2020九年级数学上学期用列表法求概率
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
初中数学教学课例《用列表法求概率》教学设计及总结反思
发展应用意识。
学生学习能
学生在做有关将球放不放回的问题上有些困难，特
力分析 别不明确提出放不放回的情况下。
让学生亲自做摸球游戏，引导学生完成我提出的问 教学策略选
题。还让学生准备好扑克牌，同桌做摸牌游戏，教师提 择与设计
出问题，学生讨论，再回答问题。
问题情境：1、求随机事件概率的一般步骤。2、我
初中数学教学课例《用列表法求概率》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《用列表法求概率》
称
本节课主要学习用列举法求概率。
教学重点：能够利用列表法和树形图法计算简单事 教材分析
件发生的概率。教学难点：判断何时采用列表法或树形
图意义，能够利
用列举法计算事件发生的概率，并阐明理由。 教学目标
们用什么方法求概率。学生回答问题，通过回答的方式， 教学过程
帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备
好知识基础。
通过学生自主探求列表法、使学生在何时应用列表
课例研究综 法、何时利用树形图法有更深的理解，指导学生如何规
述
范应用列表法解决概率问题，使学生在不同的情境下体
会列表法的特点，加深学生对列表法的理解。
25.2 第1课时 用列举法求概率课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
3.C [解析] 列表如下:
甲盒
和
1
2
3
乙盒
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
由表可知,共有9种等可能的结果,其中编号之和大于6的结
果有6种,所以P(编号之和大于6)=69 = 23.
谢 谢 观 看！
数学 九年级上册 人教版
第 二
概率初步
十
五
25.2 第1课时 用列举用列举法求概率
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 能用直接列举法求概率
究 与
例1 (教材典题)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,求下列事件
应 的概率:
用
(1)两枚硬币全部正面向上;
解:列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果,它们是:正正,正反,
B.13
C.14
D.15
测
课 3.甲盒中有编号分别为1,2,3的3个完全相同的乒乓球,乙盒
堂
小 中有编号分别为4,5,6的3个完全相同的乒乓球.现分别从每
结
与 个盒子中随机地取出1个乒乓球,则取出的乒乓球的编号之
检 测
和大于6的概率为
(C)
A.49
B.59
C.23
D.79
相关解析
2.C [解析] 从四条线段中任选三条,有4种结果,即(1,3,5), (1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),这些结果出现的可能性相等,其中能构 成三角形的结果只有1种,即(3,5,7),所以能构成三角形的概 率P=14.故选C.
堂
小 1.假如每枚鸟卵都可以成功孵化小鸟,且孵化出的小鸟是雄
结 与
鸟和雌鸟的可能性相等.现有2枚鸟卵,孵化出的小鸟恰有一
人教版九年级上册数学《用列举法求概率》概率初步研讨说课教学课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
机摸出 1 个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同
的概率是( D )
A．217
B．13
C．19
D．29
第二十五章 概率初步
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数学·九年级（上）·配人教
10．【陕西中考】现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同
数学·九年级（上）·配人教
8．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二 个出场，丙第三个出场．由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出
场顺序，求抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率．
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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数学·九年级（上）·配人教
5．【教材 P140 习题 25.2T4 变式】一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假
1
定
课件 课件
课件 课件
昆虫在
每个
岔路口
都会
随机选
择一
条路径
，则
它获取
食物
的概率
是
___3___.
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
数学·九年级（上）·配人教
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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人教版初中数学九上第二十五章 概率初步 25.2 第1课时 用直接列举法或列表法求概率
5．（2021·广州）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识
竞赛活动．在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生、1 名男学生，则从这 4 名
学生中随机抽取 2 名，恰好抽到 2 名女学生的概率为（ B ）
A．23
B．12
C．13
D．16
6．（2021·牡丹江）妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需
B．12
C．13
知识点二 用列表法求概率
D．56
4．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出
行”“低碳环保”三个宣传队．如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个
宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ C ）
A．19
B．16
C．13
D．23
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先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
12．在－4，－2，1，2 四个数中，随机取两个数分别作为二次函数 y＝ax2＋ bx＋1 中 a，b 的值，则该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率 为．
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先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
13．有大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放 置于地板上．可表示为（A1，A2），（B1，B2）． （1）若先从两只左脚拖鞋中随机取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只， 则恰好配成一双相同颜色的拖鞋的概率为 ； （2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用表格列举出所有可能出现的结 果，并求恰好配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是
（ A） A．14
B．13
C．12
人教版九年级数学上册--25.用列表法求概率-课件
由当上一表次可实知验共涉有及4种两等个可因能素性时的(如结掷果两，个骰子∴)P,(且B)可=2能/4出=1现/2的，结果较多
时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,用列表法.
