【高考精品复习】第五篇 平面向量 第4讲 平面向量的应用

第4讲平面向量的应用

【高考会这样考】

1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

【复习指导】

复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．

基础梳理

1．向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(3)求夹角问题，利用夹角公式

cos θ＝

a·b

|a||b|＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21x22＋y22

(θ为a与b的夹角)．

2．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

一个手段

实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．

(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．

(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移

向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )． A ．向东南走3 2 km B ．向东北走3 2 km C ．向东南走3 3 km D ．向东北走3 3 km 解析

要求a ＋b ，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作OA →

＝a ＝“向东走3 km ”，AB →＝b ＝“向北走3 km ”，则OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b . |OB

→|＝32＋32＝32(km)， 又OA →与OB →的夹角是45°，所以a ＋b 表示向东北走3 2 km. 答案 B

2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．

A ．直角三角形

B ．等腰直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →]·(AB →－AC →)＝0，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB

→|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形．

3．(2012·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )． A ．4,0 B ．16,0 C ．2,0 D ．16,4 解析 设a 与b 夹角为θ，

∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8－4|a ||b |cos θ＝8－8cos θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]， ∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]． 答案 A

4．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，则 △ABC 为( )． A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC .由AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12知，〈AB →，AC →〉＝60°

，所以△ABC 为等边三角形，故选A. 答案 A

5．(2012·武汉联考)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________． 解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4. 答案 x ＋2y －4＝0

考向一 平面向量在平面几何中的应用

【例1】►(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB

的面积等于( )． A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.1

2|a |2|b |2－(a ·b )2

D.1

2|a |2|b |2＋(a ·b )2

[审题视点] 由数量积公式求出OA 与OB 夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S ＝1

2ab sin θ，求面积． 解析 ∵cos ∠BOA ＝a ·b

|a ||b |， 则sin ∠BOA ＝ 1－(a ·b )2

|a |2|b |2， ∴S △OAB ＝1

2|a ||b | 1－(a ·b )2|a |2|b |2

＝1

2|a |2|b |2－(a ·b )2. 答案 C

平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a |可以

求线段的长度，利用cos θ＝a ·b

|a ||b |(θ为a 与b 的夹角)可以求角，利用a ·b ＝0可以证明垂直，利用a ＝λb (b ≠0)可以判定平行．

【训练1】 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )． A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 C ．以a ，b 为两边的三角形的面积 D ．以b ，c 为两边的三角形的面积