2021年高考数学 二次函数练习
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
【精编】2021年超详细高考数学复习二次函数测试题
21. 解析式、待定系数法高考数学复习二次函数测试题若 fx xbx c 、且 f 10 、 f 3 0 、求 f 1 的值．变式 1：若二次函数f xaxbx c 的图像的顶点坐标为2、1 、与 y 轴的交点坐标为(0、11) 、则 A ．a1、b4、 c 11B. a3、b12、 c 11C. a 3、 b6、 c 11D. a3、b12、c 11变式 2： 若 fx xb 2 x 3、 x [b 、 c] 的图像 x=1 对称、则c= ．变式 3： 若二次函数f xax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点A x 1、0 、Bx 、0 、且 x 2x226 、试问该二次函数的图像由 f x3 x 1 2 的图像向上平移几个2129单位得到？2. 图像特征将函数f x3x6 x 1 配方、确定其对称轴、顶点坐标、求出它的单调区间及最大值或最小值、并画出它的图像． 变式 1 ： 已 知二次 函数f xaxbx c 、 如 果f x 1f x 2 ( 其 中 x 1x 2 ) 、 则fx 1 x 2 2b b A ．B ．2 aaC.cD ．4ac b 24a变式 2：函数 fx x 2 px q 对任意的 x 均有 f 1 x f 1 x 、那么 f 0 、f1 、f 1 的大小关系是yA ． f1 f 1f 0 B ． f 0 f 1 f 1C ． f1f 0 f1D ． f1f 0f 1变式 3： 已知函数f x ax 2 bx c 的图像如右图所示、请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题．Ox22223．单调性22222已知函数f x x2x 、 g x x2x x [2、4] ．(1) 求 fx 、 g x 的单调区间； (2) 求 f x 、 g x 的最小值．变式 1： 已知函数f xx 2 4ax 2 在区间、6内单调递减、则 a 的取值范围是A ． a 3B ． a3 C ． a 3 D ． a 3 变式 2：已知函数是．f xx 2a 1 x5 在区间 (1 2、1)上为增函数、那么f 2 的取值范围变式 3： 已知函数f x xkx 在 [2、 4] 上是单调函数、求实数 k 的取值范围．4. 最值已知函数f xx2x 、g xx2x x[2、4] ．(1) 求 fx 、 g x 的单调区间； (2) 求 f x 、 g x 的最小值．变式 1：已知函数f xx2x 3在区间 [0、 m ]上有最大值3、最小值 2、则 m 的取值范围是A ． 1、B ． 0、2C ． 1、2D ．、2变式 2： 若函数 y3 x4 的最大值为 M 、最小值为 m 、则 M + m 的值等于．变式 3： 已知函数f x4x 2 4ax a 2 2a 2 在区间 [0、2] 上的最小值为 3、求 a 的值．5. 奇偶性已知函数f x 是定义在 R 上的奇函数、当 x ≥0 时、f x x 1x ．画出函数 f x 的图像、并求出函数的解析式．变式 1： 若函数 f xm 1 x2m21 x 1是偶函数、则在区间 、0 上 f x 是22A ．增函数B ．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数 f x ax2bx 3a b a 1 x 2a 是偶函数，则点a,b 的坐标是．变式3：设a 为实数，函数 f ( x) x 2 | x a | 1 ，x R．(I) 讨论 f ( x) 的奇偶性；(II) 求f ( x) 的最小值．6．图像变换已知 f ( x) x23xx24x3,6x3, 35,1xxx1．6(1)画出函数的图象；(2) 求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数y x 2 2 x 3 的单调区间．楠变式2：已知函数 f ( x) | x2 2 a x b | (x R) ．给下列命题：① f ( x) 必是偶函数；② 当f(0) f (2) 时、 f (x) 的图像必关于直线x=1 对称；③若a2 b0 、则 f ( x) 在区间[ a、＋∞) 上是增函数；④f (x) 有最大值| a 2 b | ．其中正确的序号是．③变式3：设函数 f (x) x | x | bx c、给出下列4个命题：①当c=0 时、y f ( x) 是奇函数；②当b=0、c>0 时、方程 f ( x) 0 只有一个实根；楠③ yf ( x) 的图象关于点（ 0、c ）对称；④方程 f ( x)0 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为．7. 值域求二次函数 2f ( x)2 x6 x 在下列定义域上的值域：(1) 定义域为 x Z 0x 3 ； (2) 定义域为 2、1 ．变式 1： 函数 f (x)2x6x 2 x 2 的值域是3 2A ． 20、2B ． 20、4C ． 920、29 D ．20、2变式 2： 函数 y=cos2x+sinx 的值域是．变式 3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx （ a 、b 为常数、且 a ≠ 0）、满足条件 f (1 + x) = f (1 － x)、且方程 f ( x) = x 有等根．(1) 求 f ( x) 的解析式；(2) 是否存在实数 m 、n （m < n ）、使 f (x) 的定义域和值域分别为[m 、n] 和 [3 m 、3n]、如果存在、求出m 、 n 的值、如果不存在、说明理由．8. 恒成立问题当 a 、 b 、c 具有什么关系时、二次函数f xaxbx c 的函数值恒大于零？恒小于零？变式 1： 已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．(I) 若函数 f (x) 的定义域为 R 、求实数 a 的取值范围； (II) 若函数 f (x) 的值域为 R 、求实数 a 的取值范围．变式 2： 已知函数 f ( x)2xax 3 a 、若 x2、2时、有 f ( x) 2 恒成立、求 a 的取值范围．22楠变式3：若f (x) = x 2 + bx + c、不论、为何实数、恒有 f (sin )≥0、f (2 + cos )≤0．(I) 求证：b + c = －1；(II) 求证：c≥3；(III) 若函数 f (sin ) 的最大值为8、求b、c 的值．9. 根与系数关系右图是二次函数 f x ax bx c 的图像、它与x 轴交于点x1、0和x2、、试确定a、 b、 c以及x1x2、x1x2的符号．y1xx1 O 1 x2变式1：二次函数y ax 2 b 与一次函数y ax b(a b) 在同一个直角坐标系的图像为y y y yOx O xOx OxA ．B．C． D ．楠2m变式2：直线y mx 3 与抛物线C1 : y x25mx 4m、C 2 : y x 2( 2m 1) x 23、C3 : y x23mx 2m 3 中至少有一条相交、则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f (x)、若存在x0 R 、使 f (x0) = x0成立、则称x0为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0 ）有两个相异的不动点x1、x2．(I) 若x1 < 1 < x2、且 f (x) 的图象关于直线x = m 对称、求证m > 1 ；2(II) 若| x1 | < 2 且| x1－x2 | = 2 、求 b 的取值范围．10. 应用绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料．根据以前的统计数据、若零售价定为每瓶 4 元、每月可销售400 瓶；若每瓶售价每降低0.05 元、则可多销售40 瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下、请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时、才可获得最大的利润？变式1：在抛物线 f x xy ax 与x 轴所围成图形的内接矩形(一边在x 轴上)中(如图)、求周长最长的内接矩形两边之比、其中a 是正实数．A DxO B C2变式 2：某民营企业生产 A ， B 两种产品，根据市场调查与预测， A 产 品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平 方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元） (1) 分别将 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2) 该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资， 才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到 1 万元）？ 变式 3： 设 a 为实数，记函数 f (x) a 1 x 21 x 1 x 的最大值为 g(a) ．（Ⅰ）求 g(a)；（Ⅱ）试求满足 g(a) g( 1) 的所有实数 a ．楠a楠。
【优化探讨】2021高考数学 2-4 二次函数与幂函数提素能高效训练 新人教A版 理 (1)
"【优化探讨】2021高考数学 2-4 二次函数与幂函数提素能高效训练 新人教A 版 理"[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的极点在x 轴上，那么t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：二次函数的图象极点在x 轴上，∴Δ＝0， 可得t ＝－4. 答案：A2．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如下图，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：由幂函数的图象特点知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，指数大的幂函数的函数值就大，那么a>b. 综上所述，可知c<b<a. 答案：A3．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(1＋x)＝f(－x)，那么以下不等式中成立的是( ) A ．f(－2)<f(0) <f(2) B ．f(0)<f(－2)<f(2) C ．f(0)<f(2)<f(－2) D ．f(2)<f(0)<f(－2)解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴x 2＋(2＋b)x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12. ∴f(0)<f(2)<f(－2)．答案：C4．(2021年惠州模拟)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，那么log 4f(2)的值为( )B ．－14C ．2D ．