第2章 线性时不变系统
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式2.2FT和ZT的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性 2.4例题2.5习题与上机题解答2.1学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。
利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。
Z 变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。
但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1学习要点（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。
（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
（6）系统的传输函数和系统函数的求解。
（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。
（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2重要公式（1）这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
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2．判断下列系统是否为线性的、时丌变的和因果的？
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解：（1）系统 y（n）＝2x（n）是线性的
该系统是时丌变的，由
，得
该系统是因果的，因为输出在 n 时刻值只不当前 n 时刻的输入有关。 （2）系统 y（n）＝（2n）是线性的
【解析】A 项，y( t ) tf ( t ) ；B 项，y( t ) f ( t 1) ；C 项，y( t ) f ( t ) f ( t ) ； 2
D 项， y( t ) f ( t ) f ( t ) 2
当 af1( t ) bf2( t ) ay1( t ) by2( t ) ， f ( t t0 ) y( t t0 ) 时，系统是线性时丌变系
统，只有 B 项是线性时丌变系统
2．f（k＋3）*δ（k－2）的正确结果为（ ）。 A．f（5）δ（k－2） B．f（1）δ（k－2） C．f（k＋1） D．f（k＋5）
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【答案】C
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【解析】任意序列不脉冲序列的卷积 x( k k1 )* ( k k0 ) x( k k1 k0 ) 。*u（t）（ ）
【答案】√
【解析】由于 f (t) * (t) f (t) ，利用卷积的积分特性：
t
t
t
f ( )d [ f (t) * (t)]dt f (t) * (t)dt f (t) *u(t)
三、填空题 设 x(t) et 0.5 (2t 1) ，则 x(t) ＝_________。 【答案】 0.5 (t 0.5) 【解析】因为 x(t) et 0.5 (2t 1) (2t 1) 0.5 (t 0.5) ，所以 x(t) 0.5 (t 0.5) 。
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解：（1）系统 y（n）＝2x（n）是线性的
该系统是时丌变的，由
，得
该系统是因果的，因为输出在 n 时刻值只不当前 n 时刻的输入有关。 （2）系统 y（n）＝（2n）是线性的
【解析】A 项，y( t ) tf ( t ) ；B 项，y( t ) f ( t 1) ；C 项，y( t ) f ( t ) f ( t ) ； 2
D 项， y( t ) f ( t ) f ( t ) 2
当 af1( t ) bf2( t ) ay1( t ) by2( t ) ， f ( t t0 ) y( t t0 ) 时，系统是线性时丌变系
统，只有 B 项是线性时丌变系统
2．f（k＋3）*δ（k－2）的正确结果为（ ）。 A．f（5）δ（k－2） B．f（1）δ（k－2） C．f（k＋1） D．f（k＋5）
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【答案】C
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【解析】任意序列不脉冲序列的卷积 x( k k1 )* ( k k0 ) x( k k1 k0 ) 。*u（t）（ ）
【答案】√
【解析】由于 f (t) * (t) f (t) ，利用卷积的积分特性：
t
t
t
f ( )d [ f (t) * (t)]dt f (t) * (t)dt f (t) *u(t)
三、填空题 设 x(t) et 0.5 (2t 1) ，则 x(t) ＝_________。 【答案】 0.5 (t 0.5) 【解析】因为 x(t) et 0.5 (2t 1) (2t 1) 0.5 (t 0.5) ，所以 x(t) 0.5 (t 0.5) 。
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
第二章 线性时不变系统
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
信号与系统王明泉第二章习题解答
（1）零输入响应 满足方程
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统
从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]
n
卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k k
第2章 线性时不变系统
线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。
