三向应力状态简介-PPT

能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比 能时，材料即会发生屈服。
• 屈服破坏条件是： uf uu
u f 1 6 E (1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2 37
• 简单拉伸时： 1 s, 2 3 0
uu 16E2s2
• 屈服破坏条件是：
2 1(12)2 (23)2 (31)2 s
单 位 体 积 的 体 积 改 变 为 :
V1 V0
V0
123
3 a
b 1 c
也 称 为 体 积 应 变 。
CL10T2U0 30
1231E 2(123)
3(12)123 m
式 当 中 Km： 0 3.(5 1E 213时 1E2， EEE1113 )2 体 0 1323积 3弹 （（（性模213量 K231
变为 0，则外力偶ｍ＝？
m
m CL10T5U5 60
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上
(2) 1 ,2 0 ,3
1E 11(23) max
min
1
E
1
E
m
d3
0
16
m d 3E 0
16(1 )
56
例：钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测 得圆筒表面任一点的εx＝1.5×10－4。已知 E=200GPa，μ＝0.25，［σ］＝160MPa，按第 三强度理论校核圆筒的强度。
） ） ）
21
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
P
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
CL10TU40
22
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
23
变形比能：
u21112122 2133
28
1.最大拉应力理论（第一强度理论）
• 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 []
29
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
1
3
2
3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
角的平面上，以τ1，3表示
CL10T1U0 31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10T1U1 32
解：
1 330 220 30 220 2402 5 4 2 2 .2 .2M M P a
25500M M PPaa
1引 起 的 应 变 为 1
1
E
2
2 、 3 引 起 的 应 变 为
1
2
E
1
3
E
1 3
当 三 个 主 应 力 同 时 作 用 时 ：
1E 11（ 23）
CL10T1U7 30
广义胡克定律：
1
1 E
1 （ 2 3）
2
1 E
2
（
3
）
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 E
3 （ 1 2）
2
3
3
1
1 1
3 2
3
2
2
3
2
1
3
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3
1
1
3 2
4
3
2
1
5
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2
3
1
1
3 2
6
3
(1 2 )2
(2
3)2
(3
1)2
40
• 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材 料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二 强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应 采用第三、第四强度理论。
• 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如： 低温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静 载荷作用下保持塑性。
30
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应变状态如何， 只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉 伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu • 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
1 E 11 （ 23 ） , uE u 31 E b
y x
CL10T5U7 61
解：y 2x
xE 1(xy)1.5104
由上两式可求得 x 6 0 M P a , y 1 2 0 M P a
故 1 1 2 0 M P a , 2 6 0 M P a , 3 0
r 3 1 3 1 2 0 M P a < [] y
故满足强度条件。
2
1
7
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
3
2
1
8
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
3
2
1
9
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
1
max
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
1 (2 3 ) b
[ ] b
n
• 第二强度条件： 1(23 ) []
32
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如 端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
CL10T3U3 50
二、关于屈服的强度理论
截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
49
例：填空题。 一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa
作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
50
例：填空题。
三向应力状态中，若三个主应力都等于σ，材
料的弹性模量和泊松比分别为E和 μ ，则三个 主
例：填空题。 危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，
应选用 第一 强度理论进行计算，因为此时 材料的破坏形式为 脆性断裂 。
53
例：选择题。
纯剪切应力状态下，各向同性材料单元 体的体积改变有四种答案：
（A）变大
（B）变小
（C）不变
（D）不确定
123 m
K
54
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E， 泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但 只有一枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应
• 1.最大剪应力理论（第三强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸 屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑 性变形或屈服。
• 屈服破坏条件是：
max s
34
m ax1 23
,
s
s
2
• 用应力表示的屈服破坏条件：13 s
[ ] s
u E = uv 3+
uK f CL10T2U5 41
u 2 1 E1 2 2 2 3 2 2 (12 23 31 )
uv
3(12)
2E
2m
1 6E 2(123)2
uf uuv
1 6 2E ( 1 1 2 ) 2 m(2 m 3 ) 2 (3 1 1 ) 2 m
3
m
3 m
n
• 第三强度条件： 1 3[ ] 35
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结 果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多 数情况下远比此为小。
36
2.形状改变比能理论(第四强度理论) • 它假定，复杂应力状态下材料的形状改变比
2 1 E 1 2 1 E12 2 13 2 2 （(1 2 2 3 ）23 31 )
2
1 E
2 （ 3 1）
3
1 E
3 （ 1 2）
24
2 1
m m
2 m
1 m
3
m
3 m
m
1
2
3
3
变 形3 比(1 能=2 体)积 改1 变 比能2+ 形状3改变比m 能
1 , 2 0 , 3
第三强度理论的强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
由此得： [ ]
2
剪切强度条件为： []
按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
2
46
第四强度理论的强度条件为：
2 1(12 )2 (23 )2 (31 )23 []
由此得： [ ]
其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
44
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] [ ]
45
解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为
m ax1 2347.2M Pa
12
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
解： 1 5 0 M P a
2 50M Pa
3 50M Pa
max
1 3 2
50M Pa
CL10T1U3 33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10T1U4 34
x
58
作业（P182-187）
26
§10-7 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
流动破坏 材料破坏的形式主要有两类：
断裂破坏
27
§10-8 常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 一、关于脆断的强度理论
18
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10T1U9 30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
解：
2 1 1 12 20 02 2 4 40 0 1 2 0 2 4 0 23 021 3 3 0 0M M P a 3 3 30 0M MP Pa a
m ax1 2380M Pa
15
§10-5 广义胡克定律
纵向应变：
E
横向应变：
E
CL10T1U6 35
下 面 计 算 沿 1 方 向 的 应 变 ：
3
剪切强度条件为： []
按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
3
47
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
48
例：填空题。 石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵
• 第四强度条件：
1(
2
12)2 (
23)2 (
31)2
[]
38
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符， 用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确 的。
39
四个强度理论的强度条件可写成统一形式：
r []
r 称为相当应力
r1 1 r2 1 (2 3) r3 1 3
r4
1 2
§10-4 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应CL力10T:U1 30
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
41
无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断
裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情况下，都可以
引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度 理论。
42
§10-9 莫尔强度理论
1[[ct ]]3 [t ]
rM1[[ct]]433
例：填空题。 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，
应变为
。
1
1 E
1
（
2
）
3
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2） 51
例：填空题。
第三强度理论和第四强度理论的相当应 力分别为σr3及σr4，对于纯剪应力状态，恒有 σr3／σr4＝＿＿＿。
1 , 2 0 , 3
r 3 1 3 ( ) 2
r 42 1(1 2 )2 (23 )2 (31 )2 52 3