－2解析：设f(x)＝x a ，由其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22得⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒a ＝12，故log 4f(2)＝log 4212＝14.应选A.答案：A5.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如下图，那么m 的值为( ) A ．－1<m<3 B ．0 C ．1D ．2解析：从图象上看，由于图象只是原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2别离代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，知足要求．答案：C6．设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x<g x ，g x －x ，x≥g x ，那么f(x)的值域是( ) ∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)∪(2，＋∞)解析：令x<g(x)，即x 2－x －2>0，解得x<－1或x>2； 令x≥g(x)，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x<－1或x>2，x 2－x －2，－1≤x≤2.当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；当－1≤x≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f(x)≤f(－1)，即－94≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)答案：D 二、填空题7．假设二次函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，那么a ＋c 的最小值为________． 解析：由已知a>0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c>0. ∴a ＋c≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号．∴a ＋c 的最小值为2. 答案：28．已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，那么a 的值为________． 解析：f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1， 当a>1时，y max ＝a ；当0≤a≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a<0时，y max ＝1－a.依照已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a>1，a ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1. 答案：2或－19．当x≥0，y≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x≥0，y≥0，x ＝1－2y≥0知0≤y≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：34三、解答题10．已知函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解析：∵函数f(x)＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.11．(2021年玉林模拟)是不是存在实数a ，使函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 的概念域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？假设存在，求a 的值；假设不存在，说明理由．解析：f(x)＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a)2＋a －a 2. 当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ，a 不存在． 综上可知a ＝－1.12．(能力提升)已知f(x)＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f(x)．解析：∵f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线极点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a<2时，x ＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f(x)取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]，a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x 2＋5x －10516或f(x)＝－4x 2－20x －5. [B 组 因材施教·备选练习]1．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，那么实数m 的取值范围是( )解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－1＋4m 22mx <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，因此x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，因此1>1＋4m 28m 2，解得m<－12或m>12(舍去)，故m<－12.答案：A2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，那么h(x)A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f(x)|＝|2x －1|与y ＝g(x)＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右边)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右边，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A 、B 之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．因此h(x)有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2021年济南模拟)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 知足f(0)＝f(1)＝0，且f(x)的最小值是－14.(1)求f(x)的解析式；(2)设函数h(x)＝ln x －2x ＋f(x)，假设函数h(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f(0)＝0，∴c ＝0，∵f(1)＝0，∴b ＝－a ， ∴f(x)＝ax 2－ax ＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－a4， 又f(x)的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x.(2)由(1)得h(x)＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x(x>0)， ∴h′(x)＝1x ＋2x －3＝2x －1x －1x.易知函数h(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1>12，m －1≤1，∴32<m≤2.。
2021年3月新高考数学复习资料§3.3二次函数与幂函数试题及参考答案
§3.3二次函数与幂函数基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一二次函数的图象与性质1.若二次函数y＝kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,2)【参考答案】A2.已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax2+bx+c的图象可能是()【参考答案】D考点二幂函数3的图象大致是()3.函数y＝√x2【参考答案】C4.函数f(x)＝(m2-m-1)·x m2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为()A.2B.3C.4D.5【参考答案】A5.已知幂函数f(x)的图象过点(2,√2),则f(4)的值为.【参考答案】2综合篇知能转换【综合集训】考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)1.二次函数f(x)满足f(x+2)＝f(-x+2), f(0)＝3, f(2)＝1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.[2,+∞)C.(0,2]D.[2,4] 【参考答案】D2.已知函数f(t)＝log 2(2-t)+√t -1的定义域为D. (1)求D;(2)若函数g(x)＝x 2+2mx-m 2在D 上存在最小值2,求实数m 的值.【试题解析】(1)由题意知{2-t >0,t -1≥0,解得1≤t<2,故D ＝[1,2).(2)g(x)＝x 2+2mx-m 2＝(x+m)2-2m 2,此二次函数图象的对称轴为直线x ＝-m.①当-m ≥2,即m ≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;②当1<-m<2,即-2<m<-1时,g(x)在[1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min ＝g(-m)＝-2m 2≠2,m 值不存在; ③当-m ≤1,即m ≥-1时,g(x)在[1,2)上单调递增, 此时g(x)min ＝g(1)＝1+2m-m 2＝2,解得m ＝1.综上,m ＝1.考法二 一元二次方程根的分布3.已知一元二次方程x 2+mx+3＝0(m ∈Z )有两个实数根x 1,x 2,且0<x 1<2<x 2<4,则m 的值为( ) A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 【参考答案】A4.方程x 2+ax-2＝0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.(-235,+∞) B.(1,+∞)C.[-235,1] D.(-∞,-235) 【参考答案】C5.已知方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0.(1)当该方程有两个负根时,求实数a 的取值范围;(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a 的取值范围. 