倒格子
倒格子的量纲与长度单位
倒格子的量纲与长度单位
倒格子是一种用于描述晶格结构的坐标系统。
它是通过将晶格中的点转换为倒空间中的向量来定义的。
倒格子的量纲与长度单位取决于晶体的结构和晶格常数。
在立方晶系中，倒格子常数的单位为倒安培（A^-1）或倒纳米
（nm^-1）。
在其他晶系中，倒格子常数的单位可能会有所不同。
长度单位用于量化倒格子中向量的大小。
通常使用的单位包括：
1. 倒安培（A^-1）：它是倒格子常数的标准单位，也可以用
于描述倒格子向量的大小。
2. 倒纳米（nm^-1）：与倒安培类似，用于描述倒格子向量的
大小，特别适用于纳米尺度的晶体结构。
3. 倒摄氏度（1/C）：在X射线衍射实验中，倒摄氏度常用于
表示倒格子向量的大小。
它是由单位晶胞长度和散射角度的正弦值之比计算得出的。
总而言之，倒格子的量纲与长度单位取决于晶体结构和晶格常数，在不同的情况下可能会有所不同。
常用的单位包括倒安培、倒纳米和倒摄氏度。
倒格子空间
A1
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
2
n是整数。
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2 n : 3 2 1 0 - 1;
cos : 1 0.5 0 - 0.5 - 1
:0
2
323
2 2 2 2 2 即
a1
a2
可得：1
d3
a1 a2
因b3由 为bb323和daa311 aa222的，可方b得2向： 一2致b3，a3所2d以a31可，以2b写1 a成12矢 量aa22形式a3：。
(5)倒格子的物理意义
①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。
②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位
为米-1，表示状态空间。
期矢量)。晶体也只能有1，2，3，4，
A2
6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体 A1
2
绕轴转90°后，再沿该轴平移a/4，能 A
自身重合。
1
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象
操作以后,再沿平行于 A2
A2
该面的某个方向平移
T/n的距离(T是该方向 A1
A1
上的周期矢量，n为2
或4)，晶体中的原子 A
1 643 2
2 n 1，2，3，4，6。分别称为1，2，3，4，6次(度)转轴。
n
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。
但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义——晶体绕某一固定轴u旋转角度2π/n以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 n只能取1，2，3，4，6。
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义
倒格子点阵是固体物理学中的一个重要概念，用于描述晶体中离子、原子或分子的排列方式。
它表示了晶体中离子在晶格中的周期性排列。
倒格子点阵在物理意义上具有以下重要特征：
1.倒格子与晶体结构的相互关系：倒格子是晶体格矢的补格。
晶体格矢是描述晶体结构的向量，而倒格子则是晶格矢的傅里叶变换。
倒格子点阵的形状和大小与晶体结构紧密相关。
2.表征晶体的动量空间：倒格子点阵的形成使得晶体在动量空间中的结构得以描述。
晶体具有动量离散化的性质，电子、声子等载流子在动量空间中的行为可以通过倒格子点阵的形态和性质来理解和
分析。
3.描述布里渊区和能带结构：倒格子点阵的布里渊区（Brillouin Zone）是动量空间中与晶格有关的基本单元。
布里渊区的形状和大小直接决定了电子能带结构、光学性质和输运特性等重要物理现象。
4.反映物质衍射性质：倒格子点阵的概念是描述晶体衍射的基础。
实验中利用晶体的衍射现象可以确定物质的结构和性质，倒格子点阵提供了理论上的基础框架。
倒格子点阵在固体物理学中具有重要的物理意义，它是描述晶体结构和性质的关键概念，并与动量空间、能带结构、衍射性质等密切相关。
通过倒格子点阵的分析，可以深入理解晶体的属性和行为，为研究材料科学和固体物理学提供了有力的工具和理论基础。
倒格子
1
Vh1, h2 , h3
r a1
r a2
r a3
dxve
v iGh1h2h3
xvV
(
xv)
—— 积分在一个原胞中进行
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小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方 互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所 定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成， 且两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对一唯于 的 一给 ， 的定 相 ，的 应 但正 的 对格倒应子格的，子倒基基格矢矢子却a1 ,是ba12,唯,ba2 3,一的b的3 确选选定择择的也是；是不不唯