当堂训练
用列表法求概率
同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率
知识点二
(1)两枚骰子的点数相同；(2)两枚骰子点数的和是9；
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 为事件C)有11种，
由上表可知共有36种等可能性的结果， ∴P(C)=11/36，
课堂小结
列举法 求概率
用列表法求概率
知识梳理
当一次实验涉及一个因素时(如掷一枚骰子),用直接列举法.
列表法
前提条件：确保实验中每种结果出现的可能性大小相等. 适用对象：两个实验因素或分两步进行的实验.
用列表法求概率
提升能力
2.在6张卡片上分别写有1～6,随机的抽取一张后放不回放回，再随机的抽取一
张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?
解:列表如下：
其中第一次取出的数字能够整除第
1 2 3 4 5 6 2次取出的数字(记为事件A)有14种，
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
你们赢,如果落地后朝上的是一正一反,老师赢.请问,你们觉得这个游戏
公平吗?
你能把这问题改编成数学问题吗？
典例精讲
用直接列举法求概率
【例1】“先同后时将掷一两硬枚币硬掷币两”次,试求下列事件的概率： 第1枚 (1)两枚硬币全部正面向上；
(2)一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上；
知识点一
人教版九年级数学上册《用列举法求概率》概率初步PPT精品教学课件
板书设计
把两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，这样就可以用下面的方形表格列举出
所有可能出现的结果.
解决问题
两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，所有可能的结果列表如下：
（1）满足两枚骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个
6
1
（表中斜体加粗部分），所以P（A）= 36 = 6.
（2）满足两枚骰子的和是9（记为事件B）的结果有4个
2.如图所示的扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球表面积的
百分比. 若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是
%.
达标检测
1.“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为
（
）
1
A.
3
11
B.
36
5
C.
12
1
D.
4
2.不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，这些球除颜色外无
出场，由于人为指定出场顺序不合规，要重新抽签确定出场顺序，则抽签后三个
运动员出场顺序都发生变化的概率是
.
达标检测
5.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，
2
3
其中红球1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 .
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图
5
，全是辅音字母的结果有两个，
12
2
1
即BCH，BDH，所以P（三个辅音）= = .
12
6
P（一个元音）=
练习巩固
1.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转. 如果这三种可能
九年级数学上册教学课件《用列表法求概率》
直接列举法
掷骰子的点数
列表法
用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.
在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表时事件(或数据)的顺序不能随意混淆.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
【教材P138练习 第1题】
解：（1） ；（2） ；（3） .
2. 有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1,2,3,4,5,6.随机 抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二 次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
【教材P138练习 第2题】
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子点数的和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.
知识点2
用列表法求概率
怎么列出所有可能出现的结果？
第1枚第2枚
1
2
3
4
5
6
1
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
1,3
4
小凯
1,2
1,3
1,4
点P所有可能的坐标如下表：
2,1
2,3
2,4
3,1
3,2
3,4
4,1
4,2
4,3
解：
小敏
(2)求点(x，y)在函数y=-x+5图象上的概率.
