第五章 离散偏微分方程
偏微分方程的数值离散方法
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
13
3.1.6 偏微分方程的全离散方法
• 对差分格式的一般要求：
– 有精度、格式稳定、求解效率高
• 特殊要求
– 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍 流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 (正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度 等)
• 主要指非定常方程的时间离散
14
3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）
j
2
~ f 满足相容性条件: ~ f (u, u , u ) f (u )
2
11
3.1.5 守恒型差分格式（续）
• 守恒性质：
守恒型差分格式对 j求和 :
j J jJ jJ
u u
x J 1 / 2 jJ
n 1 j
x
j J
u x f
n j jJ 0 j
16
3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Lax-Wendroff 格式
一步LW格式
u u c 0 t x u 2 t 其中 c x
n 1 i
u
n i
(u
n i 1
u )
n i 1
2
2
(uin1 2uin uin1 ),
O(t 2 , x 2 )
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
偏微分方程与数学物理中的基本概念
电磁感应和电磁波
03、
应用广泛的电磁学理论
光学和电磁场的关系
电磁辐射和传播
04、
总结
偏微分方程在数学物理领域扮演着重要角色，薛 定谔方程、热传导方程、纳维-斯托克斯方程和 麦克斯韦方程组分别在量子力学、热力学、流体 力学和电磁学中有着广泛的应用，深化了我们对 自然界规律的认识。
● 06
● 03
第3章 偏微分方程的数值解 法
有限差分法
有限差分法是常用的 偏微分方程数值解法， 通过将偏导数用差分 近似替代，将偏微分 方程转化为代数问题 来求解。这种方法在 数学物理中有广泛的 应用，尤其适用于一 些简单的方程模型。
有限元法
复杂边界条 件
适用于复杂的偏 微分方程模型
数值计算
通过数值方法求 解偏微分方程的
边界条件和初值 条件
边界条件和初值条件 是偏微分方程求解过 程中不可或缺的条件。 边界条件规定了解在 边界上的行为，初值 条件则决定了解在初 始时刻的状态。这两 个条件相互配合，可 以帮助我们准确求解 偏微分方程，揭示物 理系统的演化规律。
齐次与非齐次偏微分方程
齐次偏微分 方程
所有项都包含未 知函数及其偏导
感谢家人对我学习科研道路的理解和支持
02、 同学支持
感谢同学们在学习中的互帮互助
04、
总结与展望
通过学习偏微分方程与数学物理基本概念，相信 大家对现代科学技术的发展有了更深刻的认识。 希望大家在未来的学习和研究中能够运用所学知 识，探索新的领域，为科学事业的发展贡献力量。
感谢观看
THANKS
第6章 偏微分方程的数值模 拟与实验验证
数值模拟在偏微分方程中的应 用
数值模拟是验证偏微分方程解的有效方法。通过 计算机模拟实验验证理论预测，可以更直观地了 解偏微分方程解的特性，为理论研究提供重要支 持。
第五章离散偏微分方程
2013届毕业生外文文献翻译学院理学院专业数学与应用数学姓名孟文静学号201101210511指导教师张兆忠第五章 离散偏微分方程5.1 介绍有多种方法求得的偏微分方程的数值解，然而本质上这些都涉及到构建一些近似值或获得求解的方程组的近似值，得到近似的离散系统的解决方案。
这个过程通常有两个部分。
第一个涉及发展近似值的一个未知的函数，它的导数以及其他涉及使用或应用这些算法计算出所需的数值的数量。
虽然这过于简单化，但它提供了一个方便的研究技术的起点来求解偏微分方程。
离散偏微分方程的最直观直接的方法是代替部分采用有限差分近似的导数，从而构造一个泛函微分方程（FDE ）代替偏微分方程。
本质上偏微分方程的好处是被替换为一个泛函微分方程来产生一组代数方程组，原则上可以解决，以构建偏微分方程的一个近似解。
完成离散化后，构建一个合适的计算方法来解决泛函微分方程的任务，具有挑战性，的确可能影响导数如何先被离散化。
在开发一个解决偏微分方程的误差的数值方法时，需要一个数值解的质量评估。
例如，确定提出的方法是否收敛，即，是否在有限的邻域内，近似解可以尽可能接近的偏微分方程的精确解，这是开发新方法的过程的一个重要部分。
此外还有有效的计算方法和更多新的可平行性算法来检验和评估。
本章介绍了这些思路，专注于开发取代有限差异的导数的技术，还展示了在开发一个简单的数值方案的背景下如何构建的一些偏微分方程的近似解。
其他的内容将在后面章节介绍。
5.2 在实数域上构建有限差分近似对一个函数的导数f 的差分近似的建设可以直接找到多项式，使该多项式插值f 在指定的一列点上，0,...,n x x 。
