第二章 线性不变系统.
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包装测试第二章 线性时不变系统
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral） ）
一. 用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致， 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 种关系： 种关系： u (t ) = t δ (τ ) dτ = ∞ δ (t − τ ) dτ ∫ ∫ 对一般信号 x (t ) ，可以将其分成很多∆ 宽度的区 段，用一个阶梯信号 x∆ (t) 近似表示x(t ) 。当 ∆→0 时， 有 x∆ (t ) → x(t )
x(τ )
1
u (t − τ )
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 由于 系统满足齐次性和可加性， 系统满足齐次性和可加性 有时不变性的特点， 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性， 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 应的线性组合。
一. 用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致， 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 种关系： 种关系： u (t ) = t δ (τ ) dτ = ∞ δ (t − τ ) dτ ∫ ∫ 对一般信号 x (t ) ，可以将其分成很多∆ 宽度的区 段，用一个阶梯信号 x∆ (t) 近似表示x(t ) 。当 ∆→0 时， 有 x∆ (t ) → x(t )
x(τ )
1
u (t − τ )
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 由于 系统满足齐次性和可加性， 系统满足齐次性和可加性 有时不变性的特点， 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性， 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 应的线性组合。
信号与系统-第二章线性时不变系统
y(t) x( )h (t)d
若系统是时不变的，即：若 (t) ，h则(t有) :
(t ) 于h(t是系) 统对任意输入 的响x应(t可) 表示为：
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h来(t)
表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
18
证明：
xn n xk nk
k
x k k n, n = n
k
x n k n, 取样性质
k
=x n k n=x n
k
19
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
一. 用冲激信号表示连续时间信号
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号
应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的
线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关
t
系： u(t) ( )d (t )d
0
对一般信号 x(t，) 可以将其分成很多 宽度的区段，
用一个阶梯信号 近x似(t表) 示 。当x(t) 时，有 0
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
第二章 线性时不变系统的时域分析
求解差分方程的方法有两种： （1）迭代法，也叫做递归法，这种方法易 于用计算机求解，但不易给出一个闭式 的解答。 （2）经典法，这种方法完全可以按照微 分方程的求解方式进行，其完全解也分 为齐次解和特解两部分。 例2.15
根据特征根的性质， 根据特征根的性质，差分方程的齐次解也 有以下三种形式： 有以下三种形式： ⑴ 如果特征根 α1、α2 、αn 都是单根， 则齐次解的形式为 ⑵ 如果在特征根中， αm 是 K 重特征根， 则齐次解中与 αm 相对应的有 K 项，其 形式为
重要意义： （1）零状态响应能够真实地反映系统特性； （2）系统的零状态响应可以用卷积的方法 求解。
2．零输入响应和零状态响应的求解 ．
零输入响应的求解 零输入响应的解的形式应和微分方程齐次解的 形式相同，它应是微分方程齐次解中的一部分。 如果一个 N 阶微分方程的 N 个特征根 αi 都是单 根，则零输入响应 yzi(t) 可写为：
d k y (t ) ∑ ak dt k = 0 k =0
n
特征方程为
ak α n k = 0 ∑
k =0
n
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根 、 重根、 共轭复根， 根据特征根是 单根、 重根 、 共轭复根 ， 单根 齐次解的形式也有所不同， 齐次解的形式也有所不同 ， 一般有三种 情况。 情况。 都是单根， ⑴ 如果特征根 a1 、a2 、an 都是单根，则 齐次解的形式为
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号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的
线性组合。
至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：
u(t ) ( )d (t )d
0
t
对一般信号 x(t ) ，可以将其分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有: x (t ) x(t ) 0
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t ) ai xi (t )
则 y (t )
xi (t ) yi (t )
i
a y (t )
i i i
分析方法：
将信号分解可以在时域进行，也可以在变换域
进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法和
变换域分析法。
一个复杂信号可以分解为一系列简单的基本信号单元
• 一维系统与多维系统
• 还可以按照下节介绍的系统基本性质进行分类
系统的互联
级联 并联
系统1 输入 系统2
输入 系统1 系统2 输出
反馈联结
输入
+
系统1 系统2
输出
+
输出
系统1 输入
+
系统2
+
系统3
输出
系统4
系统的基本特性
线性
——线性条件（可加性、齐次性） 连续时间系统： ax1(t)+bx2(t) →ay1(t)+by2(t) （a和b是任意复常数） 离散时间系统： ax1[n] +bx2[n] →ay1[n] +by2[n] （a和b是任意复常数）
第二章 线性不变系统.