【试题解析】由题意知,Δ＝4(a+2)2-4(a 2-1)＝16a+20.(1)∵方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0有两个负根,∴{Δ＝16a +20≥0,x 1+x 2＝-2(a +2)<0,x 1x 2＝a 2-1>0,解得{ a ≥-54,a >-2,a >1或a <-1, 即a>1或-54≤a<-1.∴实数a 的取值范围是[-54,-1)∪(1,+∞).(2)∵方程x 2+2(a+2)x+a 2-1＝0有一个正根和一个负根, ∴f(0)＝a 2-1<0,解得-1<a<1, ∴实数a 的取值范围是(-1,1).考法三 幂函数的图象及性质的应用6.已知a ＝0.40.3,b ＝0.30.4,c ＝0.3-0.2,则( ) A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 【参考答案】A7.若幂函数y ＝x -1,y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为( )A.-1<m<0<n<1B.-1<n<0<mC.-1<m<0<nD.-1<n<0<m<1 【参考答案】D8.已知点(a,12)在幂函数f(x)＝(a-1)x b的图象上,则函数f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 【参考答案】A9.幂函数y ＝x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a,y ＝x b的图象三等分,即有BM ＝MN ＝NA,那么a-1b＝( )A.0B.1C.12D.2 【参考答案】A【5年高考】考点一 二次函数的图象与性质1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)＝x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【参考答案】B2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)＝12(m-2)x 2+(n-8)x+1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减,那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【参考答案】B3.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R ,函数f(x)＝ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 【参考答案】43考点二 幂函数4.(2018上海,7,5分)已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3}.若幂函数f(x)＝x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α＝ .【参考答案】-1教师专用题组考点一 二次函数的图象与性质1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)＝ax 2+bx+c(a 为非零整数··),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f(x)上 【参考答案】A2.(2013重庆,3,5分)√(3-a)(a +6)(-6≤a ≤3)的最大值为( ) A.9 B.92 C.3 D.3√22【参考答案】B3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c ＝0且使|2a+b|最大时,3a -4b +5c的最小值为 .【参考答案】-24.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)＝x 2+ax+b(a,b ∈R ),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b 满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.【试题解析】(1)证明:由f(x)＝(x +a 2)2+b-a 24,得图象的对称轴为直线x ＝-a 2.由|a|≥2,得|-a 2|≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)＝max{|f(1)|,|f(-1)|}. 当a ≥2时,由f(1)-f(-1)＝2a ≥4, 得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2. 当a ≤-2时,由f(-1)-f(1)＝-2a ≥4, 得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|＝|f(1)|≤2,|1-a+b|＝|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3, 由|a|+|b|＝{|a +b|,ab ≥0,|a -b|,ab <0,得|a|+|b|≤3.当a ＝2,b ＝-1时,|a|+|b|＝3, |f(x)|＝|x 2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)＝2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二 幂函数5.(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)＝x a(x>0),g(x)＝log a x 的图象可能是( )【参考答案】D6.(2014上海,9,4分)若f(x)＝x 23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是.【参考答案】(0,1)【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2020届河南南阳一中第一次月考,9)已知点(m,9)在幂函数f(x)＝(m-2)x n的图象上,设a＝f(m-13),b＝f(ln13),c＝f(√22),则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【参考答案】A2.(2020届宁夏青铜峡高级中学第一次月考,7)若函数f(x)＝ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()A.(-14,+∞) B.[-14,+∞)C.[-14,0) D.[-14,0]【参考答案】D3.(2019届辽宁部分重点高中联考,8)函数y＝1-|x-x2|的图象大致是()【参考答案】C4.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y＝x2-4x+5在闭区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是()A.[0,1]B.[1,2]C.[0,2]D.[2,4]【参考答案】D5.(2020届广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±12四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为()A.2,12,-12,-2B.2,12,-2,-12C.-12,-2,2,12D.-2,-12,12,2 【参考答案】A6.(2018山东德州期中,8)已知f(x)＝ax 2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c 且a ≠0),若a+b+c ＝0,x 1、x 2为f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|的取值范围为( )A.(32,2√3) B.(2,2√3) C.(1,2) D.(1,2√3) 【参考答案】A7.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)＝(m 2-m-1)x 4m9-m 5-1是幂函数,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0,若a,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于 D.无法判断 【参考答案】A二、多项选择题(每题5分,共15分)8.(改编题)已知点(2,12)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域内每个区间内的单调减函数D.定义域内每个区间内的单调增函数 【参考答案】AC9.(改编题)已知二次函数f(x)＝x 2-bx+c 满足f(0)＝3,对任意x ∈R 都有f(1+x)＝f(1-x)成立,则( ) A.函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称 B.c ＝3 C.b ＝2D.f(x)＝x 2-2x+3 【参考答案】ABCD10.(改编题)幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3,√3),则( ) A.f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.f(x)＝x 12D.f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 【参考答案】BC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x ∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x 3,则a 的取值范围是 . 【参考答案】(-∞,-1]12.(2020届广东揭阳三中第一次月考,14)已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(12,√22),则log 2 f(2)的值为 .【参考答案】1213.(2020届上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x 2-ax-1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y ＝[(a-1)x-1](x 2-ax-1);丙:分别研究两个函数y 1＝(a-1)x-1与y 2＝x 2-ax-1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 . 【参考答案】32四、解答题(共25分)14.(2020届山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(-4-x), f(0)＝3,若x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|＝2.(1)求f(x)的解析式; (2)若x>0,求g(x)＝xf(x)的最大值. 【试题解析】(1)∵二次函数满足f(x)＝f(-4-x), ∴f(x)图象的对称轴为x ＝-2,∵x 1,x 2是f(x)的两个零点,且|x 1-x 2|＝2, ∴{x 1＝-3,x 2＝-1或{x 1＝-1,x 2＝-3,设f(x)＝a(x+3)(x+1)(a ≠0).