新版运筹学与最优化方法优化建模

• （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢 厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用 的影响最大，并给出相应的数字结果。
• （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树 形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更 一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1） 的要求给出模型和结果。
http://www.cseem.org/
• 例2. 罐头盒问题
• 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。
• 假设：1.不考虑折边及铁皮厚度； 2.底半径 r，高 h；
3.容积为常数V。
h r
SST
• 建立最优化模型：
min2rh2r2
s.t.r2hV orr2hV0
r, h0 • s.t. --- subject to (满足于): 约束条件
计算时间 1s 24s 10min 4.3h 4.9d 136.5d 10.8a 325a
• 可以看出27个城市时枚举法已很费时，27个以上可采用启发 式算法(heuristic algrithm)，参见： [5]
（邢文训，谢金星. 现代优化计算方法. ）
• 问题扩展 ：多旅行商问题 • 98全国建模赛题 ： B. 灾情巡视路线
• 确定 f (x) 的参数，例如：
f1(x) a0 a1xanxn
y
xi, yi
············ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
x
0 x1x2
xi
xm
f2(x)
a0
a x e a2 a3xa4x2 1
f3(x)a0 a1sina2xa3
• 最优化模型： （最小二乘）
m
min (f(xi)yi)2 i1
•
其中决策变量为f
(x)
的参数
S
S
Ta0,a1, an
• 例6. 指派问题（0-1规划）
有 m 项任务 B1, B 2 , , B m 可派 m 个人 A 1, A 2 , , A m 完成，每人承担其中一 项，第 i 人完成第 j 项任务
所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时 间最少？
建模： 设
生产可获最大利润？
• 设：计划生产 x j 单位 A j , 建立线性规划模型
• LP（Linear Programming）
•
Max c1x1+ c2x2+ s. t. a11 x1+ a12x2+
+ cnxn + a1nxn≤b1
am1 x1+ am2x2+
+ amnxn ≤bm
y
B（150，20）
●
o
x
150 x
●
●
●
A
D
C
SST
建模与求解
• 建立模型：
• 设：坐标系 xoy，铁路线在 ox- 轴上，点A 位于坐标原点 o， 点B位于（150，20）,点C位于（150，0）,站D选在 x 处， 运费为 f (x)。
• 模型： mifn(x) xR
（min--minimize）
SST
SST
SST
SST
Matlab优化工具箱 （Optimization toolbox）
• [4] 萧树铁，姜启源等. 数学实验，北京：高等教育出版社， 1999.7
• [5] 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法. 北京：清华大学出 版社，1999.8
• [6] 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 • 出版社，1998
SST
参考网站
• [1] 全国大学生数学建模竞赛网： http://www.mcm.edu.cn
600
450 80
2 750
3 104
A3 301 A2
10 194
A5 606 A4
A7 205 A6
图二
A1
SST
钢管订购和运输
最优化模型
SST
钢管订购和运输
最优化模型
SST
钢管订购和运输
最优化模型
SST
• 1998A题 投资的收益和风险 • 市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si
( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一 笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财 务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在 这买一Si的时风期险内损购失买率Si为的平qi。均考收虑益到率投为资ri，越并分预散测，出总购的 风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种 资风产险时来， 度总 量体 。风险可用所投资的Si中最大的一个 • 购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超 过须既给付无定费交值 ） 易u。 费i时另 又，外无交，风易假险费定。按同（购期r0买银=u5行i%计存）算款（利不率买是当r0然, 且无
i1
xij s 1, 2 s n2, s {1, 2,, n}（不形成回路）
i, js
其中s 表示集合s 中元素的个数。
SST
• 计算复杂性概念
• n个城市的旅行商问题-TSP，固定一个城市，采用枚举法需 (n-1)! 个枚举。 枚举时城市数与计算时间的关系
城 市 数 24 25 26 27 28 29 30 31
最优化方法
建模·原理·算法
哈尔滨工业大学
尚寿亭
SST
• 教材与参考
• [1] 吴祈宗. 运筹学与最优化方法. 北京：机械工业出版社， 2003.8
• [2] 薛嘉庆. 最优化原理与方法（修订版）. 北京：冶金工业 出版社，1992.8
• [3] 解可新，韩立兴，林友联. 最优化方法. 天津：天津大学 出版社，1997.1
• 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的 最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万 元，如下表：
SST
• 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到 点，而是管道全线）。
• （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划， 使总费用最小（给出总费用)。
SST
• 2000B题 钢管订购和运输 • 要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所