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
f 2 f 2 x y f x cos 频域 1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2pr cos( )]rdr
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
f 2 f 2 x y f x cos 频域 1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2pr cos( )]rdr
信号与系统(第2章)线性非时变系统的时域描述
2.5 投资计算（实际应用）
理解x[n]， y[n]， 的实际意义，掌握计算方法
§ 2.2-2.3 卷积和及计算—作业
P103：习题2.1、习题2.2(a,c,e)
17
§2.4-2.5 连续时间LTI系统：卷积积分及计算
一、连续时间LTI系统的冲激响应描述 连续时间信号表示：时移单位冲激信号的加权积分
(t)
LTI h(t) h(t) a (t )
衰减系数、时间延迟量
2.10 雷达测距： 匹配滤波器
理解匹配滤波器的工作原理：输出信号峰值所在处， 对应的时间t = 正是关注的往返时间的延迟量的实际意义.
27
§2.5 卷积积分的计算——作业
P111：习题2.4、习题2.5
§2.6 LTI系统的互联—卷积积分的性质
例题：
2.3 移动平均系统
2.4 一阶递归系统
x[n]
LTI y[n] y[n] y[n 1] x[n]
[n]
LTI h[n] h[n] h[n 1] [n]
因果系统，n<0, [n]=0, h[n]=0,
h[n] nu[n]
h[0]=1,…… x[n] bnu[n 4] y[n] ?
如何得到LTI系统对基本单元信号的响应？ ——LTI系统对这种信号的响应容易求得。
5
§2.2-2.3 离散时间LTI系统：卷积和及计算
第二章 线性时不变系统
循 环
（三）
求乘积
x[k]h[n k]
（四） 对每一个n求和
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
7
（3）不带进位的普通乘法
例4 x[n] 2,1,5 n 0,1,2 求 y[n] x[n]h[n] h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
解： 3 1 4 2 h[n] 2 1 5 x[n]
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
n
f (t) ai fi (t ti )
n
y(t) ai yi (t ti )
i 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1
例1 一个线性时不变系统
L
L
3
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
例2
x[k] [n k]
x[n] x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1]
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
第二章线性不变系统解析
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
第二章线性时不变系统详解演示文稿
的单位冲激信号的线性组合。
14
第十四页，总共四十页。
二.卷积积分（The convolution integral）
对于LTI系统的时不变性，若
2.2
则
连
续 时
x t x ht
间
LTI
系
即，若 x(t) x( ) (t )d
统 ： 卷
根据线性性质： yt x ht d
y n xnhn xk hn k
k
1).由 x n x k ，k轴上其非零取值区间是固定的；
2).由
反转
右移动n个单位
hn hk hk hn k,非零区间随n而变化；
2.1
离
散 时
3).将 hn k从左到右移动，分步确定随着n的变化，被求和函
间 数的非零区间，确定求和上下限的k值。
注意：①上述结论都是针对LTI而 言的； ②卷积运算必须收敛。
24
第二十四页，总共四十页。
例① 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：
x(t) 平方
乘2 y(t) 2x2 (t)
交换两个级联单元的顺序后
2.3
x(t )
y(t) 4x2 (t)
线
乘2
平方
性
时
系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统
5
第五页，总共四十页。
第二章 线性时不变系统
4）相乘
将时移后的h(t-)乘以x()，得被积函数x()h(t-)；
5）卷积积分将波形h(t-)连续地沿轴平移，就得到任意时刻t 的卷积积分，即：
y(t ) x( )h(t )d
简记为： 自变量：t τ (1)反折（Time Inversal）: (2)时移（Time Shift）: h[τ] h[-τ] h[-τ] h[t-τ ] x[τ]h[t-τ]
为书写方便，写成如下形式：
x1[n] 2， 1， 4， 1 x2 [n]＝3 , 1， 5
n 0,1,2,3 n 0,1,2
将两序列的左端或 右端对齐，然后相乘。 这里采用左端对其的 方式。要注意的是不 能进位，最后把同一 列上的乘积值按对位 求和即可得到y[n]。
2
1 3
4 1
(1) 单位冲激响应（Unit Impulse Response ） x(t)=(t) y(t)=h(t)
LTI
(2)卷积（ The Convolution of LTI System ） x(t) y(t)=?
