任意性与存在性问题探究
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函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论:
结论1:1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>;【如图一】 结论2:1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>;【如图二】 结论3:1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>;【如图三】 结论4:1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>;【如图四】 结论5:1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空;【如图五】
【例题1】:已知两个函数2
3
2
()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;
(1) 若对[3,3]x ∀∈-,都有()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (2) 若[3,3]x ∃∈-,使得()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围; (3) 若对12,[3,3]x x ∀∈-,都有12()()f x g x ≤成立,求实数k 的取值范围;
解:(1)设3
2
()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,(1)中的问题可转化为:[3,3]x ∈-时,()0h x ≥恒成立,即min [()]0h x ≥。
'2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+;
当x 变化时,'
(),()h x h x 的变化情况列表如下:
x -3
(-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x)
+ 0 - 0 + h(x)
k-45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k-9