四年级,加法原理与乘法原理

加法原理 ： 完成一件工作共有N类不同的方法， 在第一类方法中有m1种不同的方法，在 第二类方法中有m2种不同的方法，……， 在第N类方法中有mn种不同的方法，那 么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3 ＋…＋mn种不同方法。 秘诀：加法原理就是一步到位．
例2、由甲村去乙村有3条道路，由乙村去丙村有4条道路。 甲村经乙村到丙村共有多少种不同的走法？ 所有走法: A1 —— B1 A2 —— B1 A3 —— B1 A1 — — B2 A2 —— B2 A3 —— B2 A1 —— B3 A2 —— B3 A3 —— B3 A1 —— B4 A2 —— B4 A3 —— B4 由甲村去乙村有3种走法，由乙村去丙村有2种走法， 所以从甲村到乙村再到丙村 ，共有3×4=12种不同的走 法。
成多少种币值的人民币?
解法1: 含有1分的： 1+2=3
解法2：
1+5=6
1+2+5=8 含有2分的： 2+5=7
由2种分币组成 ： 3×2÷2=3
由3种分币组成 ： 1 共 4种
共 4种
例4、若取1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在 这四个数中间，任意插入乘号，可以得到多少个不同的乘
积(最少插一个乘号)?
解：每盒至少放一球，余下的2球可任意放入5 个 盒子中，共有5+4+3+2+1=15（种） 答：共有15种不同的方法
甲和乙玩掷骰子游戏。骰子是一个小正方体，每一个 面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，骰子掷出后，每个面 向上的可能性是一样的。现有两枚骰子，一起掷出，若两 枚骰子向上的面上的点数和为7，则甲胜：若点数和为8， 则乙胜。问甲乙谁获胜的可能性大？
3、分步也是进行“不重复、不遗漏”计数的基本方法。分步时要注意 两大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难易度，要认真思 考，不可随意；二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法的 影响时，就必须对前一步进行分类，从而将加法原理与乘法原理结合起 来使用。
（1）第71页，第1、2题 （2）第73页，第5、6题
4种 4种
3种 1种（与A同色） 3种 2种（与A异色）
2种 1种
2种 2种
故共有不同的染色方法数为： 4×3×（1×2×2+2×1×2）=96 方法二：若按AEDBC的顺序染色，则每一步的染色方法 数一次为4、3、2、2、2，故共有不同的染色方法数为： 4×3×2×2×2=96 答：共有96种不同的染色方法。
一本书有366也，页码编号为1，2，3，……，366,
问数字3在页码中共出现了多少次？ 解：3出现在个位上，有10+10+10+10+7=37（次）； 3出现在十位上，有10+10+10+10=40（次）； 3出现在百位上，有66+1=67（次）。共出现144次。
答：数字3在页码中共出现了144次。
由乘法原理，共可组成4×4×3=48（个）不同的三位数。而要组成 一个三位偶数，其个位只能取0、2、4、8，而这又受到百位是否取到2、 4、8的影响，因此必须分情况讨论。第一类， 百位取7（没有取到2、4、 8），有1种方法；个位取0、2、4、8中的任意一个，有4种方法；十位 取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张，有3 种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的 任意一张，有3种方法。
乘法原理 ：
完成一件工作共需N个步骤：完成第一个 步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2 种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法， 那么，完成这件工作共有，
N m1 m2 mn
秘诀：乘法原理就是分步到位．
二、探宝揭秘新新新
例3、有1分、2分、5分币各一枚，可以从中组
四、拓展视野妙妙妙
五、勇夺高峰闪闪闪
李四光小学举行六· 一节庆祝活动，小精灵他们班排行 9个同学参加小合唱， ①如果这9个同学都站成一排，想一想：共有多少种不同的 站法？ ②如果这9个同学站成两排：前排站4人，后排站5人，共有 多少种不同的站法？
解：①9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880（种） ②（9×8×7×6）×（5×4×3×2×1）=362880（种）
第三关：自我提高
分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？