解：记点P满足在函数y=-x+5的图象上为事件A.
x+y=5
拓展延伸
8.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
人教版数学九年级初三上册 用列举法求概率 名师教学教案 教学设计反思
第2枚
1
1,1
2,2
2
1.2
3
4
5
1
好好学习 天天向上
6
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法. 运用列表法求概率的步骤如下: ①列表； ②通过表格确定公式中 m、n 的值；
③利用 P(A)= m 计算事件的概率. n
把一个质地均匀的骰子掷两次,至少有一次骰子的点数为 2 的概率是(
)
课堂练习 （难点巩固）
1 A.
2 C. 1
36
1 B.
5 D. 11
36
思考:如果把例 1 中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”,得到的 结果有变化吗？为什么？
小结
在运用列表法求概率时,应注意各种结果出现的可能性相等,要注意列表时事件(或数据)的顺序不能随 意混淆. 用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多的概率问题.
2
学生的生活经验不足,分析能力和逻辑推理能力较弱,在研究问题中事件发生的结 果的可能性有错误的直觉,不能将所有情况列出,不会制作表格
难点敎學方法 1.通过讲解分析指导学生制作表格 2.通过举例分析表格
敎學环节
敎學过程
导入
同时抛掷两枚质地均匀的骰子,会出现哪些可能的结果？ 怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的结果呢？
知识讲解 （难点突破）
例 1 同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是 9；
（3）至少有一枚骰子的点数为 2.
思考:怎么列出所有可能出现的结果？
两枚骰子分别记为第 1 枚和第 2 枚,可以用表列举出所有可能出现的结果,填写下表
25.2列举法求概率-列表法求概率 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
课题名称
难点名称
李妙琼 初中数学
单位名称 年级/册
乌市第十一中学 九年级/上册
填写时间 教材版本
2020.8.29 人教版
25.2 列举法求概率-列表法求概率 能根据试验的分步实施或涉及因素准确列表，体现所有结果并做到不重不漏．
难点分析
从知识角度分析为 什么难
本节是在上一节的基础上，继续研究用列举的方法求概率．相比上一节，这一 节中的问题相对复杂些，试验中每一种结果都包含两个子结果（试验往往是分 两步实施，或涉及两种因素等）．试验结果比较复杂.
课堂练习 （难点巩固）
沿用掷骰子背景，解决以下三个问题，巩固所学： 1.两枚骰子点数相同 2.两枚骰子的点数和是 9 3.至少有一枚骰子的点数为 2 Nhomakorabea小结
用列表法可以体现数据位置的规律并做到不重不漏
教学环节
教学过程
导入
问题：游戏公平吗？ 小明和小亮通过抛硬币决定谁先玩游戏，制定的规则公平吗？
知识讲解 （难点突破）
小明该选择哪个方案？ 方案 1：同时掷两枚质地均匀的骰子。点数之和大于七，直接进入下一关 方案 1：同时掷两枚质地均匀的骰子。点数之和小于或等于七，直接进入下一关 分析题意，强调是等可能事件。引入有序数对的表示方法，提出疑问，怎么做才可以对 36 种可能做到 不重不漏？观察课程表及成绩单，分析表头及表中内容，引出列表法。接着对列表法的几个步骤：列 表头、填表、读表进行讲解，最终利用所列表格帮助小明做出合适的选择解决问题。
通过需生活中常常接触的课程表及成绩单让学生感受到当试验涉及的两个因素（或是两个步
骤），将它们分别作为表格的横纵表头，那么实验的所有结果都会写在表格之中，体会要不重不漏的 难点教学方法
《用列举法求概率(第1课时)》教案 人教数学九年级上册
25.2 用列举法求概率（第1课时）一、教学目标【知识与技能】初步掌握直接列举法计算一些简单事件的概率的方法.【过程与方法】通过用列举法求简单事件的概率的学习，使学生在具体情境中分析事件.计算其发生的概率，解决实际问题.【情感态度与价值观】体会概率在生活实践中的应用，激发学习数学的兴趣，提高分析问题的能力.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】熟练掌握直接列举法计算简单事件的概率.【教学难点】能不重不漏而又简洁地列出所有可能的结果.五、课前准备课件等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2，3：小颖为一节活动课设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成相等的几个扇形．游戏规则是：游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。
问：游戏者获胜的概率是多少？老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？上边的问题有几种可能呢？怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的结果呢？．（板书课题）（二）探索新知探究一用直接列举法求概率出示课件5-7：同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：(1)两枚两面一样；(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.师生共同分析：“掷两枚硬币”所有结果如下：⑴两正；⑵一正一反；⑶一反一正；⑷两反.师生共同解决如下：解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面、两面都是反面，共两种情形，其概率为21；=42（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正、正反两种情形，其概率为21=.42出示课件8：教师归纳：上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.教师强调：直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.想一想：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？（出示课件13）师生共同分析：结论：一样.出示课件10：教师归纳：随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.探究二用列表法求概率出示课件11：同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：(1)两枚两面一样；(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.