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
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3
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
0(i
j)
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
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4
为何要引入“倒格子”概念？
cos2 a1,n cos2 a2 ,n cos2 a3 ,n 1
d 2
a2 h2
1
a2 h2
1
a2 h2
1
1
d h1h2h3
a h12 h22 h32
30
ABC在基矢
a1 , a2 ,上a的3 截距分别为
a1 h1
, a2 h2
,
a3 h3，
由平面方程 X n d得：
a
1
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
倒格子名词解释
倒格子名词解释
倒格子名词，又称反义词，是一种常见的文体特色，普遍存在于传统的成语、谚语以及古诗文中，比如“弦外之音”“兵来将挡水来土掩”等等，这些描述出来的画面对人们脑海中可以形成一种强大而生动的记忆力。
今天，我们来深入了解一下倒格子名词的用法和特点。
首先，倒格子名词是以一种反义、转折的方式描述一件事物的。
它的用法比较灵活，通过对比相反的两个含义，可以更充分地表达出事物的内涵，使文章表达出更加精炼而富有感染力。
比如说，传统文化中，“弦外之音”一语，有一种“外表空虚，内心满足”的意境，用了这样一句话就可以表达出这种高雅、虚心的品质，从而使文章更加精彩生动，令人难忘。
此外，倒格子名词常常可以使文章具有一种艺术感。
它可以提供一些有趣而新颖的表述方式，使文章变得活泼而有层次感。
比如，“山河入梦来”这句话，不仅仅可以表达出不可思议的奇特，而且也可以发挥出艺术家独有的创作灵感，让文章变得更加绚烂多彩。
再次，倒格子名词还可以展示一个人的象征性思想。
它可以将一个人的思想或哲学概念用更加隽永的文字表述出来，从而使文章具有更高的深度与情感释放的能量。
比如，“分离而后能聚焉”可以将自然规律“分而治之”的哲学思想表达得淋漓尽致，使文章具有更多的意境与内涵。
总的来说，倒格子名词是一种古老而细腻的文体，它可以把人们熟悉的文字用更加灵活而凝练的方式表述出来，运用它可以增加文章
的魅力与寓意，也可以使文章拥有更多的魅力与情感，同时也是一种优秀的文学技巧，能够大大提升文章写作的愉悦性和价值感。
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
倒格子与布里渊区
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
倒格子名词解释
倒格子名词解释倒格子名词（Upside-downNouns）是一种由两个或多个名词组成，由倒置拼写或倒置搭配构成的新式字母技术，让读者可以探索不同思维，表达全新观点。
近年来，倒格子名词在不同领域被广泛使用，以及日趋流行，如创意词汇、品牌定位、文化选择、媒体策略等，它甚至引发一种新的语言文化。
在现代世界中，倒格子名词具有深刻的含义，带来一种超越日常思维限制的独特思维方式，也是一种创新方法，能够把现有的概念搞混，从全新的角度解构和重新审视原有的观念。
比如，有“话语病”（Wordly Sick），“科技文化”（CulturTech），“精神容器”（Spiritual Container），“劳动人类”（Labor Humans）等。
有关倒格子名词的研究表明，它能够激发人们的创造力、增强对新事物的认知，拓展人们的思维，洞察抽象的概念，有效激发和创新行业研究、社会发展等方面的观点。
例如，当涉及到品牌定位和文化选择时，倒格子名词有助于企业突出自身独特性，与众不同，构建与众不同的品牌文化，激发新颖的策略和观念。
企业一旦拥有独特的倒格子名词，就可以为部门构建良好的组织文化，加强整体实力，让每位员工都能受益。
此外，倒格子名词也可以在市场营销和媒体宣传中发挥作用，从技术和文化的角度让观众更加深刻地感受和理解其中的意义，将消息传达更加有效。
总的来说，倒格子名词的出现给每一个领域都带来了一种新的思维方式，以及新的思考方式，从而让我们更加深入地解析和表达一个话题，探索全新的观点。
它为每一个人提供了一种独特的思考角度，能够有效解构现有的概念，从完全不同的角度重新审视一个事物，能够更有效地提升思维的创新性，以及对新事物的认知。
在当今社会，倒格子名词日益流行，它不仅可以激发创新思考，还可以帮助品牌树立自身的独特性，更有效地传播企业的信息，推出独特的文化定位，从而增强企业的竞争力。