解: 当分子为1时，分母取从2到59的自然数，都能形成真分 数，有58个。 当分子为2时，分母取从3到59但不是2的倍数的自然数，
有59-3+1=57，57÷2=28……1，57-28=29 个 。
当分子为3时，分母取从4到59但不是3的倍数的自然数，
1、如果完成一件事有几类不同的方法，只要选择任一类方法中的一种 方法，这件事就可以完成，而且其中任何两种方法都不相同，那么，完 成这件事的方法总数，就等于各类方法的总和。这个原理就称为加法原 理。 2、如果完成某一件事要分几步进行，那么，完成这件事的方法总数，
就等于完成各步方法数的乘积。这个原理就称为乘法原理。
【小结】分步也是进行“不重复、不遗漏”计数
的基本方法，此时应采用乘法原则。分步时要注意两 大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难 易度，要认真思考，不可随意（比如本题究竟先确定 百、十、个位中的哪一个，会直接影响到解题过程）；
二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法
的影响时，就必须对前一步进行分类，从而将加法原 理 与 乘 法 原 理 结 合 起 来 使 用 。
小马虎要买一本数学书，一本语文书，一本英
语书，在书店里他发现有4种数学书，3种语文书，
5种英语书可供选择，他有多少种不同的选择方法？
解：4×3×5=60（种） 答：他有60种不同的选择方法。
三、开心闯关想想想
第一关：基础巩固 7个相同的球放入A、B、C、D、E五个不同的盒内，
若要求每个盒内都不空，问共有多少种不同的方法？
解：和为7的情况共有6种：1+6，2+5，3+4，4+3， 5+2=7,6+1； 和为8的情况共有5种：2+6，3+5，4+4，5+3， 6+2； 故甲获胜的可能性大 答：甲获胜的可能性大。
第二关：小试牛刀
有10对夫妇共20人参加一次春节晚会，其中每位男宾都 与除了自己夫人以外的其他每个人握一次手，但女宾与女宾 之间不是握手而是拥抱，问晚会上这20个人之间共互相握了 多少次手？ 解：18+17+16+……+1=135（次） 答：晚会上这20个人之间共互相握了135次手？
我叫小马虎
小多多 来 了 我是小精灵
一、智慧开启亮亮亮
例1、 从长沙去广州，可乘火车， 也可以乘汽车，还可以乘飞机。如果某 天中，从长沙去广州有5班火车、4班汽 车和3班飞机。那么这一天从长沙去广 州可以有多少种不同的走法？ 乘火车有5种走法， 乘汽车有4种走法， 5+4+3=12，
乘飞机有3种走法，
第四关：思维碰撞
用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不 同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？ 解:由乘法原理，共可组成443=48（个）不同的三位数。而 要组成一个三位偶数，其个位只能取0、2、4、8，而这又 受到百位是否取到2、4、8的影响，因此必须分情况讨论。 第一类，Fra Baidu bibliotek百位取7（没有取到2、4、8），有一种方法；个 位取0、2、4、8中的任意一个，有4种方法；十位取除了百
有59-4+1=56，56÷3=18……2, 56-18=38 个。
当分子为4时，分母取从5到59但不是2、4的倍数的自 然数，有59-5+1=55，55÷2=27……1， 55-27=28 个。 当分子为5时，分母取从6到59但不是5的倍数的自然数， 有59-6+1=54，54÷5=10……4， 54-10=44 个。 所求不可约真分数共有58+29+38+28+44=197个。
位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张，
有3种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡片外的剩 余3张卡片中的任意一张，有3种方法。
由加法原理和乘法原理，共可组成143+333=39（个）不同
的三位偶数。
用四种不同颜色给右图5个区域染色，每个区域一种颜色，
相邻区域不同的颜色，问共有多少种不同的染色方法？ 解：方法一：若按ABCDE的顺序染 色。则染C时必须分类，每一步 的染色方法下表所示： A B C D E
1 2 3 4
插入1个乘号：1× 234= 234， 12×34=408 123×4=492 插入2个乘号：1×2×34=68，12×3×4=144
1×23×4=92
插入3个乘号： 1 × 2 × 3 × 4=24
用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不 同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？