还有别的方法求上述事件的概率吗？教师分析：还可以用列表法求概率：出示课件13：教师分析列表法中表格构造特点，学生思考并认定.出示课件14-16：例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同.（2）两个骰子的点数之和是9.（3）至少有一个骰子的点数为2.教师分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出1、2、···6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1,2，···，6中的每一种情况.可以用“列表法”列出所有可能的结果如下：解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P（A）=61.=366（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则P（B）=41.=369（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P（C）=11.36出示课件17：教师归纳：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.巩固练习：（出示课件18-20）同时抛掷2枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是1、2、3···6.试分别计算如下各随机事件的概率.(1)抛出的点数之和等于8；(2)抛出的点数之和等于12.教师分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出1、2、···6中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出1、2、···6中的每一种情况.可以用“列表法”列出所有可能的结果.学生板演：解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有36种.由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.(1)抛出点数之和等于8的结果(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)和(6,2)这5种，所以抛出的点数之和等于8的这个事件发生的概率为5；36(2)抛出点数之和等于12的结果仅有(6,6)这1种，所以抛出的点数之和等于12的这个事件发生的概率为1.36出示课件21：例2 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？师生共同解决如下：（出示课件22）解：利用表格列出所有可能的结果：次摸出红球4(2)=.9P ∴拓展延伸：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？（出示课件23）师生共同解决如下：解：利用表格列出所有可能的结果：次摸出红球21(2)=.63P ∴=出示课件24：教师强调：通过例2及拓展延伸的讲解，放回与不放回列举的过程是不同的，解答问题时，注意明确，若无明确，具体问题具体分析.巩固练习：（出示课件25，26）如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.学生思考交流后自主解决，一生板演.解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为1.6出示课件27，28：例3 甲乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有3辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等3种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来.于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第1辆开来的车.乙不乘第1辆车，并且仔细观察第2辆车的情况，如果比第1辆车好就乘坐，比第1辆车差就乘第3辆车.试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适程度上等的车？学生独立思考后师生共同解决.解：容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可能情况：（上中下），（上下中），（中上下），（中下上），（下上中），（下中上）.假定6种顺序出现的可能性相等，在各种可能顺序之下，甲乙两人分别会乘坐的汽车列表如下：甲乘到上等、中等、下等3种汽车的概率都是13；乙乘坐到上等汽车的概率是31=62，乘坐到下等汽车的概率只有16.答：乙的乘车办法有有利于乘上舒适度较好的车.巩固练习：（出示课件29-31）小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1、2、3、4、5、6,小明建议:“我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的获胜.”如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗?你能求出小亮得分的概率吗?师生共同分析：用表格表示解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等.满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)这9种情况,所以P(A)=936=1. 4（三）课堂练习（出示课件32-39）1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用列表的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．2.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（）A.49B.13C.12D.193.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（）A.14B.12C.18D.1164.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌.（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？5.在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？参考答案：1.解：列表得:由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种.