LTI
矩形信号：
x(t) 1
x(t ) u(t t1 ) u(t tn )
y2 (t ) x1 (t ) * x2 (t )
k n 1 2 2
y[n] 2n1 u[n 1] 2u[n]
线性时不变系统--习题
利用单位样值信号的卷积性质
δ n n1 δ n n2 δ n n1 n2
sn x1n x2n δ n 5 3δ n 4 6δ n 3 10δ n 2 15δ n 1
14δ n 12δ n 1 9δ n 2 5δ n 3
结果如图（a）所示。
(a)
sn
2 sin
nπ 16
cos
nπ 8
6 sin
nπ 2
π 6
f2 n 是三个周期序列的和组成的序列，所以它的基
波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。
2 sin
nπ 16
的
周
期
是N
1
32
cos
nπ 8
的
周
期
是N
2
16
6 sin nπ 2
π 6
是N
3
4
N1, N2, N3的最小公倍数是32，所以f2 n基波周期N 32。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
(1) f t d et t dt
(2) f t t e3 τ d τ
本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。
δ n n1 δ n n2 δ n n1 n2
sn x1n x2n δ n 5 3δ n 4 6δ n 3 10δ n 2 15δ n 1
14δ n 12δ n 1 9δ n 2 5δ n 3
结果如图（a）所示。
(a)
sn
2 sin
nπ 16
cos
nπ 8
6 sin
nπ 2
π 6
f2 n 是三个周期序列的和组成的序列，所以它的基
波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。
2 sin
nπ 16
的
周
期
是N
1
32
cos
nπ 8
的
周
期
是N
2
16
6 sin nπ 2
π 6
是N
3
4
N1, N2, N3的最小公倍数是32，所以f2 n基波周期N 32。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
(1) f t d et t dt
(2) f t t e3 τ d τ
本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。
2 线性时不变系统的时域分析
e
的全解。
解: (1) 特征方程为
2
+ 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为 yh (t ) C1e2t C2e3t
由表2-2可知，当f(t) = 2
e t
t
时，其特解可设为
y p (t ) Pe
解得 P=1
y p (t ) e t
将其代入微分方程得 Pet 5(Pet ) 6Pet 2et
零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始 状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由
系统外加激励信号所产生的响应。
LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t)
零输入响应
（1）即求解对应齐次微分方程的解 ①特征方程的根为n个单根 当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、 虚根、复数根)λ1，λ2， …，λn时，则yx(t)的 通解表达式为
2Ω ＋ 1.5δ (t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程：
uc(t)
－
duc RC u c 1.5 (t ) dt duc 即： 2u c 3 (t ) dt
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能 量，而在t>0时，系统的激励为0。相当于在0－到 0＋时刻，使系统具有了一定的初始能量。因此， 系统的冲激响应与系统的零输入响应具有相同的 形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
h1(t)
h1(t)
h2(t)
h3(t) Σ
r(t)
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积的性质：
5.微积分性质：
1) 微分性质：卷积运算与微分运算可交换 ；
d dt
f1
t
*
f2 t
df1t *
dt
f2 t
f1
t
*
df2 t
dt
举例
已知两信号 f1 t e2tu t etu t f2 t utut T
f1
t
u
t
f2
u
d
u
t
t
0
f1
t
f2
d
f1 n* f2 n f1 nun* f2 nu n
f1 n mun m f2 mu m m
n
un f1 n m f2 m m0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
1、解析法：
两个重要结论：
e1tu t
*
e2tu t
e1t
1
e2t
t
f2 d
卷积微积分性质使用注意事项
卷积微积分性质中，被微分的信号需要满
足条件
f1 t
t
f1'
d
即该信号中不能包含有直流分量，此时不 能直接应用该性质求解卷积，需将直流分 量的卷积分离出来单独计算。
第二章线性时不变系统
为何LTI（Linear Time-Invariant System）能够成为信号与 系统分析中的主要内容？ 是由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变 性的特点，因而能够深入分析，为建立信号与系统分析的理 论与方法奠定了基础。 对LTI系统进行分析的基本思路是什么？ 把任意的输入信号都分解成基本信号的线性组合，那 么只要得到LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的 线性和可加性质，将系统的输出响应表示成系统对基本信号 响应的线性组合。 2
同理
k
x n k h k h n * x n
y (t ) x(t ) h(t ) x( ) h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
根据交换律
xn hn
xk hn k
则线性系统对任何输入xn 的响应为：
xn yn
k
结论：对时不变系统，若： xn
2.1 离 散 时 间 系 统 ： 卷 积 和 LTI 8 则
k
xk n k
y n
k
x k h n k
h( )
2T
1 x(t )
0
2T
t T
0
t
同理
k
x n k h k h n * x n
y (t ) x(t ) h(t ) x( ) h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
根据交换律
xn hn
xk hn k
则线性系统对任何输入xn 的响应为：
xn yn
k
结论：对时不变系统，若： xn
2.1 离 散 时 间 系 统 ： 卷 积 和 LTI 8 则
k
xk n k
y n
k
x k h n k
h( )
2T
1 x(t )
0
2T
t T
0
t
第二章线性时不变系统(LTI)(1)
