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上)，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ ＝0.02 的水平平面上运动了 20 m．问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
2.4.2
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
本课时栏目开关
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.2
本课时栏目所以，摩擦力 f 的大小为开关 |f|＝|μ(G－F )|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
1
如右图所示，设木块的位移为 s， 3 则 F· s＝|F||s|cos 30° ＝50×20× ＝500 3(J)． 2 将力 F 分解，它在竖直方向上的分力 F1 的大 1 小为|F1|＝|F|sin 30° ＝50×2＝25(N)，

2.4.1 2.4.2 向量在几何与物理中的应用

张喜林制2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用考点知识清单1．向量的加法运算和，数乘向量和____，夹角、距离和向量的数量积之间联系密切． 2．利用向量的运算证明一些几何题、比平面几何的“ ”简单多了．3．从“求证平行四边形对角线互相平分”的证明中，可以提炼出基本方法为 4．设直线L 的倾斜角为α，斜率为,),(),(,11l y x P l y x A k ∈∈、向量),(21a a a =平行于L ．则=k),,(,0:.5B A n C By Ax l ==++则向量⋅=++,0:.6C By Ax l 定点n l y x M y x P ,),(),,(00∈为与L 垂直的单位向量，则=),(M p d7．力是具有大小和方向的量，可利用向量运算法则进行运算．8．我们仅以，说明向量的应用，其实向量在____，____，____等备学科中都有十分广泛的应用要点核心解读1．向量的主要应用(1)向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合．这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题；利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题．(2)向量的坐标表示把点与数联系了起来，进而可以把曲线与方程联系起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题．(3)向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积运用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题．(4)向量是从一些物理量中抽象出来的，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，用向量解决有关物理问题，可以先根据题意把物理向量用有向线段表示出来，再转化为数学中的向量运算求解． 2．向量在几何中的应用利用向量的知识去研究几何中的直线问题，常可取得意想不到的效果，其证明的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，运用向量的运算、运算律和有关的法则，推出所求证的结论．向量的方法可运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有： (1)要证两线段.CD AB =可转化为证明22CD AB =或CD AB =(2)要证两线段,//CD AB 只要证明：存在一实数,0=/λ使λ=成立； (3)要证明两线段,CD AB ⊥只要证明它们的数量积.;0=(4)要证A 、B 、C 三点共线，只要证明：存在一实数,0=/λ使;λ=或若,,,c b a === 只要证明存在一个实数t ，使.)1(b t ta c -+=3．向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ），既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．设直线L 的倾斜角为α，斜率为K ，向量),(21a a a =平行于L ，则12ta n a ak ==α如果已知直线的斜率,12a ak =则向量,(1a a =)2a 一定与该直线平行，如果斜率南为无理数，则向量),1(k 一定与L 平行．例如：直线,2:x y l =其中,2=k 则向量)2,1(=a 与L 平行，这是因为在直线L 上取点),2,1(),0,0(P O 则),2,1(显然.//a(2)与),(21a a a =平行且过),(00y x P 的直线方程为-x a (2.0)()010=--y y a x 过点),(00y x P 且与向量),(21a a a =垂直的直线方程为.0)()(0201=-+-y y a x x a 对于上述方程可利用向量平行与垂直的条件得到，要在理解的基础上运用．4．力向量力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算，例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则（如图2 -4 -1 -1甲）．同一平面上，作用于同一点的两个力21F F 、或三个力321..F F F 处于平衡状态（如图2 -4 -1-1乙），可分别用等式来表示.0,032121=++=+F F F F F5．速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量．例如，“东北风30 m/s”可用图2 -4 -1-2中的有向线段表示．6．几点说明(1)向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，本节就是用向量来研究物理问题．学习本节时要注意两个方面的问题，一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(2)必须明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识． ①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成； ③动量my 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积，典例分类剖析考点1平行与垂直问题[例1]如图2 -4 -1-3，已知平行四边形ABCD ，E 、F 在对角线BD 上，并且,FD BE =求证：四边形AECF 是平行四边形．[解析] 由已知可设,a D A ==,b B ==则,b a B A +=+=,a b D F F +=+=因为,a b b a +=+所以,F A =即边AE 、FC 平行且相等．因此，四边形AECF 是平行四边形．