所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率=31.932.B3.D4.解：列表，得（1）P（数字之和为4）=1.3（2）P（数字相等）=1.35.解：列表，得由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件A）的结果有14个，则P（A）=147.3618（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（25.2第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.本节课通过以学生喜闻乐见的掷硬币等游戏为载体，充分调动了学生的学习欲望，将学生摆在了真正的主体位置上，充分发挥了他们的主观能动性，从而让学生在趣味中掌握本节课的知识.生活中有许多有关概率的问题，本节课的学习亦能让学生尝试用概率的知识去解决生活中的问题，从而体会到概率知识在生活中的应用价值.2.本节课还通过普通列举法与列表法，对找出包含两个因素的试验结果的对比，让学生感受到列表法的作用与长处，使学生易于接受知识.3.教师引导学生交流归纳知识点，看学生能否会不重不漏地列举出事件发生的所有可能，能否找出事件A中包含几种可能的结果，并能求P（A），教学时要重点突出方法.。
25.2 用列举法求概率(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
25.2 用列举法求概率（第一课时）一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十五章“概率初步”25.2 用列举法求概率（第一课时列表法求概率），内容包括：用列举法(列表法)求简单随机事件的概率．2.内容解析在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限种，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法. 当每次试验涉及两个因素时，为了更清晰、不重不漏地列举出试验的所有结果，教科书给出了以表格形式呈现的列举法——列表法．这种方法适合列举每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多的情形．相对于直接列举法，用表格列举体现了分步分析对思考较复杂问题时起到的作用．将试验涉及的一个因素所有可能的结果写在表头的横行中，另一个因素所有可能的结果写在表头的竖列中，就形成了不重不漏地列举出这两个因素所有可能结果的表格．这种分步分析问题的方法，将在下节课树状图法中进一步运用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用列表法求简单随机事件的概率．二、目标和目标解析1.目标1）会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.2）用列举法(列表法)计算简单事件发生的概率.2.目标解析达成目标1）的标志是：对于结果种数有限且每种结果等可能的随机事件，可以用列举法求概率；当每次试验涉及两个因素，且每个因素的取值个数较多时，相对于直接列举，采用表格的方式更有利于将试验的所有结果不重不漏地表示出来．达成目标2）的标志是：掌握列表法求概率的步骤：1）列表；2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；，计算出事件的概率．3）利用概率公式P(A)=mn三、教学问题诊断分析学生已经理解了列举法求概率的含义，但对于涉及两个因素的试验，如何不重不漏地列举出试验所有可能的结果这对学生而言是一种考验，如何设计出一种办法解决这个较复杂问题，“分步”分析起到了重要作用．基于以上分析，本节课的教学难点是：掌握列表法求概率的步骤．四、教学过程设计（一）复习巩固【提问】简述概率计算公式？师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾上节课所学内容，为接下来学习利用列表法求概率打好基础．（二）探究新知【问题一】老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，学生赢. 你们觉得这个游戏公平吗？师生活动：教师提出问题，学生尝试思考.【设计意图】通过现实生活中的实际问题，激发学生学习数学的兴趣．【问题二】同时掷两枚硬币，求下列事件的概率：1）两枚硬币两面一样.2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.3）问题一中的游戏公平吗？师生活动：教师提出问题，先要求学生说出可能出现的情况.部分学生认为：上述三个事件恰好代表了抛掷两枚硬币的所有可能的结果，故概率分别为13；另一位学生认为：出现结果为：正正、正反、反正、反反，其中“正反”与“反正”应分别算作两种可能的结果，故上述事件的概率分别为14，14和12．教师强调：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫做列举法.师：你觉得问题一中的游戏公平吗？师生活动：学生通过刚才的结论得出：学生赢的概率与教师赢的概率相等，所以该游戏是公平的. 教师补充说明：上述这种列举法我们称为直接列举法（枚举法）并给出使用直接列举法的注意事项.【设计意图】让学生掌握用列举法求概率的使用条件：①所有可能出现的结果是有限个.②每个结果出现的可能性相等.【问题三】“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？由此你发现了什么？师生活动：教师共同作答，得出：同时掷两枚硬币，会出现：两正、两反，一正一反和一反一正；先后两次掷一枚硬币，也会出现：两正、两反，一正一反和一反一正.所以这两种实验的所有可能的结果一样.教师指出：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的，因此作此改动对所得结果没有影响．当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．【设计意图】让学生理解当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析．（三）典例分析与针对训练例1 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是_________【针对训练】1. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为____________2. 如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为______________3．（2020·江苏南通·统考中考真题）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．4．