考虑使用二次多项式()122012,p x a a x a x =++ ()5.1差值f 在点01,,x x 和2x ，即，使用局部坐标系，让10,i i x x h +==和22i x h +=，然后()20120i i i f x a a x a x a =++= ()5.2()22101121012i i i f x a a x a x a a h a h +++=++=++ ()5.3()()()22201222012=22i i i f x a a x a x a a h a h +++++=++ ()5.4 这个含三个未知数的三个方程可化为 ()()00i a f x f == ()5.5()()()()()()21143243022i i i f x f x f x f h f h f a h h++-+--+-== ()5.6 ()()()()()()21222222022i i i f x f x f x f h f h f a h h ++-+-+== ()5.7 解得,1,2,3i a i =，得到()f x 的差值多项式()5.1。
偏微分方程的数值离散方法
偏微分方程的数值离散方法一维抛物方程是一个常见的偏微分方程，可以用来描述热传导问题。
其一般形式为：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)其中，u是温度的函数，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
为了求解这个方程，我们可以使用显式差分法。
首先，在空间上进行离散化，将连续的空间坐标x划分成离散的节点。
然后，在时间上进行离散化，将连续的时间t划分成离散的时间步长。
通过将偏微分方程中的导数近似为差分，我们可以得到一个差分方程来逼近原方程。
在一维抛物方程中，使用中心差分法可以得到如下的差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=α(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的温度值，Δt和Δx分别是时间步长和空间步长。
然后，我们可以根据初始条件和边界条件来逐步更新节点的温度值，直到达到预定的时间。
另一个常见的偏微分方程是一维波动方程，可以用来描述波动的传播。
其一般形式为：∂²u/∂t²=ν²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，ν是波速。
对于这个方程，我们可以使用数值离散方法，如有限差分法来求解。
类似于抛物方程，我们首先在空间上和时间上进行离散化。
然后，我们根据差分逼近，得到如下的差分方程：(u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1})/Δt²=ν²(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的位移值。
通过使用适当的初始条件和边界条件，我们可以逐步更新节点的位移值，直到达到预定的时间。
尽管上述方法对于一维问题是有效的，但是对于更复杂的二维或三维问题，就需要使用更高阶的差分方法，如二维抛物方程和二维波动方程中的五点差分法或九点差分法。
此外，还有其他更高级的数值方法，如有限元法和谱方法，可以用于求解偏微分方程。
计算电磁学-第5章-时域有限差分法1
FDTD 方法提出之后，随着计算技术，特别是电子 计算机技术的发展， FDTD 方法得到了长足的发展 ，在电磁学，电子学，光学等领域都得到了广泛 的应用
4
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型
，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网 格离散节点的集合。
并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数 ，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应 的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的 待求函数值—离散解。
6
时域和频域的麦克斯韦方程
时域
H E t E H J , J E t E B 0
频域
E j H H J j E E B 0
x
+1
/2 ,k )
( x x, y, z ) (i 1, j, k )
y
Hx(i, j + 1 / 2,k + 1 / 2)
Hy (i +
( x, y , z ) (i, j, k )
x
Hz(i + 1 / 2, j + 1 / 2,k)
Hx(i,j+1/2,k+1/2) Hy(i+1/2,j,k+1/2) Hz(i+1/2,j+1/2,k)
12
离散取样
空间离散：假设在各方向上均匀离散，网 格步长 Δx, Δy, Δz ，用字符 i,j,k分别表示 x,y,z方向上的网格标示。这样连续的空间 (x,y,z)离散为用(i,j,k) 表示的离散空间点— —空间取样点。 ( x x, y y, z z )
高等数学偏微分方程教材