上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
特别地，我们有
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
线性时不变系统的基本特性
系统不满足叠加性，所以不是线性系统。而且
x(t) cx1(t) y(t) ax(t) b acx1(t) b cy1(t)
系统也不满足齐次性。
由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系 统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。
N
N
x(t) ak xk (t) 0 xk (t) 0
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为：
y(t) x(2t)
即如图所示：
x(t) 系统
x(t)
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
1
1 2
1
t
x(t) x(t)
系统
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
x(t 1)
k 1
k 1
N
N
y(t) ak yk (t) 0 yk (t) 0
k 1
k 1
而
y(t) ax(t) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性 x(t) 系统
x(t t0 )
y(t) y(t t0 )
例如：设系统的输入输出之间的关系为：
1
t 1 2
1
1 2
1
t
y1 (t )
y(t
1 2
)
1
1 2
1
t
所以系统是一时Biblioteka 系统。综合线性与时不变性，可表示为：
N
x(t) ak xk (t tk ) k 1
N
y(t) ak yk (t tk ) k 1
x(t) cx1(t) y(t) ax(t) b acx1(t) b cy1(t)
系统也不满足齐次性。
由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系 统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。
N
N
x(t) ak xk (t) 0 xk (t) 0
判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例 子不满足，就可证明其不满足此特性。
例如： 设系统的输入输出之间的关系为：
y(t) x(2t)
即如图所示：
x(t) 系统
x(t)
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
1
1 2
1
t
x(t) x(t)
系统
y(t) x(2t) y(t)
1
1
t
x(t 1)
k 1
k 1
N
N
y(t) ak yk (t) 0 yk (t) 0
k 1
k 1
而
y(t) ax(t) b a 0 b b
即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出， 称为系统的零输入响应。
二、时不变性 x(t) 系统
x(t t0 )
y(t) y(t t0 )
例如：设系统的输入输出之间的关系为：
1
t 1 2
1
1 2
1
t
y1 (t )
y(t
1 2
)
1
1 2
1
t
所以系统是一时Biblioteka 系统。综合线性与时不变性，可表示为：
N
x(t) ak xk (t tk ) k 1
N
y(t) ak yk (t tk ) k 1
线性系统理论(郑大忠)第2章
基此，选取电容端电压uc和流经电感的电流iL作 为电路状态变量组。 显然，uc和iL必满足状态变量定义中所指出的线 性无关极大组属性。
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
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线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
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线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
第2章-线性时不变系统
卷积和：对位相乘法
计算 x 1n x 2n ，其中
x 1 n 2 n n 1 4 n 2 n 3 x 2n 3 n n 1 5 n 2
x1 n : x2 n:
2 1 41 3 15
10 5 20 5
21 4 1
6 3 12 3
x1n x2 n: 6 5 23 12 21 5
用的。
例1: x (t) e a tu (t), a 0 h(t)u(t)
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )
ea u( )u(t )d
t ea d 1 (1 eat )u(t)
0
a
u(t )
x ( )
1
1
0
0t
例2 :
x(t)10
0tT otherwise
x(k)
t
0
k (k1)
引用 (t，) 即：
(t) 1/0
0t otherwise
则有： (t) 1 0
0t otherwise
第 个k 矩形可表示为： x (k ) (t k )
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x ，( t )
即： x(t) x(k)(tk) k 当 0时， k d (t k ) (t ) x(t)x(t)
etut*ut 1ut 1
1[e(t1) 1]u(t 1) 1[e(t1) 1]u(t 1)
信号与系统
举例
❖ 已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激
励信号分别为：e2tut ，ut1ut2，则系
利用z变换求解
❖ x1nnn1n2 x2nn1n2
X 1zX 2z1z 1z 2 z 1z 2
z 1z 2z 2z 3z 3z 4
张宇-信号与系统各章内容整理
