(完整版)三角恒等变换知识点归纳

第三章 三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；

()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．

()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．

sin 22sin cos ααα=2

22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2

222cos 2cos

sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-升幂公式⇒2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=

21cos 2sin 2

α

α-=26、 ．

22tan tan 21tan α

αα

=-27、

（后两个不用判断符号，更加好用）

⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

⇒形式。，其

B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =

A

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，

αα2tan 2cos ==2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan

2

sin :

2

2

2α

α

αααα万能公式+-=+=

灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角

与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是

的二倍；

是

的二倍；

α2αα4α2α2

α

2

α

4

α

②；问：

；

2304560304515o o

o

o

o

o

=-=-==12

sin π

=12

cos

π

；③；④

；

ββαα-+=)()4

(

2

4

απ

π

απ

--=

+⑤；等等

)4

(

)4

(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余

弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例

如常数“1”的代换变形有：

o

o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处

理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，

有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： αcos 1+； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：

； ；

_______________tan 1tan 1=-+αα______________tan 1tan 1=+-αα

；；____________tan tan =+βα___________tan tan 1=-βα；；

____________tan tan =-βα___________tan tan 1=+βα

；

；

=αtan 2=-α2tan 1

；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan =

；

=+ααcos sin

=

=+ααcos sin b a ；（其中

；）

=ϕtan

；

；

=+αcos 1=-αcos 1（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：

；=+)10tan 31(50sin o o

。

=-ααcot tan

基础练习

一 选择题

1．已知且为锐角，则的值是（ ）

sin αβ==,αβαβ+Ａ.

Ｂ.

Ｃ. Ｄ.4π

3

4π74π2

π

2．设则的范围是（ ）

,22

ππ

αβ-<<<αβ-A ． B. C. D 、(),0π-(),ππ-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭

3．（ ）

22cos 75cos 15cos 75cos15++= A 、 C. D.32541+

4.若，若（ ）

0,

2πα⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭3sin 5α=4πα⎛⎫+= ⎪⎝

⎭A. B. C. D.751575-1

5

-5.设，则的值是（ ）

2

2

sin sin x y m -=()()sin sin x y x y +-A. B. C.

D.m m -2m 2m

-6.在中，已知则的值是（ ）

ABC ∆53

cos ,sin ,135

A B ==cos C A. B. C.或 D.15655665166556651665

-7.已知则的值等于（ ）()()43

cos ,cos ,55

αβαβ+=

-=tan tan αβ∙A. B. C. D.171

7

-77-8.使函数为奇函数，且在区间上为减函数的

()

(

)

(

)

sin 22f x x x ϕϕ=+++0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

的一个值为（ ）

ϕＡ. Ｂ. Ｃ Ｄ

3π53π23π43

π9.已知是第三象限角，且满足，那么的值等于（ ）

θ445

sin cos 9

θθ+=sin 2θ Ｃ Ｄ232

3

-10.已知则等于（ ）

4,0,cos ,25x x π⎛⎫

∈-

= ⎪⎝⎭

tan 2x