由f(0)＝3a ＝3得a ＝1,∴f(x)＝x 2+4x+3.(2)由(1)得g(x)＝x f(x)＝x x 2+4x+3＝1x+3x+4, ∵x>0,∴1x+3x +4≤4+2√3＝1-√32. 当且仅当x ＝3x,即x ＝√3时等号成立. ∴g(x)的最大值是1-√32.15.(2019甘肃甘谷第一中学第一次检测,20)已知函数g(x)＝x 2-(m-1)x+m-7. (1)若函数g(x)在[2,4]上具有单调性,求实数m 的取值范围;(2)若在区间[-1,1]上,函数y ＝g(x)的图象恒在y ＝2x-9的图象上方,求实数m 的取值范围. 【试题解析】(1)g(x)图象的对称轴为x ＝m -12,因为函数g(x)在[2,4]上具有单调性,所以有m -12≤2或m -12≥4,所以实数m 的取值范围是m ≤5或m ≥9.(2)因为在区间[-1,1]上,函数y ＝g(x)的图象恒在y ＝2x-9的图象上方, 则x 2-(m-1)x+m-7>2x-9在[-1,1]上恒成立,即x 2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,令f(x)＝x 2-(m+1)x+m+2,x ∈[-1,1],则f(x)min >0,当m+12≤-1,即m ≤-3时, f(x)min ＝f(-1)＝2m+4>0,解得m>-2,无解; 当-1<m+12<1,即-3<m<1时, f(x)min ＝f (m+12)＝-m 24+12m+74>0,此时1-2√2<m<1;当m+12≥1,即m ≥1时, f(x)min ＝f(1)＝2>0,此时m ≥1.综上,实数m的取值范围是m>1-2√2.思路分析(1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,令f(x)＝x2-(m+1)x+m+2,求出函数图象的对称轴,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3)，且经过点(1, 5)，求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0)，求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8，求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2)，且在x=1处取得最小值，求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(0, 1)和(2, 5)，求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少？7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么？8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2)，且在x=-1处取得最大值，求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少？10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么？11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0)，且在x=0处取得最小值，求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少？13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下，求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2)，求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少？16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么？17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1)，且在x=2处取得最大值，求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少？19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上，求抛物线的对称轴方程。
2021年高考数学 2.6 幂函数与二次函数练习
2021年高考数学 2.6 幂函数与二次函数练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·南阳模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点则k+α=( )A. B.1 C. D.2【解析】选C.因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点所以所以α=,所以k+α=1+=.2.(xx·揭阳模拟)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b【解析】选C.根据幂函数y=x0.5的单调性,可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1;根据对数函数y=log0.3x的单调性;可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.【加固训练】(xx·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是()A.2a>>(0.2)aB.(0.2)a>>2aC.>(0.2)a>2aD.2a>(0.2)a>【解析】选B.若a<0,则幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>>0.所以(0.2)a>>2a.3.(xx·西安模拟)函数y=x-x的图象大致为()【解析】选A.函数y=x-x为奇函数.当x>0时,由x-x>0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,选A.4.(xx·天津模拟)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象限,与x轴的两个交点分别位于原点两侧,则a,b,c的取值范围是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0【解析】选B.由题意,抛物线开口向下,故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧,得ac<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0,所以b>0.5.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是()A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a≠0时,需解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],所以a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.6.(xx·松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则()A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0【解题提示】画出f(x)的大致图象,根据f(m)<0确定m的范围,从而确定m+1与0的关系,再根据f(x)的单调性判断.【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.7.若x≥0,y≥0,且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为()A.2B.C.D.0【解题提示】把2x+3y2转化为关于y的二次函数求解.【解析】选B.由x≥0,y≥0,且x+2y=1得x=1-2y≥0,所以0≤y≤,设t=2x+3y2,把x=1-2y代入,得t=2-4y+3y2=所以t=2x+3y2在上递减,所以当y=时,t取到最小值,tmin=.【误区警示】解答本题时易忽视“x≥0”,导致y的取值范围错误,从而得不到正确答案.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(xx·兰州模拟)已知函数f(x)=x,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是.【解析】f(x)=x在[0,+∞)上为增函数,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥.答案:x≥【加固训练】若(a+1)<(3-2a),则a的取值范围是.【解析】因为函数y=x在定义域(0,+∞)上递减,所以即答案:9. (-6≤a≤3)的最大值为.()()22381-+=--=-++3a a6183a a(a),24所以当a=-时,的值最大,最大值为.答案:10.(xx·江苏高考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.【解析】由题意得解得-<m<0.答案:-<m<0(20分钟40分)1.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为()A. B. C. D.1【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈,所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1,所以m-n的最小值是1.2.(5分)(xx·湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③;④.其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③【解析】选D.设幂函数为y=xn,则有,得n=,则幂函数为y=,由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x增大而减小,即,所以②③正确.3.(5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是.【解析】将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点.作出函数f(x)的图象,如图,由图象可知,当0<k<1时,函数f(x)与y=k的图象有两个不同的交点,所以所求实数k的取值范围是(0,1).答案:(0,1)4.(12分)(xx·大连模拟)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与的大小.【解析】f(x)= =1+=1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图).又因为-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,所以f(-π)>f（-）.5.