总之，倒格子名词是一种有效的思维方法，为新时代带来了一种全新的思维解构方式，可以拓展人们的思维范围，带来更多的可能性，引发新的思想火花。
面心立方的倒格子是体心立方证明
面心立方的倒格子是体心立方证明一、什么是面心立方的倒格子？面心立方是一种晶体结构，其原子或离子均匀分布在立方体的每个面的中心处。
在晶体学中，倒格子是指晶体结构中原子或分子所占据的位置的一种描述方法。
面心立方的倒格子可以理解为原晶体结构中的间隙，如同原晶体中的原子或分子一样，倒格子也具有一定的规律性和周期性。
二、体心立方证明要证明面心立方的倒格子是体心立方，首先要了解倒格子的定义和特点。
倒格子的基本特点是，其间隔和原子或分子的位置相对应，即处于原格子空间的原子或分子在倒格子中的位置应当相互对应，间隔也应当相等。
在面心立方的倒格子中，我们可以观察到倒格子的基本单位是立方体。
与原晶体结构中的原子或分子所占据的位置相对应，立方体的顶点处正好对应原晶体结构中的原子或分子的位置。
而立方体的中心，恰好处于原晶体中原子或分子的间隙处。
可以得出面心立方的倒格子实际上是体心立方的结论。
三、我的观点和理解在晶体学中，面心立方的倒格子是体心立方的证明，实际上揭示了晶体结构中的一种对称性和规律性。
通过对倒格子的分析和理解，我们不仅可以深入探讨晶体的结构特点，还可以进一步研究晶体的物理和化学性质，为材料科学和工程学等领域的发展提供理论基础和实践指导。
总结回顾通过本文的探讨，我们深入理解了面心立方的倒格子是体心立方的证明。
我们从倒格子的定义和特点出发，结合面心立方结构的特点，得出了面心立方的倒格子实际上是体心立方的结论。
这种从简到繁的分析方法，有助于我们全面、深刻地理解晶体结构中的对称性和规律性。
对晶体结构的研究也为材料科学和工程学等领域的发展提供了重要的理论支撑。
在未来的研究和实践中，希望我们可以进一步探讨晶体结构的特点，拓展其在材料科学和工程学中的应用。
通过本文的深入探讨，相信读者对面心立方的倒格子是体心立方的证明有了更加全面、深刻和灵活的理解。
希望本文能够为相关领域的研究和实践提供一定的参考价值。
晶体结构在材料科学和工程学中起着至关重要的作用。
-倒格子
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
v*
b1 (b2 b3 )
(2 )3
v
2 3
a1 (a2 a3 )
证明提示：将 b1,b2,b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
同理得：
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
Ω
a
b3 2π a1 a2 2π k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
b3 2π k a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
G n1b1 n2 b2 n3b3
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
倒格子的引入及其在晶体结构研究中的作用
倒格子的引入及其在晶体结构研究中的作用引言：晶体结构研究在材料科学与固态物理学领域具有重要的地位。
为了研究晶体的结构和性质，科学家们采用了许多不同的方法和技术。
其中一种关键性的方法是倒格子的引入。
本文将介绍倒格子的概念以及它在晶体结构研究中的作用。
倒格子的引入：在讨论倒格子之前，我们先来了解一下晶格。
晶格是指晶体中原子、离子或分子排列的三维周期性结构。
通常，我们使用一个空间点阵来描述晶格结构。
该点阵由等间距的点构成，这些点表示晶体中的特定位置。
倒格子是倒序构建于晶体点阵之上的空间点阵。
它通过将每个晶体点阵的点，如原子、离子或分子，与平行晶面上的插入点相联系，来揭示晶体结构中的空间周期性。
换句话说，倒格子的点描述了在晶体中有多少从原点出发的向量能够到达某一点。
倒格子的作用：1. 表示物理量：倒格子在晶体结构研究中可以表示物理量的离散分布。
例如，在电子衍射实验中，对于晶体，电子波的强度会随着散射角度的变化而变化。
在倒格子中，这个信息可以表示为不同点上的电子强度。
2. 分析散射模式：倒格子将每个晶体点都具有一个矢量与之关联。
这样，我们可以将倒格子的矢量与散射模式的波矢量进行比较。
通过这种对比，我们可以确定散射模式中的哪些分量代表特定的晶体点阵。
3. 确定晶胞参数：通过倒格子，我们可以确定晶胞的尺寸和角度。
倒格子的矢量长度与晶体的实空间中的晶胞参数有直接的关系。
因此，通过测量倒格子的矢量长度，我们可以获得晶胞参数的信息。
4. 研究晶体缺陷：倒格子在研究晶体缺陷方面起着重要的角色。
晶体缺陷会导致倒格子的对称性改变。
通过研究倒格子的变化，我们可以确定晶体中的缺陷类型和数量。
5. 极化研究：倒格子可以用于研究晶体的极化性质。
倒格子的空间点表示了相位信息，而这些信息可以提供关于极化的重要提示。
利用倒格子的极化信息，我们可以更好地理解晶体的电子行为。
总结：倒格子是晶体结构研究中的重要工具。
通过引入倒格子，我们可以更全面地理解晶体的结构、性质和缺陷。
1.7 倒格子
(
)
=0
2.
