传递函数的基本性质
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1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m小
于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.23)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：
G(s) C(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm ) R(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
(2.24)
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式中k为常数，-z1,…,-zm为传
递函数分子多项式方程的m个 根，称之为传递函数的零点 ；-p1,…,-pn为分母多项式方程 的n个根，称为传递函数的极 点。
图2-4 RC 电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压Uc (0)，得:
RCsUc (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s) (2.17)
式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。
由上式求出Uc(s)的表达式:
希霍夫定律，可列写如下
微分方程：
i(t)R uc (t) ur (t)
(2.14)
uc (t )
1 C
i(t)dt
(2.15)
消去中间变量i(t)，得到输入Ur (t) 与 方输程出: Uc(t) 之间的线性定常微分
Βιβλιοθήκη BaiduRC
duc (t) dt
uc
(t )
ur
(t )
(2.16)
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由传递函数的定义，线性定常系统的传递函数：
G(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 M (s) a1s a0 D(s)
(2.23)
式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
(2.18)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
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uc
(t)
u0
(1
e
t RC
)
uc
(0)e
t RC
式中第一项称为零状态响应， 由U(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压Uc (0)决定的 分量。
有:
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
(2.20)
当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:
Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
(2.21)
当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入 函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
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一、传递函数的概念
图2-4所示的RC电路中电
容的端电压Uc (t) 。根据克
(i=1,2,…,n), bj(j=1,2,…,m)是与系统构参数有关的常系
数。
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.22)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：
[ansn an1sn1 a1s a0 ]C(s)
[bmsm bm1sm1 b1s b0 ]R(s)
一般zi，pi可以为实数，也可 为复数，且若为复数，必共 轭成对出现。
将零、极点标在复平面 上，则得到传递函数的零极 点分布图，如图2-7所示。
图中零点用“o”表示，极点 用“X ”表示。
图2-7
s2 G(s) (s 3)(s2 2s 2)
零极点分布图
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4. 若令式(2.23)中s = 0，则：
第二节 控制系统的复数域数学模型
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
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引言
• 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以 得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结 构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。
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式(2.21)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： G(s) 1 Ts 1
式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。
图2-6 传递函数
传递函数可用图2-6表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc(s)=G(s)Ur(s) 。
线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏 变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
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若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：
an
dn dt n
c(t)
an1
d n 1 dt n1
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
(2.22)
式中bcm(dtd)tm是m r系(t)统 b输m1出ddt量mm11，r(rt()t)是系 b统1 dd输t r入(t)量 b，0r(at)i
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t =0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t =0 时的值也为零。
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二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式(2.23)可知，传递函数具 有以下性质：
(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
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在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则
于或等于分母的阶数n （m≤n） ，且所有系数均为实数。
2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(2.23)中分子多项式及分母多 项式因式分解后，写为如 下形式：
G(s) C(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm ) R(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
(2.24)
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式中k为常数，-z1,…,-zm为传
递函数分子多项式方程的m个 根，称之为传递函数的零点 ；-p1,…,-pn为分母多项式方程 的n个根，称为传递函数的极 点。
图2-4 RC 电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压Uc (0)，得:
RCsUc (s) RCuc (0) Uc (s) Ur (s) (2.17)
式中 Uc(s)—— 输出电Uc(t)的拉氏变换； Ur(s)—— 输入电压Ur(t)的拉氏变换。
由上式求出Uc(s)的表达式:
希霍夫定律，可列写如下
微分方程：
i(t)R uc (t) ur (t)
(2.14)
uc (t )
1 C
i(t)dt
(2.15)
消去中间变量i(t)，得到输入Ur (t) 与 方输程出: Uc(t) 之间的线性定常微分
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uc
(t )
ur
(t )
(2.16)
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由传递函数的定义，线性定常系统的传递函数：
G(s)
C(s) R(s)
bm s m an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 M (s) a1s a0 D(s)
(2.23)
式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
(2.18)
当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得 uc(t)的变化规律:
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uc
(t)
u0
(1
e
t RC
)
uc
(0)e
t RC
式中第一项称为零状态响应， 由U(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压Uc (0)决定的 分量。
有:
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
(2.20)
当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定，式(2.20)亦可写为:
Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
(2.21)
当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换Uc(s)与输入 函数拉氏变换Ur(s)之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
• 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统 在复数域的数学模型----传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研 究系统的结构或参数变化时对系统性能的影响。传递函数 是经典控制理论中最基本、最重要的概念
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一、传递函数的概念
图2-4所示的RC电路中电
容的端电压Uc (t) 。根据克
(i=1,2,…,n), bj(j=1,2,…,m)是与系统构参数有关的常系
数。
令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.22)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：
[ansn an1sn1 a1s a0 ]C(s)
[bmsm bm1sm1 b1s b0 ]R(s)
一般zi，pi可以为实数，也可 为复数，且若为复数，必共 轭成对出现。
将零、极点标在复平面 上，则得到传递函数的零极 点分布图，如图2-7所示。
图中零点用“o”表示，极点 用“X ”表示。
图2-7
s2 G(s) (s 3)(s2 2s 2)
零极点分布图
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第二节 控制系统的复数域数学模型
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
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引言
• 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数 学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以 得到系统的输出响应。但如果系统的某个参数变化或者结 构形式改变时，便需要重新列写并求解微分方程。
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式(2.21)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： G(s) 1 Ts 1
式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。
图2-6 传递函数
传递函数可用图2-6表示。该图表明了电路中电压的传递 关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc(s)=G(s)Ur(s) 。
线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏 变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
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若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：
an
dn dt n
c(t)
an1
d n 1 dt n1
c(t)
a1
d dt
c(t
)
a0c(t
)
(2.22)
式中bcm(dtd)tm是m r系(t)统 b输m1出ddt量mm11，r(rt()t)是系 b统1 dd输t r入(t)量 b，0r(at)i
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各 阶导数在t =0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t =0 时的值也为零。
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二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式(2.23)可知，传递函数具 有以下性质：
(2.19)
图2-5表示各分量的变化曲线， 电容电压Uc (t)即为两者的合成。
图2-5 RC网络的阶跃响应曲线
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在式(2.19 )中，如果把初始电压Uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压Ur(t)
和初始电压Uc(0)作用时，电路的输出响应。若Uc(0) =0，则