大学物理第六章第2讲

+ + + + R + + +
o r
+ +
+ + S1+ +
E dS 0
S1
E 0
注意：不是每个面元上电荷在球面内 产生的场强为零，而是所有面元上电 荷在球面内产生场强的矢量和为0。
S2
+
r
+ + + + R
E
+ + +
Q 4π 0r
2
+ +
o
+ + +
（2） r
S2
z
E dS 0
en
R
E
Q
x
高斯 (C.F.Gauss 17771855） 德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
三、高斯定理 高斯定理要解决的问题： 高斯定理的推导
s1
0
q
S1内
s1
o r1
E dS E dS E dS E 4r12
s1 s1
S1
q 4 3 q 3 q 4 3 3 r1 R 3 r1 0 S1内 0 0 R 3 q 3 q 2 E 4r1 r E r 3 1 3 1 4 0 R 0R
例5 无限长均匀带电圆柱面，半径为 R ，电荷面密度 为 0 ，求柱面内外任一点场强。
解（1） 0 r
e
s ( 上底）
S
E dS
R
s ( 柱面）

E dS
o
S1
'
R

E dS
s ( 下底）

E dS
s ( 柱面）
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷 线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
r
解： 1 分析电场强度的对称性 （轴对称）
2 做合适的高斯面 3 求 和 e
z
en
+ +
e
s ( 上底）
S
E dS
qi
E dS
s ( 柱面）
E

E dS
3 面对称: 无限大带电平面，几个平行的平面组合。
2、必须做一个合适的高斯面 3、写出高斯定理（完整的或分成几个面分别写）
1
结论：
E r1
（2） r
R
0
1 E dS
s2
2 2
S2
q
S 2内
r2
R
E 4r
E
1
o
q
0
q
E
Er
E 1 r2
q 4 0 r22
结论:均匀带电球体外 任一点的场强，如同电 荷全部集中在球心处的 点电荷产生的场强一样.
o
R
r
例4 无限长均匀带电直线的电场强度
s s
Φe Φe1 Φe2 Φen
s
s
s
s
Φe Φe1 Φe2 Φen
Φe
i 1 n
0
q1
n

0
i
q2

0
qn
S
1 Ei dS
0
q
i 1
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该 曲面所包围的一切电荷的代数和除以 0 。这就是真空中 的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中 闭合曲面称为高斯面。
而与S外电荷无关。实际上， 是由S内、外所有电 E 荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。
四、高斯定理的应用（求电场强度 E ）
用高斯定理求电场强度的步骤：
1 分析带电体及其产生的电场是否具有某种对称性。
2 做合适的高斯面。 3 分别求出电通量和电荷代数和。 4 写出高斯定理。
例2 求均匀带电球壳的电场强度 一半径为R , 均匀带电 Q 的薄球壳 . 求球壳内外任 意点的电场强 度. 解（1） 0 r R
Φe
S
E
E
与平面夹角为
Φe E S
Φe ES cos

en
S

E
2、非均匀电场的电通量 Φe
E
dS dS en
S
en

dS
E
通过 dS 电场强度通量为：
dΦe Eds cos E dS
通过曲面S的电场强度通量为：
dΦe E dS
Φe
S
en3 3
E
场线穿过某一曲面（或闭 合曲面）的数目。
2 对于闭合曲面，电场线
E dS E cos dS
“穿入”电通量为负，电 场线“穿出”电通量为正。
例1 如图所示有一个三棱柱体 放在电场强度 E 200i N C1 的匀强电场中，求通过此三棱柱 N 体的电场强度通量。 解 Φe Φe前 Φe后 Φe左 en
通过某一闭合曲面电场强度通量为：
e E dS E1 E2 E3 En dS
E1 dS E2 dS E3 dS En dS
+
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
一对等量同号点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
电场线的特点：
1
电场线始于正电荷,止于负电荷,不间断,也不形成 闭合曲线。 任何两条电场线都不能相交，因为电场中每一 点的电场强度只能有一个确定的方向。
讨论
无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题

