重点高中数形结合问题总结归纳

精心整理

数形结合思想在高中数学中的应用

灵宝实验高中王少辉

一、什么是“数形结合思想”？

数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图

所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。

【例1】

(1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=

(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

【小结】

数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：

（1）离散的集合用Venn 图表示

（21.行。

【例22.【例3a 的取

【例4】已知函数⎩⎨⎧<+-≥=0

,20,2)(x x x x f ，则满足不等式)2()3(2x f x f <-的x 的取值范围为 3.函数零点个数问题

函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。

【例5】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________.

【例6】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.

【小结】

数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中

（1）二次函数求给定区间上的最值问题

（2 （3 解析 画出

函数y 1答案 解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示.

由图

象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解.

答案 (0，＋∞) 【跟踪训练3】已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0

,130,)(x x x a e x f x (a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )

A.(－∞，－1)

B.(－∞，0)

C.(－1，0)

D.[－1，0)

解析 当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.

因此当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根，

∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.

答案 D

b ，使得关于x 解析 当x >m 即m 2－答案 1.步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

①y ＝f(x+a)（a>0）的图象把y ＝f(x)的图象向左平移a 个单位即可 ；

②y＝f(x -a)（a>0）的图象把y＝f(x)的图象向右平移a个单位即可；

③y＝f(x)+b（b>0）的图象把y＝f(x)的图象向上平移b个单位即可；

④y＝f(x) -b（b>0）的图象把y＝f(x)的图象向下平移b个单位即可；

即我们通常所说的左加右减，上加下减。

【练习1】作出下列函数的图象

（1）y

(2)

①y

②y

③y

【练习

（1）y

(3)

①y

把y

相当于以y轴为中心，把图象往左右伸长或压缩；a<1时伸长，a>1时压缩.

②y＝Af(x)（A>0）的图象

把y＝f(x)的图象横坐标不变，各点的纵坐标变为原来的A 倍即可；

相当于以x轴为中心，把图象上下伸长或压缩；A>1时伸长，A<1时压缩.

(4)翻转变换

①y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象位于x轴下方的部分翻到x轴上方即可；

函数值为负数的变为其相反数，函数值为正数的不变，图象全部在x轴上方。

②y＝f(|x|)的图象，把y＝f(x)的图象位于y轴左边的部分去掉，然后把右边的对称到左边即可. 自变量为负数时，与其相反数对应的函数值一样，所以是偶函数。

【练习3】作出下列函数的图象

（1）|

ln x

y=

|

|x

ln

y=（2）|

【练习

（1）y