倒格子

e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不 唯一的，相应的倒格子基矢 的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的； 同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶 格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒
格子是由基矢 a1 , a 2 , a3 所规定的正格子经过一定 转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几
小结
晶体的显微图象 晶体的衍射图象
晶体点阵(正格子)的格点
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
晶体点阵(正格子)的格点
对应晶体中的一族晶面
位于位置空间或坐标 空间内的,其线度的量 纲为[长度] 在与真实空间相联系 的倒易空间或傅里叶 空间内的
倒格子中的格点
G CA G 面ABC G CB
a3
G
a2
C
a3/h3
B O
a2/h2 a1/h1
A
a1
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1 a1 l 2 a2 l3 a3
倒格子位矢： G n n1 b1 n2 b2 n3 b3 二者的关系： G n R l 2m
(m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] v a1
( 2 )3 v
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢
数为（h1h2h3)的晶面族正交。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 与正称为k空间
倒格子空间与描述微观粒子运动状态的波矢k具有 同样的量纲。
本节习题： （P578）
1.3、1.4、1.5。
x l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
傅里叶变换
V ( x)
晶格的周期性
V ( x l1 a1 l 2 a2 l3 a3 )
i G x VG e G iG ( x l1a1 l 2a2 l3a3 )
V e
G G
显然有：
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
2 ( 2 ) v b1 ( b2 b3 ) v a1 (a 2 a3 )
3 3 *
证明提示：将 b1 , b2 , b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] ([a 3 a1 ] [a1 a2 ])
依据： ( B C ) ( A C ) B ( A B )C A 有[a 3 a1 ] [a1 a 2 ] {[a 3 a1 ] a2 }a1 {[a 3 a1 ] a1 }a2 v a1 所以v
即 G h1 b1 h2 b2 h3 b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
a3
G
a2
C
a3/h3
a1 a 2 a 3 , , h1 h2 h3
B
a2/h2
O
a1/h1
A
a1
G 垂直
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和 CB ，即能证明 于面ABC。
简单证明如下：
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 a1 a3 CA h1 h3 a2 a3 CB h2 h3
2 d Gh
a3
Gh
a2
a3/h3
C B
a2/h2
d O

a1/h1
A
a1
a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
其中 v＝a1 (a 2 a 3 )
为正格子原胞体积
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间 基矢
a1 , a 2 , a3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的 规律恰是傅里叶变换。
研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶面
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
晶向指数
密勒指数
“倒格子”
1、倒格子定义
定义： 基矢 a1 , a 2 , a 3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 基矢 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
a1 a3 G CA (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) ( ) b1 a1 b3 a3 0 h1 h3 G CA (h b h b h b ) ( a2 a3 ) b a b a 0 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 h2 h3