为整数) Rl ⋅ Kh = 2πµ (µ为整数)
分别为正格点位矢和倒格点位矢。 其中 Rl和Kh分别为正格点位矢和倒格点位矢。
Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3
Kh = h1b1 + h2 b2 + h3b3
Rl ⋅ Kh = (l1a1 + l2 a2 + l3 a3 ) ⋅ (h1b1 + h2 b2 + h3b3 )
Γ
L
X
十二面体 （正格子：体心； 正格子：体心； 倒格子：面心） 倒格子：面心）
晶体结构
正格子
倒格子 1.
1. Rn = n1a1 + n2 a2 + n3 a3
2.与晶体中原子位置 与晶体中原子位置 相对应； 相对应； 3.是真实空间中点的周 是真实空间中点的周 期性排列； 期性排列； 4.线度量纲为 长度 线度量纲为[长度 线度量纲为 长度]
Kh = h1b1 + h2 b2 + h3b3
= 2 π(l1h1 + l2 h2 + l3 h3 )
= 2 πµ
3.
*
(2π)3 * =
分别为正、倒格子原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格子原胞体积 其中
= b1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2
(
)
( (
) )
a
K h1h2 h3 =
K h1 h2 h3 =
2π h1 b 1 + h2 b 2 + h3 b 3 = h1 i + h2 j + h3 k a
第4讲倒格子
第四讲：倒格子倒格子由于晶格具有周期性，晶格中x 点和x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3点的情况完全相同，它们表示两个原胞中相对应的点。
如V (x )表示x 点某一个物理量，例如静电势能，电子云密度等，则有V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−4)V (x )是以a 1, a 2, a 3为周期的三维周期函数。
引入倒格子以后，可以方便地把上述三维周期函数展开成傅立叶级数。
根据基矢定义三个新的矢量[][][]231312123222πππ ×=Ω×=Ω×=Ωa ab a a b a a b (1−5) 称为倒格子基矢量。
正如以a 1, a 2, a 3为基矢可以构成布拉伐格子一样，以b 1, b 2, b 3为基矢也可以构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置为123,,112233= n n n n n n ++G b b b ,其中n 1, n 2, n 3为一组整数。
称123,,n n n G 为倒格子矢量。
倒格子基矢的基本性质由倒格子基矢的定义(1-5)式很容易验证有下列基本性质()()() 2 2 ,1,2,3 0 i j i ji =j i j i j ππδ ⋅=== ≠a b (1−6) 也有人把(1−6)式作为倒格子基矢的定义。
倒格子具有[长度]−1的量纲，与波矢具有相同的量纲。
例题4.1计算二维正方的倒格子基矢。
解答1：设a 3为垂直于二维平面的第三个方向的单位矢量，则二维正方格子的原胞基矢加上a 3为123a a == = a ia j a k 设倒格子基矢为： ()()()111121322122233313233,,,,,,b b b b b b b b b == = b b b 应用[][][]231312123222πππ ×=Ω× = Ω×= Ωa ab a a b a a b 解得()()()1232,0,02,0,00,0,2 a a πππ== = b b b 即()()122,00,2a a ππ = = b b 解答2：二维正方格子的原胞和倒格子原胞基矢为 ()()12,00,a a a a ==== a i a j ()()1111222122,,b b b b == b b 应用()() 2 20 i j i j i =j i j ππδ ⋅== ≠a b解得()()122,00,2a a ππ == b b 周期性物理量的傅立叶级数若把晶格中的任意一点x 用矢量表示112233ξξξ=++x a a a (1−7)则一个具有晶格周期性的函数V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−8) 可以看成是以ξ1, ξ2, ξ3为宗量，周期为1的周期函数，因此可以写成傅立叶级数()()1122331231232123,,,,,,i h h h h h h h h h V V eπξξξξξξ=∑+ + (1−9)h 1, h 2, h 3为整数。
§1.5倒格子
C
a3
Kh
a2 h2
O
B
a2
a1 h 1
a2 a3 CB = OB − OC = − h2 h3
A
a1
8
a1 a3 Kh ⋅ CA = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 1 h b1 ⋅ a1 h3b3 ⋅ a3 = 1 − =0 h h3 1 a2 a3 Kh ⋅ CB = (h b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ − 1 h h 3 2 h2b2 ⋅ a2 h3b3 ⋅ a3 = − =0 h2 h3
1 b＝ Ωa1 = a1 Ω
∗ 1
11
3
(2π ) (a a ) a (2π ) = 2 × 3 ⋅Ω 1 = 3
3
3
Ω
Ω 3 ∗ Ω Ω = (2π )
7
2.倒格矢 Kh垂直于晶面族 1h2h3) 倒格矢 垂直于晶面族(h 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
a1 a3 CA = OA − OC = − h h3 1
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
2π ai ⋅ bi = 2πδij = 0
i= j i≠ j
Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
6
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系 正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
Hale Waihona Puke ( Ω Ω＝2π )∗
倒格子基矢计算过程
倒格子基矢计算过程
那咱就开始算倒格子基矢吧。
首先呢，咱得知道正格子的基矢，假设正格子的基矢是→a_1、→a_2、→a_3。
那倒格子基矢→b_1、→b_2、→b_3的计算啊，就用到一个小公式。