（直接1型）将y[n]写在方程左边，其余放 直接 型 写在方程左边， 写在方程左边 在右边
2011-3-28
43
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
直接Ⅰ型方框图有过多的单位延时器， 直接Ⅰ型方框图有过多的单位延时器， 可以通过改进方框图， 可以通过改进方框图，减少多余的延 时器
2011-3-28
2011-3-28 2
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
2011-3-28
3
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
二、连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分 连续时间 系统的单位冲激响应及卷积积分
2011-3-28
2011-3-28
19
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
20
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.3 卷积性质与LTI系统性质 卷积性质与 系统性质
2011-3-28
21
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x[n]
h[n]
LTI
y[n]
h[n]
x[n]
LTI
x(t ) = e
st
y (t ) = H (s )e 连续时间LTI h(t ) 连续时间
2011-3-28
43
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
直接Ⅰ型方框图有过多的单位延时器， 直接Ⅰ型方框图有过多的单位延时器， 可以通过改进方框图， 可以通过改进方框图，减少多余的延 时器
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2011-3-28 2
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
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信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
二、连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分 连续时间 系统的单位冲激响应及卷积积分
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信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
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信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.3 卷积性质与LTI系统性质 卷积性质与 系统性质
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信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x[n]
h[n]
LTI
y[n]
h[n]
x[n]
LTI
x(t ) = e
st
y (t ) = H (s )e 连续时间LTI h(t ) 连续时间
第2章__线性时不变系统
物理意义：两个LTI系统级联 后的单位冲激响应 是单个冲激响应的卷积，且与级联顺序无关
x[n] h1[n] h2[n] y[n]
x[n] h[n]=h1[n]*h2[n] y[n]
x[n]
h[n]=h1[n]*h2[n]
y[n]
x[n]
h2[n]
h1[n]
y[n]
4、LIT系统的因果性 因果性:输出只决定于现在和过去的输入值 对LTI系统， y[n] x[k ]h[n k ] k 要求k>n时，h[n-k]=0，即 n<0时，h[n]=0 n x[k ]h[n k ] 因果系统的输出表示为 y[n] k 或
若 h(t ) h1 (t ) (t ) 则冲激响应为的系统 是冲激响应为h(t)的系统的逆系统
8、LTI 系统的单位阶跃响应g[n] / g(t) 定义：当激励为u[n] / u(t)时系统的零状态 响应。
g[n] u[n] h[n]
m
h[m]
t
n
h[n] g[n] g[n] g[n 1]
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
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{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
f ( ,h ) ℒ {d ( x , y h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; h)
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
G( f x , f y )
2
df x df y
f 2 f 2 x y f x cos 频域 1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2pr cos( )]rdr
g(x) g(ax) a=2
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
G(f) 1 1/2
f 1 G( x ) a a
-1
0
1
f
-2
0
2
f
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
3. 位移定理 Shifting
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 在而改变
系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的 输入函数分解为简单的 “基元”函数的 线性组合，则输出就是这些“基元”函 数响应的线性组合。
光学系统可看成二维线性系统
常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
§2.1 线性系统
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2p ( f x x f y y)dxdy
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 1 y tan ( x ) y r sin
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f ( ,h)d ( x , y h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于( h)的d 函 数的权重因子是 f ( h).
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2pfx)dx g ( )h( x )d
交换积分顺序:
g ( ) h( x ) exp( j 2pfx) dx d
叠 加 积 分