(13分)(能力挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.所以解得a=1,b=-2.所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.所以即所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=又a≥1,故所以M=f(-2)=9a-2.m=g(a)=M+m=9a--1.又g(a)在区间[1,+∞)上单调递增,所以当a=1时,g(a)min=.【加固训练】(xx·沈阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间.(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),所以f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.综上,g(x)min=34020 84E4 蓤-TG25090 6202 戂28215 6E37 渷35444 8A74 詴23750 5CC6 峆25898 652A 攪39740 9B3C 鬼?28131 6DE3 淣G。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确.令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()(24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得((02b f f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02b f >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以((02bf f >，所以必要性成立；反之，设(02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1<a ≤2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21a a >⎧⎨⎩…，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞-【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R恒成立，∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴20440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+.故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值.【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134.10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k=，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0ff x …恒成立，则实数m 的范围是（ ）A．3,3⎡--+⎣B．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1-D．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--.综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取练提升()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =-- ，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解,取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a <或3a >.【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->V 且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a <【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <.故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________.【答案】12-【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为()1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin 4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭，∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增；11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1.故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()minM h x h x - (2)(),2xh x x R x =∈+当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()x g x >…，当x =取等号，当0,()x g x <≤-当x =取等号，()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞()(0)h x x ⎡⎫⎛∈⋃≠⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝综上，()h x ⎡∈⎢⎣M ⎛∴= ⎝…min M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45.【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+--⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =.①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+；②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()0f b = ，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b +=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =.所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45.9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52．10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在()0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==，∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈，∴222221814(44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值练真题（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=x ―4,x ≥λx 2―4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得x ≥2x ―4<0 或x <2x 2―4x +3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f (x )=x ―4>0，此时f (x )=x 2―4x +3=0,x =1,3，即在(―∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )=x ―4=0,x =4，由f (x )=x 2―4x +3在(―∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x = 时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++.当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202tt--≤<+和2302t tt--≤<+，所以30b-≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.。
二次函数的练习题及答案
二次函数的练习题及答案一、选择题：1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且与x轴有交点，则a 和b应满足的条件是（）。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是（）。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x=-1时，函数值最大，那么a的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题：1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3，当x=______时，函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1+x2=______。
三、解答题：1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求出当x取何值时，函数值y最大，并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2，求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题：1. 某工厂生产一种产品，其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数：C(x)=0.5x^2-100x+3000，其中x代表产品数量，C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时，成本最低，并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园，花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米，求出花园的面积最大时的长和宽，并求出最大面积。
答案：一、选择题：1. C2. B3. B二、填空题：1. 22. -2三、解答题：1. 当x=1时，函数值y最大，最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）。