高等数学偏微分方程教材引言：高等数学偏微分方程教材是一本专注于讲解偏微分方程的教材。
它旨在帮助学生深入理解该领域的概念和技巧，培养他们的数学思维和解决实际问题的能力。
本教材的编写旨在提供清晰、系统和综合的课程内容，以满足学生对高等数学偏微分方程的学习需求。
第一章偏微分方程简介1.1 偏微分方程的概念与分类- 偏微分方程的定义与基本概念- 常见的偏微分方程分类及其特点1.2 偏微分方程的数学建模- 偏微分方程在自然科学和工程领域的应用- 建立数学模型与偏微分方程的联系第二章一阶偏微分方程2.1 一阶偏微分方程的基本概念与解法- 一阶线性偏微分方程的解法- 一阶齐次与非齐次偏微分方程的解法2.2 传热问题与一维热传导方程- 一维热传导方程的物理背景与模型建立- 定解条件与初值问题解法- 热传导问题的数值解法与应用第三章二阶线性偏微分方程3.1 二阶线性偏微分方程的基本理论- 二阶线性偏微分方程的一般形式与特征方程 - 常系数与变系数二阶线性偏微分方程的解法3.2 波动方程与振动问题- 波动方程的物理背景与模型建立- 结束条件与初值问题的解法- 波动问题的数值解法与应用第四章椭圆型偏微分方程4.1 椭圆型偏微分方程的基本理论- 椭圆型偏微分方程的定义与性质- 球坐标与柱坐标下的椭圆型偏微分方程4.2 热传导问题与二维热传导方程- 二维热传导方程的模型建立与解法- 边值问题与数值解法- 热传导问题的应用案例第五章抛物型偏微分方程5.1 抛物型偏微分方程的基本理论- 抛物型偏微分方程的定义与分析 - 热传导方程与时间相关问题5.2 扩散过程与扩散方程- 扩散方程的模型与解法- 边界条件与初始值问题的解法- 扩散问题的数值解法与应用第六章偏微分方程的数值解法6.1 偏微分方程的数值离散化- 偏微分方程的差分格式与有限元法 - 空间离散化与时间离散化的方法6.2 常见数值解法的实现与应用- 追赶法与矩阵分解法- 迭代法与收敛性分析- 各种数值方法的优缺点与应用领域结语：高等数学偏微分方程教材的编写旨在全面深入地介绍偏微分方程的理论与应用。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程是研究自然现象中具有变化性、互相联系的物理量之间的关系的数学工具。
例如流体力学、电磁学、量子力学等领域中，大量问题都可以用偏微分方程来描述。
因此，研究偏微分方程求解方法是数学领域中一个重要的研究方向。
偏微分方程的一般形式为$$F(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, ..., \frac{\partial^n u}{\partial x^n})=0$$其中，$x$是自变量，$u(x)$是未知函数，$\frac{\partialu}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, ..., \frac{\partial^n u}{\partial x^n}$是$u(x)$的各阶导数，$F$是给定的函数。
偏微分方程的求解方法主要有分离变量法、变量代换法、特征线法、有限差分法、有限元法等。
一、分离变量法分离变量法是偏微分方程最常用的求解方法之一。
分离变量法的基本思路是，假设$u(x)$可以表示为几个只与$x$有关的函数的积的形式，通过代入偏微分方程中，再根据对称性和正交性等特征来推导出每个函数的具体形式。
例如，考虑一维热传导方程$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u(x, t)$表示在位置$x$和时间$t$上的温度分布，$\alpha$为热传导系数。
假设$u(x, t)$可以表示为$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将$u(x,t)$代入热传导方程中，得到$$\frac{1}{\alpha}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
偏微分方程的基本概念和求解方法
偏微分方程的基本概念和求解方法偏微分方程是数学分析的一个分支，被广泛应用于物理、工程、计算机等领域中。
在现代科学和技术中，很多问题都可以用偏微分方程描述和解决。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程。
偏微分方程通常以自变量和各个偏导数的函数形式表示。
偏微分方程的解是满足方程的函数。
偏微分方程的解和初始条件有关。
初始条件是指方程的解在某一时刻的取值。
常见的一维偏微分方程有：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度、振动、物质密度等量；$k$表示热传导系数；$c$表示波速；$D$表示扩散系数。
二、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解一般采用分离变量法、特征线法和有限差分法。
1. 分离变量法分离变量法是常见的求解偏微分方程的方法。
它的基本思想是通过一些变换，把偏微分方程转化为一系列常微分方程。