（2022·江苏南京·统考中考真题）甲城市有2个景点A、B，乙城市由3个景点C、D、E，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：(1)选取1个景点，恰好在甲城市；(2)选取2个景点，恰好在同一个城市．【设计意图】巩固用列举法求概率．（四）探究新知【问题三】同时投掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率.1）两个骰子的点数相同.2）两个骰子点数的和是9.3）至少有一个骰子的点数为2.师生活动：师生分析得出，与问题二类似，问题三的试验也涉及两个因素(第一枚骰子和第二枚骰子)，但这里每个因素的取值个数要比问题二多(抛一枚硬币有2种可能的结果，但掷一枚骰子有6种可能的结果)，因此试验的结果数也就相应要多很多．因此，直接列举会比较繁杂，可以使用列表法．列表法适合列举每次试验涉及两个因素，并且每个因素的取值个数较多的情形．师：如何列表？师生活动：学生分析，因为试验涉及两个因素(两枚骰子)，可以分两步进行思考，将第1枚骰子的所有可能结果作为表头的横行，将第2枚骰子的所有可能结果作为表头的竖列，列出如下表格：由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相同.1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1,1),(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，所以P(A)= 636= 16 2)两枚骰子的点数相同(记为事件B)的结果有4种，即(3,6),(6,3),(5,4)，(4,5) 所以P(B)= 436= 193)至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，即(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2) (2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)所以P(B)= 1136【设计意图】明确列表法．【问题四】简述列表法求概率的步骤？师生活动：教师提出问题，学生尝试回答.教师引导与归纳得出：1）列表；2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n 和符合条件的结果数m 的值；3）利用概率公式P (A )=mn ，计算出事件的概率．【设计意图】让学生掌握列表法求概率的方法.（五）典例分析与针对训练例2 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是_______________【针对训练】1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行调查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是______________2.从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是___________；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．3．在一个不透明的口袋中装有大小材质完全相同的三个小球，分别标有数字3，4，5, 另有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字2，3，4，5，四张卡片背面朝上放在桌面上．小明先从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字为x，小红再从桌面上随机抽出一张卡片，记下卡片上的数字为y．(1)从口袋中摸出一个小球恰好标有数字3的概率是___________；(2)求点P（x，y）在直线y=x−1上的概率．【设计意图】巩固列表法求概率的方法.（六）直击中考1．（2023·安徽中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）A．59 B．12C．13D．292．（2023·湖南中考真题）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（）A．16 B．14C．13D．123．（2023·黑龙江齐齐哈尔中考真题）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A．12 B．13C．14D．16【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点. （七）归纳小结1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2. 用列举法求概率应该注意哪些问题？3. 列表法适用于解决哪类概率求解问题？使用列表法有哪些注意事项？（八）布置作业P138：练习五、教学反思。
人教版初中数学九年级上册 用列举法求概率(第2课时) 课件PPT
1
；
27
（2）P（两车向右，一车向左）=
1
;
9
（3）P（至少两车向左）＝
7
27
、
13
新课讲解
例2 小刚、小军、小丽三人参加课外兴趣小组，他们都计划从航模小
组、科技小组、美术小组中选择一个、
(1)求三人选择同一个兴趣小组的概率；
(2)求三人都选择不同兴趣小组的概率、
14
第 二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 树状图法
1
学习目标
1
用列举法（画树状图法）求事件的概率（重点）、
2
进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能、
2
新课导入
知识回顾
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并
且它们 发生的可能性相等 ,事件A包含其中的 m 种
m
n
结果，那么事件A发生的概率P（A）=
即
A A
C C
H I
A A
D D
H I
A
E
H
A B B B B B B
E C C D D E E
I H I H I H I
这些结果的可能性相等、
有 2 个元音字母的结果有4 种, 即ACI, ADI, AEH, BEI,
所以P（2 个元音）=
= 、
8
新课讲解
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 12种，
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10、
19
随堂训练
解：根据题意，画出树状图如下
第一个数字
人教版九年级上册数学精品教学课件 第25章 概率初步 用列举法求概率
不同的概率为（ C ）
A. 1
1
1
B.
C.
D. 3
4
3
2
4
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放
一本，最多放两本，共有 10 种不同的放法.
