周期信号的频谱

T
10
计算示例2
（1）绘制单边幅度频谱和相位频谱
% 例2的单边频谱 tau_T=1/4; % 占空比1/4 omega_0=2*pi; % 基波频率 n0=0;n1=15; n=n0:n1; F_n=tau_T*Sa(tau_T*pi*n).*exp(-j*tau_T*n.*pi); F_n=2*F_n; Fn_max=max(abs(F_n)); Fn_min=min(abs(F_n)); subplot(2,1,1),stem(n,abs(F_n),'.'); % 在2幅图中的第1子图画幅度频谱 axis([n0 n1 Fn_min-0.1 Fn_max+0.1]); line([n0 n1],[0 0],'color','r'); % 画直线,表示横轴,线为红色 title('单边幅度频谱'); % 在2幅图中的第1子图上写标题 subplot(2,1,2),stem(n,angle(F_n),'.'); % 在2幅图中的第2子图画相位频谱 axis([n0 n1 -4 4]); title('单边相位频谱'); 11
实验17 周期信号的频谱
1
实验目的
用Matlab编程观察周期信号的合成过程。 进一步理解周期信号的傅里叶级数分解 特性。 学习用Matlab绘制周期信号频谱的方法。 观测周期信号频谱的离散性、谐波性和 收敛性。
2
实验原理与说明
周期信号的分解与合成
周期为T的周期信号 f (t )，满足狄里赫利（Dirichlet）条 件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可 以展开为傅里叶级数的三角形式，即:
f (t )
1 1 (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
7
4
计算示例1
应用Matlab可以形象地观察傅里叶级数与原波形的关系，下面给 出的程序(T=1)可以观察本例。
% 例1的傅里叶级数,最高谐波次数为7,21和41的波形比较 n_max=[7 21 41]; % 最高谐波次数:7,21,41 N=length(n_max); % 计算N次 t=-1.1:.002:1.1; omega_0=2*pi; % 基波频率为2for k=1:N n=[]; n=[1:2:n_max(k)]; % n=1,3,5,等 b_n=4./(pi*n); % 计算傅里叶系统 bn x=b_n*sin(omega_0*n'*t); % 计算前几项的部分和 % 在N幅图中的第k子图画波形 subplot(N,1,k),plot(t,x,'linewidth',2); axis([-1.1 1.1 -1.5 1.5]); line([-1.1 1.1],[0 0],'color','r'); % 画直线,表示横轴,线为红色 line([0 0],[-1.5 1.5],'color','r'); % 画直线,表示纵轴,线为红色 bt=strcat('最高谐波次数=',num2str(n_max(k))); % 字符串连接 title(bt); % 在N幅图中的第k子图上写标题 end 8
e j 0.5n e j 0.5n j 2n
jn / T sin( n / T ) e n
用抽样函数表示为 显然，
。
Sa(n ) e jn / T F n T T
f 的傅里叶级数的复系数取决于占空比 (t )
基频
T
F0
1 jn t Fn e dt 0 T e jn t 1 e jn jnT 0 j 2n
T
1


0

T
t
图17-4 例2的周期信号
提出因子e j 0.5n，利用欧拉公式，就可得到：
e F n
j 0.5 n
title('双边相位频谱');
12
计算示例2
下图17-5显示的是示例2中的周期信号当占空比
1 时的单边和双边频谱。 T 4
图17-5 例2的单边和双边幅度频谱和相位频谱
13
实验内容 1
周期信号的合成
已知周期信号如图17-6所示，试仿照例1的方法求傅里叶 级数部分和的波形。
x(t )
A
(17-3)
3
实验原理与说明
2 T2 bn T f (t ) sin n t dt T 2

n 1, 2,
(17-4)
若将(17-1)式中同频率项加以合并，可以写成另一种形式
f (t ) A0 An cos( n t n )
n 1
(17-5)
两种表达式中的系数的关系为：
A0 a0
An a b
2 n
2 n
n arctg
bn an
(17-1)或(17-5)表明，任意周期信号可以分解为直流和各 次谐波之和。 A0 为周期信号的平均值，它是周期信号中所 包含的直流分量，当 n 1时，(17-5)式中的正弦信号称 为一次谐波或基波；当n 2时，正弦信号称为二次谐波， 以此类推。各次谐波的频率是基波的整倍数。
2 T2 2 T 2 cos nt bn sin ndt sin ndt T 0 T T2 T n
1
图17-1
T 2 0
cos nt n
T 2
T
将 2 代入上式，并且对所有的n有 cos n 1 ，可得 T 2 bn (1 cos n ) n
y (t )
A