这个公式呢，是根据正倒格子之间的关系来的。
对于→b_1，它等于2πfrac{→a_2×→a_3}{→a_1·(→a_2×→a_3)}。
咱来仔细看看这个式子啊。
先算分子→a_2×→a_3，这就是一个向量叉乘的操作。
就好比你有两根小棍儿→a_2和→a_3，把它们像拧麻花一样拧一下，就得到一个新的向量啦。
然后呢，再把这个新向量乘以2π。
分母呢，→a_1·(→a_2×→a_3)这是一个向量点乘的操作，就像是两个向量在互相“拥抱”，得到一个数。
最后分子除以分母，就得到了→b_1。
接着算→b_2，→b_2 = 2πfrac{→a_3×→a_1}{→a_1·(→a_2×→a_3)}。
这个计算过程和→b_1有点类似哦。
先把→a_3和→a_1拧成一个新向量，乘以2π，再除以那个熟悉的分母。
最后算→b_3，→b_3=2πfrac{→a_1×→a_2}{→a_1·(→a_2×→a_3)}。
同样的套路，先叉乘，再乘以2π，最后除以分母。
这么一步一步算下来，就把倒格子基矢都求出来啦。
是不是还挺有趣的呢？就像是在玩向量的小魔术一样。
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e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不 唯一的，相应的倒格子基矢 的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的； 同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶 格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒
格子是由基矢 a1 , a 2 , a3 所规定的正格子经过一定 转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几
小结
晶体的显微图象 晶体的衍射图象
晶体点阵(正格子)的格点
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
晶体点阵(正格子)的格点
对应晶体中的一族晶面
位于位置空间或坐标 空间内的,其线度的量 纲为[长度] 在与真实空间相联系 的倒易空间或傅里叶 空间内的
倒格子中的格点
G CA G 面ABC G CB
a3
G
a2
C
a3/h3
B O
a2/h2 a1/h1
A
a1
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1 a1 l 2 a2 l3 a3
倒格子位矢： G n n1 b1 n2 b2 n3 b3 二者的关系： G n R l 2m
(m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] v a1
( 2 )3 v
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢
数为（h1h2h3)的晶面族正交。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 与正称为k空间
倒格子空间与描述微观粒子运动状态的波矢k具有 同样的量纲。
本节习题： （P578）
1.3、1.4、1.5。
x l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
傅里叶变换
V ( x)
晶格的周期性
V ( x l1 a1 l 2 a2 l3 a3 )
i G x VG e G iG ( x l1a1 l 2a2 l3a3 )
V e
G G
显然有：
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
2 ( 2 ) v b1 ( b2 b3 ) v a1 (a 2 a3 )
3 3 *
证明提示：将 b1 , b2 , b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] ([a 3 a1 ] [a1 a2 ])
依据： ( B C ) ( A C ) B ( A B )C A 有[a 3 a1 ] [a1 a 2 ] {[a 3 a1 ] a2 }a1 {[a 3 a1 ] a1 }a2 v a1 所以v
即 G h1 b1 h2 b2 h3 b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
a3
G
a2
C
a3/h3
a1 a 2 a 3 , , h1 h2 h3
B
a2/h2
O
a1/h1
A
a1
G 垂直
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和 CB ，即能证明 于面ABC。
简单证明如下：
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 a1 a3 CA h1 h3 a2 a3 CB h2 h3
2 d Gh
a3
Gh
a2
a3/h3
C B
a2/h2
d O
a1/h1
A
a1
a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
其中 v＝a1 (a 2 a 3 )
为正格子原胞体积
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间 基矢
a1 , a 2 , a3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的 规律恰是傅里叶变换。
研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶面
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
晶向指数
密勒指数
“倒格子”
1、倒格子定义
定义： 基矢 a1 , a 2 , a 3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 基矢 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
a1 a3 G CA (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) ( ) b1 a1 b3 a3 0 h1 h3 G CA (h b h b h b ) ( a2 a3 ) b a b a 0 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 h2 h3