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 6， -2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用 列表或画树状图的方法求下列事件的概率. （1）两次取出的小球上的数字相同； （2）两次取出的小球上的数字之和大于 10.
AB
E DC
HI
甲
乙
丙
(1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音
字母的概率各是多少？
解：由树状图知所有 甲
A
B
可能出现的结果有 12
个，它们出现的可能 乙 C D E C D E
性相等.
满足只有一个元音字
母的结果有 5 个，则 P (一个元音) = 5 .
12
丙 H IH IH I H IH IH I A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H IH IH I H I H IH I
例3 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中 的一人，如此传球三次. (1) 写出三次传球的所有可能结果 (即传球的方式)； (2) 指定事件A：“传球三次后，球又 回到甲的手中”，写出 A 发生的所有 可能结果； (3) 求P(A).
解：(1) 第一次 第二次 第三次 结果
问题引入 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有 两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个 糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包 以及一个馒头. 老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个 盘中各选一个包子 (馒头除外)，请你帮老师算算选的 包子全部是酸菜包的概率是多少.
九年级数学上册《用列表法求概率》PPT
活动三：找规律，列表格，作比较
• 枚举法的缺点有哪些？
•你有没有更好的方法将这些数据更有规律 的展现在我们面前？
•如何想到列表格？相对于枚举法，它有哪 些优点？
活动四：练习
• 1、一枚骰子掷两次，请将向上面数字的所 有可能列成表格。
•2、一个不透明的口袋里有三个质地和大 小完全相同的球，2个红球和1个蓝球，抽 取一次后放回再抽取一次，请将两次抽取 的所有可能列成表格。
• 这种方法我们可以叫做列举法或者枚举法 （一个一个的列举出来）
•可以用列举法求概率的事件一般具有以下 两个特点：
1、可能出现的结果具有有限多个；（反 例：天上星星的质量）
2、各种结果出现的可能性相同。（反例： 大牌和小牌）
活动二：整合和展示
• 请找到属于自己的小组
规则是：小组内花色一样，不能有重复数 字。 找到小组以后，请小组内将所有的有序数 对都找出来，一共有多少个？总结：什么时候需要去掉对角上的有序数对？活动六：小结
• 本节课你学会了什么？
1、枚举法 2、可用列举法求概率的事件的特点 3、列表法 4、优缺点比较 5、列表法求概率的步骤
活动七：随堂检测和作业
1、随堂检测
3、作业：大卷
2、请用红色的笔画出你认为你本 节课的收获。（五颗星代表最有
收获，一颗星代表最没收获）
•问题：你遇到了什么问题？你是如何解决的？
活动五：应用和提高
• 练习1中加问题 • ⑴两次掷骰子，求向上一面的数字两次均
为偶数的概率。 • ⑵两次掷骰子，求向上一面的数字两次之
和为偶数的概率。 • ⑶两次掷骰子，求向上一面的数字两次相
同的概率。
•练习2中加问题：
•若将题目中的“放回”改成“不放回”，你认为 原表格该如何改？
九年级数学《用列举法求概率》课堂评价
课例点评
《用列举法求概率》从本节课教学重点来看是运用列举法（简单枚举、列表法）计算随机事件发生的概率。
我们知道，概率论研究的是随机现象，随机性的中心思想是不可预测性，这也是它的魅力所在。
许老师对于随机性的渗透从课前游戏导入就开始了。
许老师在这节课导入阶段通过课间操活动谁说了算的小游戏入手，很自然的过渡到上节课的回顾复习，紧接着引出本节课内容。
然后又以课间操活动谁说了算引出本节课的第一个例题，并通过实验解决问题培养了学生的动手能力和归纳能力。
把枯草无味的讲例题换成游戏方式出现，激发了学生的学习兴趣和求知欲，让学生在游戏中获得新知。
再将硬币改为同学们喜闻乐见的转盘游戏、掷骰子游戏一次次激发学生的学习兴趣。
使整堂课没有那种看似生动的环节，却让学生充满了好奇心。
在问题设置上由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，教师从中指导、总结，示范。
在在整堂课的教学，始终强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想。
利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。
充分体现教学内容的基础性、教学方法的灵活性、学生学习的主体性、教师教学的主导性。
在学习活动中，尽力让学生主动参与、认真观察、比较思考、动手操作、合作交流、大胆表述，充分体现学生是学习的主人，教师是学习活动的组织者、引导者和合作者。
把教师的讲解与学生的练习有机的结合起来，是师生间、生生间一起思考数学问题和解决数学问题。