0

0
0


0
0
0
用高斯定理求电场强度小节 1、电场必须具有某种对称性（这是先决条件）
1 球对称：球壳、同心球壳、球体、同心的球体
与球壳的组成。
2 轴对称：长直导线、圆柱面、两同轴圆柱面、圆
柱体、同轴圆柱体和圆柱面的组合。
d S en
E
q
R
+

q 4 0 R2
dS
s
dS
en
q
0
通过闭合曲面的 电场强度通量为: 结论： 与 e
Φe
0
R 无关，仅与 q
有关 ( 0 const)
2、点电荷在任意闭合曲面内
dS'
dΦe dS cos 2 dS 4π 0r
1 高斯定理 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
注意： 1 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2 高斯面为封闭曲面.
3 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5
静电场是有源场.
说明： ⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不 是高斯定理的证明。 ⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静 电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高 斯定理是电磁理论的基本方程之一。 ⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合 面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电 荷无关。
R
结论：均匀带电球面外任一点 的场强，和电荷全部集中在球 心处的点电荷在该点产生的场 强一样。
0 Q 2 4π r E 0
Q E dS
Q 4π 0R2
E
o
R
r
例3 有均匀带电的球体，半径为R ，电量为 q ， 求球内外场强 。
解（1） 0 r
R
q R
1 E dS
1 当 e E dS
s
>0时，不能说S内只有正电荷
0
q
S内
<0时，不能说S内只有负电荷 =0时，不能说S内无电荷
1 ⑷高斯定理说明 e E dS
s
q 与S内电荷有关 而与S外电荷无关，这并不是说 E 只与S内电荷有关
0 S内

解：1 分析电场强度的对称性（面对称）
2 做合适的高斯面
r
3 求 和 e
q
i
S＇ E dS
S
4 应用高斯定理
S＇
E

S＇
S＇
E
2 S＇ E
0 S＇
底面积
0
E 2 0


E
E E
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
h
r
+ + +
o

E dS
s ( 下底）

s ( 柱面）
E dS
x
y en en
qi h
4 应用高斯定理
z
+ +
E dS
S
E
h 0 h 2 π rhE 0
s ( 柱面）
EdS
h
r
+ +
o y
en
x
+
E 2π 0r
Φe dΦe E cos dS s

S
E dS
对于闭合曲面 规定：电场线“穿入”
电场线“穿出”
en1
1
ds1
E
ds2
en 2 2
E
π , dΦe 0 2 π , dΦe 0 2
说明：
1 电通量是个区域量，是电
ds3
2
电场线密度 通过电场中某点，垂直于 E 的单位面 积的电场线的条数等于该点 E 的大小。
ds
E
即 E E dN / dS
二、电场强度通量 定义：通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这 个面的电场强度通量，用 e表示. 1、均匀电场的电通量
E 垂直平面 Φ ES e
E
q
dS1
E
E dS 0
S
注意：通常取面元外法向为正。
4、闭合曲面包围几个点电荷
q1
在点电荷 q1 , q2 , q3 , qn 电场中，面元 d S 处场强为：
q2
q3
qn
E E1 E2 E3 En
=单位长柱面的电荷 （电荷线密度）=
2R E 2 0 r2
o
结论：无限长均匀带电圆柱面 在其外任一点的场强，和全部 电荷都集中在带电柱面的轴线 上的无限长均匀带电直线产生 的场强一样。
例6 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
y
P

en
o
M
s Φe左 E dS ES 左 cos π ES 左 s左 Φe右 E dS ES 右 cos ES 左 s右 Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
Φe前 Φe后 Φe下
Φe右 Φe下
6-3 电场强度通量 高斯定理
6-3 电场强度通量 高斯定理 一、电场线 电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定：电场线上的任一点的切线方向为该点 电场强度的方向 电场线描述电场的方法
方向： 曲线上一点的切线方向和 该点的场强方向一致。
B
A
E
C
大小：电场线的疏密反映电场的强弱。
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
q
q dS＇ 2 4π 0 r
其中立体角
r
dS＇ dΩ 2 r dS＇ Φ q dΩ q e 4 π 0 0 dS
3、点电荷在闭合曲面外
E
dS 2
dΦ E1 dS1 0 1 dΦ2 E2 dS2 0
dΦ dΦ2 0 1
E dS
r1
h
2 πr1hE
E0
1
0
q 0
S内
o
结论：无限长均匀带电圆 筒内任一点场强=0
（2） r
1 E dS
R
o
'
s2
0
1
q
S 2内
R
wenku.baidu.com
E 2 r2 h
0
2 Rh
∴ E 2 0 r2
r2
h
2R 2R 1
库仑定律

S
E dS ?
高斯 定理
电场强度叠加原理 1、点电荷位于球面中心
d S en
E
q
4 π 0 R
2
E
R
+
dS
en
Φe E dS S qR 4 3 dSen s 0R
qR Φe 4 3 dS en s 0R q S 4 π 0 R2 dS