[点拨] 也可证,C E AF =利用向量解决平面几何问题的关键是将平面几何“语言”转译成向量语言．[例2] 如图2-4 -1-4，△ABC 三边的长满足,5222B =+且BE 、CF 分别为AC 与AB 边上的中线，求证：⊥BE .CF[解析] 要证,CF BE ⊥只需证⋅.0= 证明：,BL AL BA =+,C )C (22B A BA =+∴即.2222=+⋅+A A由已知条件,5A 222=+A 得,22B A =⋅)B (21).C (21F .E C CA B BA C B ++=⋅ )(41⋅+⋅+⋅+⋅=B B C ])(2[412⋅++⋅+= )2(412C B B ⋅+⋅+= .0)22(4122=-=BC BC .CF BE ⊥∴即.CF BE ⊥[点拨] 垂直问题往往与向量的数量积运算相关，当题目中所涉及的图形比较特殊时（例如是正方形、长方形、等边三角形等），通过引入直角坐标系，把几何图形放到适当的坐标系中，就可以写出有关点或向量的坐标，利用向量的坐标形式，进行相应的代数运算，从而使问题得以解决，这种方法比较普遍，使运算更加简便．母题迁移1可用坐标系处理．1．如图2 -4 -1-5所示，在△ABC 中，D AC AB ,=是BC 的中点，E AC DE ,⊥是垂足，F 是DE 的中点．求证：.BE AF ⊥考点2 与角有关的问题[例3] 如图2 -4 -1-6，在四边形ABCD 中，CD AB =但不平行，点M 、N 分别是AD ，BC 的中点，MN 与BA 、CD 的延长线分别交于点P 、Q ，求证：.DQM APM ∠=∠[解析] 证明：设,,b DC a AB ==因M 、N 分别是AD 、BC 的中点，所以⋅+=)(21b a MN又,CD AB =故设,|||k b a ==设a DQM APM ,,21θθ=∠=∠与b 的夹角为θ，则a 与的夹角为b ,1θ与的夹角为⋅2θ所以|||)(21|)(21cos 1a b a ab a +⋅+==θ ,||)cos 1(||||cos ||||||2b a k b a a b a a ++=++=θθ|||)(2|)(21cos 2b b a bb a +⋅+==θ ⋅++=++=||)cos 1(||||||cos ||||2b a k b a a b b a θθ所以⋅=21cos cos θθ又],,0[21πθθ∈故,21θθ=即.DQM APM ∠=∠[点拨] 转化为证明向量与的夹角等于向量D 与的夹角，由本例可以看出，用向量方法来解决平面几何问题，就是如何将平面几何的“语言…翻译”成向量的“语言”，然后通过向量运算求解．2．如图2 -4 -1-7，正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．考点3 直线方程问题[例4] 如图2-4 -1-8，已知点A(a ，b)与点),,(/a b A 求证：直线x y =是线段/AA 的垂直平分线．[解析] 要证明直线x y =是线段/AA 垂直平分线，只需证明⊥/)1(AA 直线,x y =(2)线段/AA 的中点在直线x y =上.设线段M 的中点为),,(AA /y x 则依据中点公式，有⋅+=+=2,2ab y b a x 由此得,y x =点M 在直线x y =上，在直线x y =上，任取一点P ，则可设),,(x x P 于是),,(P ),,(P b a a b AA x x O --==又因为,0)()(./=-+-=b a x a b x AA 所以./AA ⊥因此，直线x y =是线段/AA 的垂直平分线．[例5] 已知点A （-1，2），直线.0934:=+-y x l 求：(1)过点A 且与直线L 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线L 垂直的直线方程． [解析] 直线L 的斜率,34=k 向量)34,1(=u 与直线L 平行． (1)设P 是过点A 且与L 平行的直线上的动点，P 的坐标是(x ，y)，则),2,1(-+=y x AP 所求直线与L 平行，当且仅当,//u 转化为坐标表示，即为,0)1(34)2(1=+⨯--⨯x y 整理得 ,01034=+-y x这就是所求的过点A 且与L 平行的直线方程．(2)设),(y x Q 为一动点，则),2,1(-+=y x 点Q 在过A 且垂直于L 的直线上，当且仅当,0.=⋅A u 转化为坐标表示，即为,0)2(34)1(1=-⨯++⨯y x 整理得 ,0543=-+y x这就是所求的过点A 且与L 垂直的直线方程．[点拨] 要注意一般性结论：直线一般方程0=++C By Ax 中，变量.x 、y 的系数构成向量（A ，B ）的几何解释．即向量(A ，B)与直线L 垂直，向量（-B ，A ）与直线L 平行．这样，直线间的位置关系，即平行、垂直、夹角，就可转化为向量问题来处理．3．（2009年广东广州模拟题）已知点,1(A ),0直线,42:-=x y l 点R 是直线L 上的一点，若,AP RA = 则点P 的轨迹方程为( )．x y A 2-=⋅ x y B 2=⋅ 82-=⋅x y C 42+=⋅x y D考点4 力的合成问题[例6] 如图2-4 -1-9所示，求两个力21F F 、的合力F 的大小（精确到0.1N ）和方向（精确到分）． [解析] 设),,(211a a F =),,(212b b F =则,8.25930cos 3001≈=o a ,0.15030sin 3002≈= a ,4.14145cos 2001-≈-=o b ,4.14145sin 2002≈= b所以),0.150,8.259(1=F),4.141,4.141(2-=F=-+=+=)4.141,4.141()0.150,8.259(21F F F ),4.291,4.118(.5.314)4.291()4.118(||≈+=F设F 与x 轴的正向夹角为θ，则.4611.24.1184.291tan ≈=θ 由F 的坐标知θ是第一象限的角，所以.5367/≈θ答：两个力的合力是314.5 N ．与x 轴的正方向的夹角为,5367/o 与y 轴的夹角为.722/4．如图2 -4 -1 -10所示顶角是20的等腰劈，今有力=F N 100作用于劈背上将物体劈开，力F 是怎样分解的呢？分力又与角θ有何关系呢？考点5 速度的合成问题[例7] 水平光滑的铁轨上有一个小车，长度为2，质量为M ，车的一端站有一个人，质量为m ，人和小车原来都静止不动，现设该人从车的一端走到另一端，人和小车各移动了多少距离？[解析] 问题涉及人和小车的相对速度、人和小车这一系统的合外力以及动量守恒等物理概念和知识，这些都与向量有关，首先抓住基本概念，然后注意合理利用向量知识求解．如图2 -4 -1 -11所示，设人和小车相对于地面的速度分别为v 和V ，则因人和小车这一系统沿水平方向的合外力为零，故可用动量守恒定律+νm ,0=MV 即 ,νMmV -=所以人相对于小车的速度为 =-=V νν,νM m M +人在车上走完车长L 需时,||)(||ννm M Mll t +==人移动的距离为,||m M Ml t x +==ν小车移动的距离为⋅+=-=mM nL x l X[点拨] 在已知条件下，由于人相对于小车的速度应大于人相对于地面的速度，解题中易错误地认为人相对于小车的速度是v+V ，忽略了“速度是向量，本身具有方向”这一特点．