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
源自文库
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
g ( ) H ( f ) exp( j 2pf )d
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp( j 2pf )d
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
则称该系统为线性系统。
§2.1
输入
线性系统
}
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
ℒ{ ℒ{
g1(x, y)
输出
f2(x, y)
}
g2(x, y)
输入
ℒ{
}
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
§2.1 线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
交换积分顺序,先对x求积分:
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f f ' ) x]dx
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f ' f )dfdf '
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
0 0 2p
令:
G( , ) F ( cos , sin ) g (r , ) f (r cos , r sin )
G( , ) d rg (r , ) exp[ j 2pr cos( )]dr
0 0 2p
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
G( , ) rg (r ) exp[ j 2pr cos( )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[ ja cos( )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp( j 2pf ' x)df ' dx
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
f ( ,h ) ℒ {d ( x , y h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; h)
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
G( f x , f y )
2
df x df y
f 2 f 2 x y f x cos 频域 1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[ j 2pr cos( )]rdr
g(x) g(ax) a=2
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
G(f) 1 1/2
f 1 G( x ) a a
-1
0
1
f
-2
0
2
f
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
3. 位移定理 Shifting
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 在而改变
系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的 输入函数分解为简单的 “基元”函数的 线性组合，则输出就是这些“基元”函 数响应的线性组合。
光学系统可看成二维线性系统
常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
§2.1 线性系统
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2p ( f x x f y y)dxdy
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 1 y tan ( x ) y r sin
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f ( ,h)d ( x , y h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于( h)的d 函 数的权重因子是 f ( h).
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2pfx)dx g ( )h( x )d
交换积分顺序:
g ( ) h( x ) exp( j 2pfx) dx d
叠 加 积 分
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
源自文库
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
g ( ) H ( f ) exp( j 2pf )d
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp( j 2pf )d
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
则称该系统为线性系统。
§2.1
输入
线性系统
}
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
ℒ{ ℒ{
g1(x, y)
输出
f2(x, y)
}
g2(x, y)
输入
ℒ{
}
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
§2.1 线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
交换积分顺序,先对x求积分:
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f f ' ) x]dx
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f ' f )dfdf '
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
0 0 2p
令:
G( , ) F ( cos , sin ) g (r , ) f (r cos , r sin )
G( , ) d rg (r , ) exp[ j 2pr cos( )]dr
0 0 2p
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
G( , ) rg (r ) exp[ j 2pr cos( )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[ ja cos( )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp( j 2pf ' x)df ' dx
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积