T
0

T

t
0.5T
0.5T 0
T
t
A
(a) 周期锯齿脉冲波形
A
(b) 周期三角脉冲波形
图17-6 周期波形
14
实验内容 2
绘制矩形周期信号（不变，T变化时）的频谱
当周期信号的周期T趋于无穷大时，周期信号就成为一非周期信 2 号，其频谱相邻谱线间隔 T 趋于零，从而周期信号的离散频 谱演变为非周期信号的连续频谱。周期矩形脉冲（如图17-7所示 显示在图17-8中。令脉冲宽度 0.5 ，T = 2，5，10 ）的频谱 T F n 时的频谱变化可以说明上述结论。试用Matlab编程实现。
计算示例1
图17-2 例1波形傅里叶级数的部分和
注意:在求傅里叶级数部分和时用到了矩阵乘法。这比使用for循环节
省了大量计算时间。程序运行结果显示在图17-2中。由该图可知，傅里 叶级数的有限项所取项数愈多，则该级数愈逼近于信号。 9
计算示例2
。 试求如图17-4所示周期信号 f (t )的傅里叶级数的复系数 F n f (t ) 2 解：
4
实验原理与说明
频谱的概念
周期信号除可以展开为傅里叶级数的三角形式(17-1)、 (17-5)外，还可表示成指数形式，即
f (t )
n jn t F e n
它描述了周期信号所含有的频率成分以及这些频率分量的幅度和相位。将各 次谐波的幅度和相位随频率变化的规律用图形的形式表示出来，这就是频谱 为 f (t ) 的频谱。 或A 图。通常称 F n n 幅度频谱和相位频谱描述的是每个谐波的幅度与相位。它们在图中是作为离 散信号，有时称为线谱。单边频谱指的是当 n 0 时（正频率）An 和 n 的图 | 和 n |F 形表示，而双边谱指的是当n为任何值时（所有频率，正的和负的） n 的图形表示。 |具有偶 显示的是共轭对称。所以，双边的幅度频谱 | F 对于实周期信号，F n n 对称性。而双边相位频谱显示的是在负指数上（或负频率上）的反相位，即 双边相位频谱是奇对称的。
f (t ) a0 a n cos n t bn sin nt
n 1 n 1
(17-1)
式中：
周期内，其傅里叶系数为
1 a0 T
2 a T 为基波频率， n与
bn为傅里叶系数。在一个
(17-2)

T 2
T 2
f (t ) dt
n 1, 2,
2 T2 a n T f (t ) cos n t dt T 2
17
实验报告要求
实验内容中详细的理论推导，根据推导的数 学模型所编写出的程序。 上机调试程序的方法。 根据实验观测结果，归纳、总结周期信号的 频谱的特征。以及离散频谱和连续频谱的关 系。 心得体会及其他。

18
6
计算示例1
试求如图17-1所示周期信号 f (t )的傅里叶级数。
f (t ) 解： 基波频率 2 / T， 的平均值是每个周期的平均面 积，即 a0 0
f (t )

1
0
T 2

T
t
2 T2 2 T a n cos ndt cos ndt 0 T 0 T T2
f (t )
1

T

2 0
2
T
t
图17-7 周期矩形脉冲
15
实验内容 2
图17-8 当T=2,5,10时周期矩形波的频谱 16
实验步骤与方法
1、计算如图17-6所示周期锯齿波和周期三角波的傅里叶级 数的表达式。参考教材。 F 2、计算如图17-7所示周期矩形波的傅里叶级数复系数 n 。参考教材。 3、仿照例1的方法，对两个周期信号编程计算傅里叶级数 的部分和。上机调试程序，观察周期波形的合成情况。 4、仿照例2的方法，编程画出周期矩形波的频谱图。并编 程实现当脉冲宽度不变而周期变化时，其频谱变化的情况。 如图17-8所示。 5、仿照例2的方法，编程画出周期矩形波的频谱图。并编 程实现Fra Baidu bibliotek脉冲宽度变而周期不变化时，其频谱变化的情况。
计算示例2
（2）绘制双边幅度频谱和相位频谱
% 例2的双边频谱 tau_T=1/4; % 占空比1/4 omega_0=2*pi; % 基波频率 n0=-15;n1=15; n=n0:n1; F_n=tau_T*Sa(tau_T*pi*n).*exp(-j*tau_T*n.*pi); Fn_max=max(abs(F_n)); Fn_min=min(abs(F_n)); subplot(2,1,1),stem(n,abs(F_n),'.'); % 在2幅图中的第1子图画幅度频谱 axis([n0 n1 Fn_min-0.1 Fn_max+0.1]); line([n0 n1],[0 0],'color','r'); % 画直线,表示横轴,线为红色 title('双边幅度频谱'); % 在2幅图中的第1子图上写标题 subplot(2,1,2),stem(n,angle(F_n),'.'); % 在2幅图中的第2子图画相位频谱
5
实验原理与说明
周期信号频谱和特点
1、周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量， 故称为离散频谱； 2、周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 这就是周期信号频谱的谐波性； 3、各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 所以，周期信号的频谱具有收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。这 是所有周期信号共有的特点。 4、离散频谱与连续频谱 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集，频 谱的幅度也相应的渐趋减小。当 T 时，频谱线无限密集，频谱 幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。