四、应用题：1. 当生产200件产品时，成本最低，最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米，宽为15米时，面积最大，最大面积为225平方米。
2021年高考一轮数学复习 2-6二次函数 理 同步练习（名师解析）
第2章 第6节 知能训练·提升考点一：二次函数图象、性质及解析式1．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为如图所示：则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案：B2．(2010·济南调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3)和(1,1)，若0＜c ＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．(1,2)D ．(1,3) 答案：C3．设二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )，且f (x )＝0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋2)＝f (2－x )知该函数的图象关于直线x ＝2对称，∴－b2a＝2，即b ＝－4a .①又图象过点(0,3)，∴c ＝3.②又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝10，∴b 2－2ac ＝10a 2.③解①、②、③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3，故f (x )＝x 2－4x ＋3.考点二：二次函数的最值问题4．已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．解析：通过画二次函数图象知m ∈[1,2]． 答案：[1,2]5．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解：∵f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，对称轴为x ＝a2.①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ＜0，∴a ＝1－ 2.②当0＜a 2＜2，即0＜a ＜4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10， ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.考点三：二次函数、方程、不等式之间的关系6．(2010·唐山调研)不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝4a ＋2－c ＝0，f (1)＝a －1－c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，由图象知选C.答案：C7．(2010·珠海质检)关于x 的方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3＜m ＜0B ．0＜m ＜3C ．m ＜－3或m ＞0D ．m ＜0或m ＞3解析：由题意，知Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)＞0，①x 1＋x 2＝4mm ＋3＜0，②x 1x 2＝2m －1m ＋3＜0.③由①②③解得－3＜m ＜0. 答案：A8．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (1)＝a ＋b ＋c ＝－2.①f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝－6.②又∵f (x )＋6a ＝ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0有两等根，∴Δ＝b 2－4a (c ＋6a )＝0.③由①②③得a ＝－15或a ＝1.又∵f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，∴a ＜0，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35.∴f (x )＝－15x 2－65x －35.1.(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象如图．知f (x )在R 上为增函数，∵f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1，故选C. 答案：C2．(2009·福建)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能．．．．是 ( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析：设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642.故选D. 答案：D3．(2009·江苏)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a ＞0，即a ＜0.由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f (x )的最小值为g (a )，我们有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a 23，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ， ②(i)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.(ii)当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2.若x ＞a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2＞23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2， a ≥0，2a23， a ＜0.(3)(i)当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)； (ii)当a ∈[－22，22)时，解集为[a ＋3－2a23，＋∞)；(iii)当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a23，＋∞).1.已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给了下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时f (x )的图象必关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2－b |；其中正确命题的序号是________．解析：x 2－2ax ＋b ＝(x －a )2＋b －a 2，若b －a 2≥0，则|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，因此在[a ，＋∞)上为增函数，而①②④均不正确． 答案：③2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，1，x ＜2，g (x )＝x 2－x (x ∈R )，则方程f [g (x )]＝x 的解为________．解析：当g (x )＝x 2－x ≥2，即x ≤－1或x ≥2时，方程f [g (x )]＝x 可变为x 2－x －1＝x ，解得x ＝1＋ 2.当g (x )＝x 2－x ＜2，即－1＜x ＜2时，方程f [g (x )]＝x 可变为x ＝1. 所以方程f [g (x )]＝x 的解为1＋2和1. 答案：1＋2和1。
二次函数专题训练题
二次函数专题训练题二次函数专题训练(一)1、已知抛物线 $y=ax^2+6ax+c$ 与x轴的一个交点为A （-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。
②点C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线上一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32，求此抛物线的解析式。
③ E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点。
若E在②中的抛物线上，且a＞0,E和A在对称轴同侧。
问在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△APE周长最小。
若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
解析：①因为点A在x轴的负半轴上，所以点B在x轴的正半轴上，设点B的坐标为（t,0），则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $t=-\frac{c}{a}-4$所以点B的坐标为 $(-\frac{c}{a}-4,0)$②设抛物线的解析式为$y=ax^2+6ax+c$，则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $a=2$，$c=-8$，所以抛物线的解析式为$y=2x^2+12x-8$③设抛物线的对称轴为直线 $x=k$，则点A的坐标为 $(-k,0)$，点E的坐标为 $(m,3m)$，其中 $m$ 为任意实数。
由题意可得：begin{cases}k=-\frac{b}{2a}=-3 \\a(m+2)^2+6a(m+2)-8=3m \\end{cases}解得 $m=-\frac{1}{2}$，所以点E的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2})$。
由对称性可知，点P的坐标为 $(1,-\frac{3}{2})$，所以在抛物线的对称轴上存在点P，使△APE 周长最小。
2、已知二次函数 $y=x^2－2(m－1)x－1－m$ 的图像与x 轴交于两点A（$x_1$,0）和B（$x_2$,0），$x_1＜＜x_2$，与y轴交于点C，且满足 $\frac{AC}{OC}=\frac{1}{12}$。
2021高考数学复习二次函数测试题(带答案)
2021高考数学复习二次函数测试题（带答案）高考数学复习二次函数测试题1.（问题6，A组，第27页，人民教育A版）分析公式和待定系数法若f?x??x?bx?c，且f?1??0，f?3??0，求f??1?的值．2变量1：如果二次函数f？十、斧头？bx？C图像的顶点坐标是？2.1.与Y轴相交的坐标为2(0,11)，则a、 a？1，b？？4，c？？11b.a？3，b？12，c？11c.a？3，b？？6，c？11d.a？3，b？？12，c？十一变式2：若f?xx??b?2?x?3,x?[b,c]的图像x=1对称，则c=_______．2变量3：如果二次函数f？十、斧头？bx？C的图像与x轴a有两个不同的交点？x1,02b?x2,0?，且x12?x22?单位得到？262.关于F的二次函数的图像呢？十、3.十、1.92.（北京师范大学版第52页示例2）图像特征将函数f?x3x?6x?1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值2或最小值，并绘制其图像变式1：已知二次函数f?x??ax?bx?c，如果f?x1??f?x2?(其中x1?x2)，则2.十、十、F12 2.4ac？b2bba。
