江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题【含答案】

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题

(满分160分，考试时间120分钟)

2019．11

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＞0}，则A∩B＝________．

2. 已知复数z 满足z

2＋i ＝i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________．

3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a⊥b ，则实数x 的值是________．

4. 函数y ＝lg （x －1）

2－x

的定义域为________．

5. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5＝________．

6. 已知tan α＝2，则sin α

cos α＋2sin α

的值为________．

7. “x ＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

8. 已知函数y ＝sin 2x 图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜π

2)个单位长度得到函数y

＝sin(2x ＋π

6

)的图象，则φ的值为________．

9. 设函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧e x

，x ≥0，2x ＋1，x ＜0，则不等式f(x ＋2)＞f(x 2

)的解集为________．

10. 已知函数f(x)＝ln x －m

x 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是________．

11. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，已知a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →.若AE →·EB →

＝－6，则cos C ＝________．

13. 若方程cos(2x －π6)＝3

5在(0，π)上的解为x 1，x 2，则cos(x 1－x 2)＝________．

14. 已知函数f(x)＝3x 2

－x 3

，g(x)＝e x －1

－a －ln x ．若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在

两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值；

(2) 求sin(A ＋C)的值．

16. (本小题满分14分)

已知向量a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)．

(1) 若a∥b ，x ∈[0，π

2

]，求x 的值；

(2) 若f(x)＝a·b ，x ∈[0，π

2]，求f(x)的最大值及相应x 的值．

已知等比数列{a n}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．

(1) 求数列{a n}的通项公式；

(2) 设b n＝|a n－2n＋1|，求数列{b n}的前n项和T n.

如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆

心为O.经测量AB＝4 m，BC＝

3

3

m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩

形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.

(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；

(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

已知函数f(x)＝x－1

x .

(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；

(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

已知数列{a n }满足(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *

. (1) 求证：数列{a n }为等差数列；

(2) 设数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2－a 1＝1，且对任意的正整数n ，都有13＜1S 1＋1S 2＋

1

S 3

＋…＋1S n ＜4

3

，求整数a 1的值；

(3) 设数列{b n}满足b n＝a n＋3

10

.若a2－a1＝

1

5

，且存在正整数s，t，使得a s＋b t是整数，求|a 1|的最小值.

高三数学附加题试卷(一) 第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)

2019～2020学年第一学期高三期中调研试卷(一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 从A ，B ，C 三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知二阶矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－1 3.

(1) 求矩阵M ；

(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2

＝x ，求曲线C 的方程．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程

为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos β，y ＝tsin β(t 为参数，0＜β＜π2)．若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的

值．

C. (选修45：不等式选讲)

设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3

2

.