并通过精心设计的问题来把握住了预设和生成的关系，课堂教学节奏的控制恰到好处。
是一节成功的示范课。
初中九年级数学 用列举法求概率第一课时用列表法求概率(一)
第1课时 用列表法求概 率
概率的定义：
一般的,对于一个随机事件A， 我们把刻画其发生可能性大小的 数值，称为随机事件A发生的概
等率可，记能为性P概（率A）的. 求法：
一般的,如果在一次实验中,有 n种可能的结果,并且它们发生的 可m种能结m性果都,相那等么,事事件件发包生含的其概中率的 为P(An )=
（2）写出各指定事件发生的可能 结果：
❖ A:取出的2个球同色
（R ，R ）、 R ❖
1
1
（ 1，R2）、（R2，R1）、（R2，R2）(共4种)
❖ B:取出2个白球
❖ （W1,W1）、（W1，W2）、（W2，W2）、（W2，W2）(共4种)
1
1
（3）指定事件的概4率为： 4
P(A)=_____,P(B)=_______.
动脑筋
❖ 李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的 点数之和为
奇数，则李明赢；如果两枚骰子的点数之和为
偶数，则
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等，
各掷一枚骰子，可能出现的结果数目较多，
刘英赢.这个游戏为了公不重平不漏吗地？列举所有可能的结果，通常
采用列表法.
我们可以把掷两枚骰子的全部可能结果列表如下
练一练：
❖ 1.如图，有三条绳子穿过一块木板，姐妹两 人分别站在木板的左、右两边，各选该边的
一段绳子.若每1 边每段绳子被选中的机会相等，
则两人选到同一绳子的概率为多少？
3
❖ 2.从-2，-1,2这三个数中任意1 取两个不同的书， 作为点的坐标，求该点在第3四象限的概率.
（R1， R1）
（R2，
R2
R1）
R2
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25.2 用列举法求概率 第1课时 用列表法求概率
１．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( ) A 、
18 B 、13 C 、38 D 、3
5
２.有2名男生和2名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一起的概率是( )
A 、14
B 、13
C 、12
D 、23
３．一辆汽车在一笔直的公路上行驶，途中要经过两个十字路口．那么在两个十字路口都能直接通过（都是绿灯）的概率是_____________．
４．袋子内装有除颜色外其余都相同的３个小球，其中一个红球，两个黄球．现连续从中摸两次（不放回），则两次都摸到黄球的概率是____________．
５． A 、B 两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游戏规则是：甲从A 袋中随机摸一个球，乙从B 袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗?为什么?
６．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．
(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少?
(2)妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大?
(3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少?
７．一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
８．桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中随机抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中随机抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加；
（1）请用列表或画树形图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？
９．小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20 000次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等)？并说明理由．
用列举法求概率
１．Ｃ２．Ｄ３．1
9４．1
3
５．不公平下面列举所有可能出现的结果：由此可知，和为奇数有4种，和为偶数有5种
∴甲赢的概率为4/9，乙赢的概率为5/9
∴不公平
６．(1) 1
3，(2) 1
3
，(3) 1
3
７．(1) 列表：
十
位
个位
３４５
３33 43 53
４34 44 54
５35 45 55
由表中可知，得到的两位数共有９种(2)
9８．（1）列表如下：
1 2 3 4
由列表可得：P （数字之和为5）=4
1 （2）因为P （甲胜）=41，P （乙胜）=4
3
∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：4312=÷（分） ９．列表如下：
由表中可知，和为７的概率为6
，2000033336
⨯≈．而20远远小于3333
因而这两个骰子不可能都合格．。