？b、 ?。
？c、 cd。
2aa4a变式2：函数f?x??x?px?q对任意的x均有f?1?x??f?1?x?，那么f?0?、f??1?、2f?1?的大小关系是a、 f？1.F1.F0华氏度？0华氏度？？1.F1.c、 f？1.F0华氏度？？1.d、 f？？1.F0华氏度？1.变量3：已知函数f？十、斧头？bx？右边是C的图像，2y请至少写出三个与系数a、B和C3有关的正确命题。
（人民教育a版第43页B组第1项）单调性ox已知函数f？十、十、2x，g？十、十、2倍？十、[2,4]?．22(1)求f?x?，g?x?的单调区间；(2)求f?x?，g?x?的最小值．变量1：已知函数f？十、十、4ax？2.在间隔时间内，6.内单调递减，则a的值范围为2a．a?3b．a?3c．a??3d．a??312变式2：已知函数f?x??x??a?1?x?5在区间(,1)上为增函数，那么f?2?的取值范围2是____变式3：已知函数f?xx?kx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．二4．（人教a版第43页b组第1题）最值已知函数f？十、十、2x，g？十、十、2倍？十、[2,4]?．22(1)求f?x?，g?x?的单调区间；(2)求f?x?，g?x?的最小值．变量1：已知函数f？十、十、2倍？3.如果区间[0，M]中的最大值为3，最小值为2，则M的值范围2是a、 1，b、 0,2c.1,2d。
2021年高考数学考点07二次函数与幂函数必刷题理含解析
考点7 二次函数与幂函数1．函数在区间的最大值是( )A． 0 B．C． D． 1【答案】C2．已知函数在R上是减函数，则的取值X围是A． B． C． D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值X围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.3．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )A．有四个相异实根 B．有两个相异实根 C．有一个实根 D．无实数根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．故选D.4．函数的值域为A． B． C． D．5．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A． 2 B． C． 0 D．【答案】A【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，6．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。
亦倍下袤，上袤从之。
各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。
”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。
已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为A． B． C． 39 D．【答案】D7．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A.8．已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】D9．二次函数的导数为，对一切，，又，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵对任意实数x都有f（x）≥0，∴a ＞0，c＞0，b2-4ac≤0即而，故答案为：A .10．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于A． 4 B． C． 5 D．【答案】B【解析】设点，则．∴，∴当时，有最小值，且最小值为．由题意得，整理得，解得或．又，∴，∴点B坐标为．∴由抛物线的定义可得．故选B．11．已知函数,则该函数的最小值是________.【答案】212．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意知，则当且仅当时取等号．∴的最小值为4．13．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值X围为___________ 【答案】14．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为_________________．【答案】1015．已知实数，且满足，则的取值X围是__________. 【答案】【解析】又，，设，a，b是方程的两个实根.，①存在时，使，，，即.②存在时，使，，，即..故答案为：.16．设正实数满足，则的最小值是__________.【答案】17．已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．【答案】.18．已知函数.(1)若函数的图象与轴无交点，求的取值X围；(2)若函数在上存在零点，求的取值X围. 【答案】（1）；（2）.19．已知为二次函数，且，（1）求的表达式；（2）设，其中，为常数且，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）设f（x）=ax2+bx+c 2x2﹣4x故有即，所以f（x）=x2﹣2x﹣1;,综上所述：20．已知集合，集合，集合. （1）当时，若，某某数的取值X围；（2）当时，求集合中的函数的单调减区间.【答案】（1）或；（2）.21．已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值.(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求a的取值X围.【答案】（1）；（2）22．已知函数，其中为常数.(1)若函数在区间上单调递减，某某数的取值X围:(2)若，都有，某某数的取值X围.【答案】（1）（2）【解析】 (1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此解得所以的取值X围是.(2)因为恒成立，所以整理得解得因此，的取值X围是.23．已知函数的最大值为t．(I)求t的值以及此时x的取值集合；(II)若实数满足，证明：. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3 的图象的顶点坐标是（）A （－1，－4）B （1，－4）C （－1，4）D （1，4）答案：A解析：对于二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的顶点坐标公式为(b/2a, （4ac b²)／4a)，在函数 y ＝ x²＋ 2x 3 中，a ＝ 1，b ＝ 2，c ＝－3，所以顶点横坐标为 b/2a ＝－2/（2×1) ＝－1，纵坐标为（4ac b²)／4a ＝ 4×1×（－3) 2²/（4×1) ＝（－12 4)／4 ＝－16/4 ＝－4，所以顶点坐标为（－1，－4）。
2、抛物线 y ＝－2(x 1)²＋ 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（）A 开口向下，对称轴为 x ＝－1，顶点坐标为（1，3）B 开口向下，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（1，3）C 开口向上，对称轴为 x ＝－1，顶点坐标为（－1，3）D 开口向上，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（－1，3）答案：B解析：在抛物线 y ＝ a(x h)²＋ k 中，当 a ＜ 0 时，开口向下，对称轴为 x ＝ h，顶点坐标为（h，k）。
在抛物线 y ＝－2(x 1)²＋ 3 中，a ＝－2 ＜ 0，所以开口向下，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（1，3）。
3、把抛物线 y ＝ x²向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A y ＝（x 1)²＋ 3B y ＝（x ＋ 1)²＋ 3C y ＝（x 1)² 3D y ＝（x ＋ 1)² 3答案：B解析：抛物线平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
抛物线 y ＝x²向左平移 1 个单位得到 y ＝（x ＋ 1)²，然后向上平移 3 个单位得到y ＝（x ＋ 1)²＋ 3。
(2021年整理)二次函数练习题(含答案...)
二次函数练习题(含答案...)
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2021年高考数学二轮专题复习 二次函数测试题
2021年高考数学二轮专题复习二次函数测试题1、若二次函数f(x)满足，则=2、设二次函数y= ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=－1，且图象在x轴上所截得的线段长为2，求这个二次函数的表达式。
3、已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立，那么，函数f(x)的解析式为_________________．4、已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，且的递增区间为，则=5、函数在上为减函数，实数的范围为 ____6、已知函数的图象恒过点（2，0），则的最小值为7、若函数的图象关于直线对称，则b=8、不等式的解集为，对于有如下结论：a b c a b c a b c>>>++>-+>其中正确的是：(1)0,(2)0,(3)0,(4)0,(5)09、已知函数，并且是方程的两根。
则实数的大小关系可能是（）A、 B、 C、 D、10、已知函数．（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点．（2）若y = f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围．11：已知若则实数的值为____________变式1：已知且则变式2：已知函数若存在使得，则实数的取值范围是__________ 12. 函数的定义域为，值域为，的取值范围 __变式1：已知函数的值域为，则的取值范围是．变式2：已知函数，若的定义域和值域均为，实数的值为________13、. 已知函数在区间上的最大值为4，则的值为变式：已知函数在区间上的最大值为4，则实数的值为___14. 设的定义域为，对任意（1）求函数的最小值的解析式（2）求函数的最大值的解析式15. 已知二次函数满足且．（1）求的解析式；（2）当时，不等式：恒成立，求实数的范围．（3）设，求的最大值，并求的最值.16．已知函数22=-+-+=-+，其中f x x a x ag x ax x()(1)4(5),()5（Ⅰ）若函数、存在相同的零点，求a的值；（Ⅱ）若存在两个正整数m、n，当时，有与同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．30879 789F 碟33280 8200 舀31856 7C70 籰22480 57D0 埐35875 8C23 谣&Vgp28284 6E7C 湼26583 67D7 柗E39978 9C2A 鰪。