示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管 的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路， 双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有 公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每 段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单 位km)。 • 为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。
• [2] 美国：数学及其应用联合会网站： http://www.comap.com/undergraduate/
• [3] 中国数学建模网站： http://www.shumo.com/
• [4] “中国电机工程学会杯”全国大学生电 工数学建模竞赛网： http://www.cseem.org/
SST
（3）
• 由（2）知 x = 165 为增根（ f(x)0 ）
x = 135 为唯一驻点
• 答案：站 D 应设在距钢厂 A 135km处。
• 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？
• 数学建模竞赛题：道路改造项目中碎石运输的设计
• 相关网站：
“中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛
70
42
10
220
480
300 A11
A10
A91
680 1A1
A8A 1 11
图一
290
160
70 30
S6 110
62 420
A13 210 A12
30 S7
20 20
A15 500 A14
A1
SST
1150
1100 3060
290
30
S7
S2 1200
195 5
S3 690
S4 690 170
• 求解方程组
L r2h4r2rh0
(5)
L h2rr20
(6)
Lr2hV0
(7)
• 由 r > 0,及（6）解得 r2 ，代入（5）
2h 4r 4h 0 h 2 r , r 3 V
• 结论：高与直径相等时用料最省。 • 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？
• 作 业 题：建立易拉罐的优化设计模型。
（1）
其中： f(x)3x5 (150x)2202
• 求解：应用导数求极值
f(x)3 5(150x) (150x)2220
• 令 f(x)0，即 3(15x0 )22205(15x0 ) （2）
• 由（2）
9 (1 ( 5x)2 0 4)0 2 0 (Fra Baidu bibliotek 5 5x)2 0
SST
• 移项后两边开方，解得： x150 15
SST
• 经典优化问题一般模型：
a.无约束问题：
mfi(n x)om r fa(xx )
x Rn
x Rn
其中的
x
n
R
可省去；
ma xmaim x ize
b.条件极值：
mifn(x)
s.th .j(x)0; j1,2, ,l
• 最优化问题一般模型：
mifn(x) s.g ti.(x)0;i1,2, ,mg(x)0
•最优化方法
实际问题与建模
SST
1.经典极值问题
• 例1.车站选址问题
一直线铁路经过钢厂A，矿区 B 位于距铁路最 近处 C 为20km，A C 相距150km。计划在铁路上 设一站 D，在A D之间筑一条直线公路，若矿石运 费铁路为3元/km·t，公路为5元/km·t。
问题：D 站选在何处最好。
hj(x)0; j1,2, ,l h(x)0
SST
• 2.最优化问题实例：
• 例4. 生产计划问题
某工厂有 m 种资源 B 1,B 2, B m ,某一时段的数量
分别为：b1,b2, bm,可用来生产 n 种产品 A 1,A 2, A n,
每生产一单位 A j 消耗 B i 为 a ij , 利润为 c j 。如何安排
x1, x2, , xn 0
SST
• 令 X = [x1, x2, ···, xn ]T ; c = [c1, c2, ···, cn ]T ;
b = [b1, b2, ···, bn ]T ; A = [ aij ]mxn
• LP：
Max c T x
s. t. Ax b
x0
• 问题扩展 a. 若 c1, c2, ···, cn 不是固定的，c 是随机变量，
平均值 c [c 1,c2, ,cn]T，协方差矩阵 V 。
希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
v-min[ -cTx, xTVx]
s.t. Axb
x0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考98全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失qj 。
• 建立多目标优化模型：
SST
S2 1200
S3 690 720
1100
195 3060
1150 5
450
3 104
600
80
2 750 A3
301 A2
10 194
A5 606 A4
202 20
S1 12
31
10
201
205 A6A1 1
A71 1A1 1
S4
320 160 690
70 170
520
88
462 S5 10
A18
160
160
320 A20
70
70 260 130
100 30
S6 (A21)
202 20
720
520 88
A16 A17
S1
70
42
10
190
A19
62
462 S5 10
110 420 A13
210
220
A12
12 31
480
A11
300
A10
A9
680
10
201 A8A
11
20 20
A15 500 A14
v-min[-cTx, m1janxqjxj ]
s.t. Axb
x0
• 化为多目标线性规划模型：
v-min[-cTx, xn1] s.t. Axb qjxj xn1; j 1,,n
x0
SST
• 例5. 数据拟合问题
• 设某系统中变量 x, y 满足： y = f (x)
• 已获得系统数据： ( xi , yi ) , i = 1, 2 , ···, m
•令
x[r,h];f(x)2rh2r2
g(x)x;h(x)r2hV
（4）
• 模型（4）可写成 与（1）类似的形式
min f ( x ) s.t. g ( x ) 0
h(x) 0
• 不考虑不等式约束时，模型（4）可用Lagrange乘子法求解
SST
• 令 L ( x ,) L ( r ,h ,) 2 r 2 h r 2 (r 2 h V )
1 ,
xij
0
,
指派 A i 完成 B j 否则
mm
模型： min
cij xij
i1 j 1
m
s. t.
cij xij 1 , i 1 , , m (每人完成一项任务 )
j 1
m
cij xij 1 , j 1 , , m (每项任务一人完成 )
i 1
xij 0 or 1
SST
• 例7. 旅行商问题-TSP（组合优化）
• 一商人欲到 n 个城市推销， • 城市 i 到城市 j 相距 dij ,
○A ○B
• 求走遍所有城市的最短路。
• 模型：
min dijxij
○C ○E ○D
i j n
○F
s.t. xij 1, i 1, 2,, n （走出城市 i 一次）
j1
n
xij 1, j 1, 2,, n （进入城市j 一次）