[例8] -条河的两岸平行，河的宽度,500m d =一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度,/10||1h km =ν水流速度,/2||2h km =ν要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，分三种情况讨论：(1)当船逆流行驶，与水流成钝角时； (2)当船顺流行驶，与水流成锐角时；(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，计算以上三种情况，讨论是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短，．[解析] (1)如图2-4 -1 -12，当船逆流行驶，与水流成钝角时，要使行驶时间最短，合速度要垂直于对岸，此时=||ν.min 06.3),/(8.9||||221≈≈-t h km νν(2)如图2-4 -1 -13，当船顺流行驶，与水流成锐角时.||sin ||,||5.0111ναναν<=ms t(3)如图2-4 -1 -14，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，⋅==(min)3||5.01νt 即当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短．5．某人骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．学业水平测试1．已知□ABCD 的三个顶点分别为,3),3,1(),1,2(（C B A --),4则顶点D 的坐标为( )．)1,2.(A )2.2.(B )2,1.(C )3,2.(D2．在△ABC 中，设,,B b AC a A ==且,0<⋅b a 则△ABC 是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．水平横梁的一端A 插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮，一轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为kg m 10=的重物，,30o CBA =∠如图2 -4 -1-16所示，则滑轮受到绳子的作用力为( )．)/10(2s m g =N A 50. N B 350. N C 200. N D 3100.4．如图2 -4 -1 -17所示，某人用绳子通过定滑轮拉木船，设人匀速拉绳的速度为0V ，绳某时刻与水平方向夹角为α，则船的运动性质及此刻小船水平的速度||x ν为( )． A ．船做变加速运动，αννcos ||||0=x B ．船做变加速运动，αννcos ||||0=x C ．船做匀速直线运动，αννcos ||||0=x D ．船做匀速直线运动，αννcos ||||0=x5．已知正方形ABCD ，点),2,2(),0,0(C A 则顶点B 的坐标为6．在△ABC 中，顶点),2,4(),3,2(--B A 重心),1,2(-G 则C 点坐标为7．□ABCD 的中心为D ，P 为该平面上任一点，且,O a P =则+PA =++D PC P PB8．如图2 -4 -1 -18，已知向量321OP OP 、、满足：++21OP ,03=OP 且.||||||321OP OP ==求证：321P P P ∆是等边三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足=⋅=⋅OC OB OB OA ..,.OA OC ⋅则点0是△ABC 的( )．A ．重心B 垂心C ．内心D ．外心2．设0为△ABC 内部的一点，且,032=++则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )．23.A 35.B 2.C 3.D 3．已知正方形ABCD 的边长为1，设,,,c AC b BC a AB ===则=++||c b a ( )．0.A 3.B 22.+C 22.D4．直线3)23(=+-y x 和直线2)32(=-+y x 的位置关系为( )．A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．重合5．已知点A 、B 的坐标为),233()6,4(-B A 、与直线AB 平行的向量的坐标可以是( )． );3,314(①);29,7(②);3,314(--③⋅-)9,7(④ ①②.A ①③.B ①②③.C ①②③④.D6．（2004年全国高考题）过点（-1，3）且垂直于直线+-y x 203=的直线方程为( )．012.=-+y x A 052.=-+y x B 052.=-+y x C 072.=+-y x D7．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西,60 另一灯塔在船的南偏西,75则这只船的速度是( )．A.5海里／时 ./35.时海里⋅B 时海里/10.C 时海里/310.⋅D8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )．h A 5.0. h B 1. h C 5.1. h D 2.二、填空题（5分x4=20分）9．如图2 -4 -1 -19，在四边形ABCD 中，,,.,C ,d c C b B a ====已知,..a d d c c b b a =⋅==⋅则四边形ABCD 的形状为10.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为,2为使过河所走路程最短，小船应朝____ 方向行驶．11.如图2-4 -1-20所示，两根固定的光滑硬杆OA ，OB 成θ角，在杆上各套有一小环P ，Q ，P ，Q 用轻绳相连，现用恒力F 沿O 方向拉环Q ，则当两环稳定时，轻绳上的张力T 的大小为12.过点(1，2)，且与直线0643=+-y x 平行的直线方程是三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-4 -1 - 21，已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC= CE ．EC 的延长线交BA 的延长线于点F求证：.AE AF =14.（2010年江苏高考题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2(),2,1(----C B A(1)求以线段AB.AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．(2)设实数t 满足,0OC )B (=⋅-OC t A 求t 的值．15.某人在静水中游泳，速度为,/34h km(1)如果他径直游向河的对岸，水流速度为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流方向垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？16.在直角梯形ABCD 中，,90,//o DAB CDA CD AB =∠=∠,21AB DA CD ==求证：.BC AC ⊥。