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化，离散信号与连续信号的差别4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、） ，离散与连续的差别5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期： 2.00cos j tt ew w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j nn e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=2N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；单位阶跃响应的求解和物理意义； ✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-?=-?=-=-åò✧ 利用LTI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质✧ 了解线性常系数微分方程和差分方程的时域求解。
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
信号与系统-第2章例题
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t ) 时，其全响应
为 r1 (t ) 2e
3t
sin(2t ) u (t ) ； 当 激 励 为 2e(t ) 时 ， 其 全 响 应 为
3t r2 (t ) e 2sin(2t ) u (t ) 。求：
例：求微分方程的完全解 d2 d t y(0) y '(0) 0 y ( t ) 6 y ( t ) 5 y ( t ) e dt 2 dt d2 d 解: 齐次方程为 y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
特征方程：
2 6 5 0
d2 d r ( t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
例： 求系统的零输入响应
d2 d y ( t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt
1 5，2 1
特征根：
该方程的齐次解为：
yh (t ) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
y p (t ) C t et
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
零输入响应
例： 求系统的零输入响应 d2 d y (t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt 解：特征方程
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y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应 的卷积和图示
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：考虑一LTI系统，如图 所示，其单位脉冲响应为h[n]， 输入为x[n]，则输出
y[n] x[0]h[n 0] x[1]h[n 1]
0.5h[n] 2h[n 1]
2.2离散时间LTI系统：卷积和
ds (t ) h(t ) s(t ) dt
2.5用微分方程描述连续LTI系统
线性常系数微分方程
2.5用微分方程描述连续LTI系统
线性常系数微分方程的解
2.5用微分方程描述连续LTI系统
齐次解的形式
2.5用微分方程描述ຫໍສະໝຸດ 续LTI系统 线性常系数微分方程需要辅助条件
2.5用微分方程描述连续LTI系统
（2）单位冲激响应（Unit impulse response） 一般信号可表示为延迟冲激的线性组合 LTI系统的单位冲激响应能完全表征LTI系统的特性
2.1概述
（3）离散时间情况下的卷积和 （4）连续时间情况下的卷积积分 （5）分析其它LTI系统的性质 （6）线性常系数微分方程描述的连续时间系统 （7）线性常系数差分方程描述的离散时间系统
1 n1 y[n] ( )u[n] 1
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
（1）用单位冲激表示连续时间信号
（1）Representation of CT Signals in Terms of Shifted unit Impulses 输入信号可以用一串延时脉冲的线性组合来表示
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.4 LTI系统的性质
若k=1，这些系统就变成恒等（Identity）系统： 输出等于输入；单位冲激响应等于单位冲激 此时卷积和与卷积积分公式变成 x[n] x[n]* [n]
x(t ) x(t )* (t ) 上式其实就是DT和CT单位冲激函数的筛选性质
x[n] x(t )
2.6用差分方程描述离散LTI系统
齐次解的形式
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程需要辅助条件
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程的递归因果解
2.6用差分方程描述离散LTI系统
2.7小结
（1）DT：信号表示成一组移位的单位脉冲的加权和，由 此导出DT LTI系统响应的卷积和表示 （2）CT：信号表示成移位单位冲激函数的加权积分，由 此导出CT LTI系统响应的卷积积分表示 （3）单位冲激响应 （4）LTI系统的性质：因果性及稳定性 （5）LTI连续时间系统由线性常系数微分方程描述 （6）LTI离散时间系统由线性常系数差分方程描述
第2章 线性时不变系统 Chapter 2 Linear Time-Invariant Systems
第2章 线性时不变系统
2.1概述
2.2离散时间LTI系统：卷积和 2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.4LTI系统的性质
2.5用微分方程描述连续LTI系统
2.6用差分方程描述离散LTI系统
2.2离散时间LTI系统：卷积和
（1）用单位脉冲表示离散时间信号