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2021年高考数学二次函数练习1、已知函数（I）若在区间上不单调，求的取值范围；（II）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．2、设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=（）A． 2或 B．﹣2或 C． 2或 D．﹣2或3、已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）解不等式4、指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是（）5、设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．6、已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．7、若。
（1）求的单调区间；（2）求的最大值与最小值；（3）若恒成立，求m取值范围。
8、已知抛物线．①若抛物线与轴交于,两点，求关于的不等式的解集；②若抛物线过点，解关于不等式；9、已知函数，且．(1)求证：函数有两个不同的零点；(2)设是函数的两个不同的零点，求的取值范围；(3)求证：函数在区间（0,2）内至少有一个零点10、已知函数.（Ⅰ）若，使,求实数的取值范围;（Ⅱ）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.11、已知数列中，，二次函数的对称轴为x=，(1)试证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由。
12、已知二次函数的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求的解析式；（2）若在区间[]上不单调，求实数的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．13、已知一个二次函数，．求这个函数的解析式。
14、函数在区间上递减，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．15、已知二次函数（，）．若，且不等式对恒成立，求函数的解析式；若，且函数在上有两个零点，求的取值范围．16、对于函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围17、函数在上是增函数，则实数的范围是A．≥ B．≥ C．≤ D．≤18、已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．19、已知函数，其中．（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（2）求函数的最大值（可以用表示）；（3）若对区间内的任意，总有，求实数的取值范围．20、已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.（Ⅰ）判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.（Ⅱ）若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案1、（I）2<a<4（II）【知识点】单元综合B14（I）解：……5分（II）解法1：（i）当时，即时，，所以……………………………………………9分（ii）当时，即时，，，，……13分综上，，故，所以……………………………………15分解法2：解法2：……………………………9分………………………………………………13分等号当且仅当或时成立，又，所以…………………15分解法3：……9分，……………13分且上述两个不等式的等号均为或时取到，故故，所以……15分2、根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．3、（Ⅰ）由题意，1,4是方程的两根，且由韦达定理得，……………………………2分因为方程有两个相等的实数根，所以消去得或（舍去），……………………………4分所以……………………………5分（Ⅱ）由题意，不等式在上恒成立，设其图像的对称轴方程为…………6分当即时，有得………8分当即时，有得综上，………10分（Ⅲ）方程的判别式当即时，不等式的解集为R; ………12分当时：时，不等式的解集为………13分时，不等式的解集为 (14)分当即时，不等式的解集为………16分4、C5、（Ⅰ）根据题意可假设f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，求解即可得出解析式．（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1≤x，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，转化为令g （t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小实数为﹣9．解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函数f（x）的对称轴为x=1，由f（x）的最大值为0，可假设f（x）=a（x﹣1）2．（a＜0）令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，则易知2=4，a=﹣．所以，f（x）=﹣（x﹣1）2．（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0，解得﹣t﹣1≤x，又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]时恒成立，可得由（2）得0≤t≤4．令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2单调递减，所以，g（t）≥g（4）=﹣9，由于只需存在实数，故n≥﹣9，则n能取到的最小实数为﹣9．此时，存在实数t=4，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．6、（1）由题意得当时，，，∴此时的值域为。
当时，，，∴此时的值域为。
当时，，，∴此时的值域为。
（2）由恒成立得恒成立。
令，，因为抛物线的开口向上，所以。
由恒成立知，化简得令，则原题可转化为：存在，使得。
即当时，。
7、8、（1）由题意知解得，……… 3分解集为……………… 6分【注意：若解集没有写成集合或者区间形式，扣2分；】（2）由题意知即……………… 8分…………………… 10分当时，；当时，当时，……………………………… 14分综上：当时，解集为当时，解集为当时，解集为…………………… 16分9、（1）证明：……1分对于方程判别式……2分又恒成立．故函数有两个不同的零点．……3分（2）由是函数的两个不同的零点，则是方程的两个根．……5分故的取值范围是 (7)分（3）证明：由（1）知：……9分（i）当c>0时，有又函数在区间（0, 1）内至少有一个零点．……10分（ii）当时，函数在区间（1,2）内至少有一个零点．……11分综上所述，函数在区间（0,2）内至少有一个零点．……12分10、（1）解：由,，得,使，………3分所以，或；………7分（2）解：由题设得………10分或……… 13分或………14分11、（1）；（2）n=1，2，3【知识点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；等差数列的前n项和．解析：（1）∵二次函数的对称轴为x=，∴ a n≠0，，整理得，………………2分左右两边同时乘以，得，即(常数)，∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，∴．……………………………………5分(Ⅱ)∵，①，②①-②得：，整理得．………………………………8分∵ =>0，∴数列{S n}是单调递增数列．……………………10分∴要使成立，即使<3，整理得n+2>，∴ n=1，2，3．…………………………………12分12、（1）由f（0）＝f（2）知二次函数f（x）关于x＝1对称，又f（x）的最小值为1，故可设f（x）＝a（x－1）2＋1，又f（0）＝3得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3．（2）要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，则2a<1<a＋1，则0<a<．（3）由已知，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．设g（x）＝x2－3x＋1－m，则只要g（x）min>0即可，∵x∈[－1,1]，∴g（x）min＝g（1）＝－1－m，∴－1－m>0，即m<－1．故实数m的取值范围是{m|m<－1}．13、14、B15、(Ⅰ)因为，所以，---------------3分因为当，都有，所以有， ---------------6分即，所以； -----------------7分(Ⅱ)解法1：因为在上有两个零点，且，所以有 ---------11分（图正确，答案错误，扣2分）通过线性规划可得. ----------------------------15分（若答案为，则扣1分）解法2：设的两个零点分别，所以，------9分不妨设，，-----------11分因为，且，，---------13分所以，所以.---------------15分（若答案为，则扣1分）16、（1）x=3 , x=-1;（2）0<a<117、A18、（1）由得 -----------2分∴----------4分（2）对x∈[1,+ ）恒成立∴ -------------------6分令 ----------------8分当时， ----------10分∴--------------------12分（注:分类讨论解法酌情给分）19、（1）因为，又因为，所以从而，所以．又因为，所以，因为，所以，．-------4分（2）求函数的最大值即求，的最大值．,对称轴为． -------5分当，即时，；当，即时，；当，即时，； ------9分综上，当时，的最大值是；当时，的最大值是；当时，的最大值是． ---- 10分（3）要使得对区间内的任意恒成立，只需．也就是要求对成立因为当，即时，；且当时，------11分结合问题（2）需分四种情况讨论：①时，成立，所以；②时，即，注意到函数在上单调递减，故，于是成立，所以③时，即，注意到函数在上单调递增，故，于是成立，所以；④时，，即，所以； --------15分综上，实数的取值范围是．…………16分20、(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.G32564 7F34 缴24443 5F7B 彻28099 6DC3 淃a33457 82B1 花822379 576B 坫pU23550 5BFE 対。