2018版高中数学人教B版必修4课件：2.4.2 向量在物理中的应用

4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为
N;若用坐标表
示合力F,则F=
.
解析:由图可知 F1=(2,3),F2=(3,1),则合力 F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4), 所以|F|= 52 42 = 41 .
答案: 41
(5,4)
课堂探究·素养提升
类型一力向量【例1】如图所示,若物体的重量为G,且被两根不等长的绳子吊起,绳子两端点A和B保持同一高度,绳子与竖直方向的夹角分别为α 和β ,试研究拉力 F1,F2的大小.
思路点拨:本题是向量知识在速度问题中的应用,我们要首先画出图形, 然后建立数学模型,也就是将实际问题转化成数学问题.
解:设此人行驶速度为 a,则|a|=a,无风时此人感觉到风速为-a,又设实际风速为 v, 由题意知,此人所感到的从正北方向吹来的风速为 v-a, 如图所示,令 OA =-a, OB =-2a, 由于 PO + OA = PA ,故 PA =v-a.
OP + OQ =F2,则由受力平衡知物体在水平方向和竖
G F , 1 sin cos cos F sin F sin , F F , 2 sin 1x 1 2x 即所以解得 G F1 y F2 y G , F1 cos F2 cos G , F . 2 sin cos cos sin
2.一条河的宽度为d,一船从A出发,行驶到河的正对岸B处,船速为|v1|,水速
为|v2|,则船行驶到B处时,行驶速度的大小为(
2 (A) v12 - v 2
D
)
(B)|v1|2-|v2|2 (D)

【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例1

TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在编故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔物理学奖，费曼不仅是一名杰出的物理学家，并且是一位伟大的教育家，他能用很简单的语言解释很复杂的概念，让其他人能够快速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观轻松的理解，这也是这个学习法命名的由来！
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识，主要叙述事实方面的知识；原理知识（know--why）：知道为什么的知识，主要是自然原理和规律方面的知识；技能知识（know--how）：知道怎么做的知识，主要是对某些事物的技能和能力；人力知识（know--who）：知道是谁的知识，主要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。

高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》346PPT课件一等奖名师

船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
解：由已知条件得 v v2 0
| vr | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h),
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
探究二向量在力学中的应用
例2 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
作业
课本习题2.5 A组3、4
解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
cos
1 2
|G
|
|G|
2 | F1 | 2 cos
2
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大
时,
2
由0°到90°逐渐变大,cos
2
的值由大逐渐变小,因此|F1|
由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省
解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2. 41 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量; ②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向. 知能训练