（1）Representation of DT Signals in Terms of Shifted unit Samples 筛选性质 （sifting property）
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
n
h[n] NotStable
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的单位阶跃响应 Unit Step Response 定义：单位阶跃响应s[n]或s(t)是当输入x[n] = u[n] 或 x(t) = u(t)时的系统输出响应 DT LTI系统，根据卷积和，其单位阶跃响应就是 单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积
k
h[k ]
2.4 LTI系统的性质
对连续时间系统，若|x(t)|<B，对全部t，与离散推导类似有
y (t )
h( ) x(t )d
h( ) x(t ) d
B h( ) d
若单位冲激响应是绝对可积的，即
x[n] B, 对所有的n
y[n]
y[n]
则按卷积和公式
y[n] B h[k ], 对所有n
k
h[k ] x[n k ]
k
k
h[k ]x[n k ]
如果单位脉冲响应是绝对可求和的，即 那么y[n]就是有界的，因此系统是稳定的
2.4 LTI系统的性质
交换律性质的解释： An interpretation of commutative property
2.4 LTI系统的性质
卷积的代数性质导致的一 个结果就是LTI系统能够 以任何次序串联
2.4 LTI系统的性质
卷积的分配律性质 导致的一个结果就 是LTI系统的并联能 够融合成一个LTI系 统
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
卷积积分的图
解说明
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
连续时间卷积积分的计算
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
举例：设某一LTI系统输入为 x(t)，其单位冲激响应为h(t)
x(t ) e at u (t ), a 0 h(t ) u (t )
例题：
2.5用微分方程描述连续LTI系统
2.5用微分方程描述连续LTI系统
齐次解：自然响应（natural response） 特解：受迫响应（forced response）
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程
2.6用差分方程描述离散LTI系统
N阶线性常系数差分方程的解
s[n] u[n]* h[n] 根据卷积的交换律 s[n] h[n]* u[n] 此时s[n]可看成输入是h[n], 单位脉冲响应为u[n]时的响应 u[n]是累加器的单位脉冲响应，因此有 s[n]
k
h[k ]
n
h[n]可以依据h[n] s[n] s[n 1]从s[n]中恢复出来
（2）离散时间LTI系统单位脉冲响应及卷积和表示 （2）The DT Unit Sample Response and the Convolution Sum Representation of LTI Systems
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应的卷积和表示：
k
x[k ] [n k ]
x( ) (t )d
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的可逆性 Invertibility
h(t )* h1 (t ) (t ) h[n]* h1[n] [n]
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的稳定性（Stability） BIBO: Bounded Input Bounded Output 设一输入x[n] 是有界的，其界为B，即
作业
作业
作业
作业
卷积和计算的可视化
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为
x[n] nu[n], 0 1 h[n] u[n]
由图可知， 对于n<0，x[k]和h[n-k]的非零部分 没有任何重合，所以对n<0而言， x[k] h[n-k]对全部k值都为零，故 n<0，y[n]=0 对于n 0， k , 0 k n x[k ]h[n k ] 0, 其余k值 因此，对于 n 0 ， n 1 n1 k y[n] 1 k 0 因此对于全部n，就有
t 0, x( )与h(t - )的乘积为零， 所以y(t ) 0
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应 的卷积和图示
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：考虑一LTI系统，如图 所示，其单位脉冲响应为h[n]， 输入为x[n]，则输出
y[n] x[0]h[n 0] x[1]h[n 1]
0.5h[n] 2h[n 1]
2.2离散时间LTI系统：卷积和
ds (t ) h(t ) s(t ) dt
2.5用微分方程描述连续LTI系统
线性常系数微分方程
2.5用微分方程描述连续LTI系统
线性常系数微分方程的解
2.5用微分方程描述连续LTI系统
齐次解的形式
2.5用微分方程描述ຫໍສະໝຸດ 续LTI系统 线性常系数微分方程需要辅助条件
2.5用微分方程描述连续LTI系统
（2）单位冲激响应（Unit impulse response） 一般信号可表示为延迟冲激的线性组合 LTI系统的单位冲激响应能完全表征LTI系统的特性
2.1概述
（3）离散时间情况下的卷积和 （4）连续时间情况下的卷积积分 （5）分析其它LTI系统的性质 （6）线性常系数微分方程描述的连续时间系统 （7）线性常系数差分方程描述的离散时间系统
1 n1 y[n] ( )u[n] 1
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
（1）用单位冲激表示连续时间信号
（1）Representation of CT Signals in Terms of Shifted unit Impulses 输入信号可以用一串延时脉冲的线性组合来表示
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.4 LTI系统的性质
若k=1，这些系统就变成恒等（Identity）系统： 输出等于输入；单位冲激响应等于单位冲激 此时卷积和与卷积积分公式变成 x[n] x[n]* [n]
x(t ) x(t )* (t ) 上式其实就是DT和CT单位冲激函数的筛选性质
x[n] x(t )
2.6用差分方程描述离散LTI系统
齐次解的形式
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程需要辅助条件
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程的递归因果解
2.6用差分方程描述离散LTI系统
2.7小结
（1）DT：信号表示成一组移位的单位脉冲的加权和，由 此导出DT LTI系统响应的卷积和表示 （2）CT：信号表示成移位单位冲激函数的加权积分，由 此导出CT LTI系统响应的卷积积分表示 （3）单位冲激响应 （4）LTI系统的性质：因果性及稳定性 （5）LTI连续时间系统由线性常系数微分方程描述 （6）LTI离散时间系统由线性常系数差分方程描述
第2章 线性时不变系统 Chapter 2 Linear Time-Invariant Systems
第2章 线性时不变系统
2.1概述
2.2离散时间LTI系统：卷积和 2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.4LTI系统的性质
2.5用微分方程描述连续LTI系统
2.6用差分方程描述离散LTI系统
2.2离散时间LTI系统：卷积和
（1）用单位脉冲表示离散时间信号
（1）Representation of DT Signals in Terms of Shifted unit Samples 筛选性质 （sifting property）
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
n
h[n] NotStable
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的单位阶跃响应 Unit Step Response 定义：单位阶跃响应s[n]或s(t)是当输入x[n] = u[n] 或 x(t) = u(t)时的系统输出响应 DT LTI系统，根据卷积和，其单位阶跃响应就是 单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积
k
h[k ]
2.4 LTI系统的性质
对连续时间系统，若|x(t)|<B，对全部t，与离散推导类似有
y (t )
h( ) x(t )d
h( ) x(t ) d
B h( ) d
若单位冲激响应是绝对可积的，即
x[n] B, 对所有的n
y[n]
y[n]
则按卷积和公式
y[n] B h[k ], 对所有n
k
h[k ] x[n k ]
k
k
h[k ]x[n k ]
如果单位脉冲响应是绝对可求和的，即 那么y[n]就是有界的，因此系统是稳定的
2.4 LTI系统的性质
交换律性质的解释： An interpretation of commutative property
2.4 LTI系统的性质
卷积的代数性质导致的一 个结果就是LTI系统能够 以任何次序串联
2.4 LTI系统的性质
卷积的分配律性质 导致的一个结果就 是LTI系统的并联能 够融合成一个LTI系 统
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
卷积积分的图
解说明
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
连续时间卷积积分的计算
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
2.3连续时间LTI系统：卷积积分
举例：设某一LTI系统输入为 x(t)，其单位冲激响应为h(t)
x(t ) e at u (t ), a 0 h(t ) u (t )
例题：
2.5用微分方程描述连续LTI系统
2.5用微分方程描述连续LTI系统
齐次解：自然响应（natural response） 特解：受迫响应（forced response）
2.6用差分方程描述离散LTI系统
线性常系数差分方程
2.6用差分方程描述离散LTI系统
N阶线性常系数差分方程的解
s[n] u[n]* h[n] 根据卷积的交换律 s[n] h[n]* u[n] 此时s[n]可看成输入是h[n], 单位脉冲响应为u[n]时的响应 u[n]是累加器的单位脉冲响应，因此有 s[n]
k
h[k ]
n
h[n]可以依据h[n] s[n] s[n 1]从s[n]中恢复出来
（2）离散时间LTI系统单位脉冲响应及卷积和表示 （2）The DT Unit Sample Response and the Convolution Sum Representation of LTI Systems
2.2离散时间LTI系统：卷积和
2.2离散时间LTI系统：卷积和
LTI系统响应的卷积和表示：
k
x[k ] [n k ]
x( ) (t )d
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的可逆性 Invertibility
h(t )* h1 (t ) (t ) h[n]* h1[n] [n]
2.4 LTI系统的性质
LTI系统的稳定性（Stability） BIBO: Bounded Input Bounded Output 设一输入x[n] 是有界的，其界为B，即
作业
作业
作业
作业
卷积和计算的可视化
2.2离散时间LTI系统：卷积和
例题：已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为
x[n] nu[n], 0 1 h[n] u[n]
由图可知， 对于n<0，x[k]和h[n-k]的非零部分 没有任何重合，所以对n<0而言， x[k] h[n-k]对全部k值都为零，故 n<0，y[n]=0 对于n 0， k , 0 k n x[k ]h[n k ] 0, 其余k值 因此，对于 n 0 ， n 1 n1 k y[n] 1 k 0 因此对于全部n，就有
t 0, x( )与h(t - )的乘积为零， 所以y(t ) 0