例如，对于热传导方程：设 $u(x,t)=X(x)T(t)$，代入原方程得：$$XT' = kX''T$$将式子两边分离变量，得到：$$\frac{1}{k}\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\omega^2$$分别解出 $T$ 和 $X$，再将它们组合起来即可得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法也是求解偏微分方程的重要方法之一。
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
偏微分方程的离散化方法研究
三对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 2 3 4 5
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2P 2P P x 2 y 2 t 采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
t 2 ，截断误差： O ( t x ) x 2
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，就可以求得第 n+1 时刻（下步时间）的值 Pi n 1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定， 就可以依次求得以后各时间的 P 值。 这种差分格式是显式差分格式。 在显式差分 格式中：只有一个未知数 Pi n 1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间 步长受到严格限制，基本不用。
2 O ( x ) 忽略二阶截断误差
Pi 1 2 Pi Pi 1 2 P P( x x ) 2 P( x ) P( x x ) 2 P ， (用节点位置) 2 2 2 2 x i x x x
1、
一种常用二阶差商处理方法
k x x u u k k x x x 1 x x x2
3、
一阶中心差商
2 O ( x ) 忽略截断误差
P Pi 1 P P ( x x ) P ( x x ) P ， i 1 x 2 x x i 2x
P Pi 1 / 2 P P ( x x / 2) P ( x x / 2) P ， i 1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2) 2 ) x x x i x
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
偏微分方程数值解
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5.1 偏微分方程简介
偏微分方程的分类
2u
2u
2u
u
u
a() x2
b() xy
c() y2
d() x
e() y
f ()u
g()
0
线性微分方程 Linear partial differencial equation
x, y
拟线性微分方程 Quasilinear partial differencial equation
数学上的分类：
椭圆方程 Elliptic
b2 4ac 0
抛物线方程 Parabolic b2 4ac 0
双曲线方程 Hyperbolic b2 4ac 0
物理实际问题的归类：
波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
些离散变量的函数。
un i , j,k
u(t, x,
y, z)tnt ,xix, y jy,zkz
一阶偏导的离散化公式
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t tnt ,xix , y jy,zkz
t
一般采用欧拉公式表示
有时为了保证系统和稳定性， 对时间的差分往往采用向后公式
u
un i1, j,k
un i , j,k
x tnt ,xix , y jy,zkz
x
u
un i , j1,k
un i , j,k
y tnt ,xix , y jy,zkz
y
u
un1 i , j,k
偏微分方程的离散化方法研究
偏微分方程的离散化方法研究偏微分方程是描述自然界中动态行为的重要数学工具。
由于解析解通常很难或无法获得，离散化方法成为解决偏微分方程的重要手段之一、离散化方法的研究既包括离散化算法的设计与分析，也包括离散算法的稳定性和收敛性的研究。
本文将从这几个方面进行阐述，介绍离散化方法在偏微分方程求解中的应用和研究现状。
首先，离散化方法的设计和分析是解决偏微分方程求解中的关键。
离散化方法的目标是将连续型的偏微分方程转化为离散型的方程组。
其中一种常见的方法是有限差分法。
有限差分法将连续函数的导数用差商来近似，从而将偏微分方程转化为差分方程。
此外，还有有限元法、有限体积法等其他离散化方法，不同方法有不同适用范围，可以根据具体问题选择合适的方法。
其次，离散化方法的稳定性也是研究的重点之一、稳定性是指离散化方法对输入误差和算法扰动的敏感程度。
离散化方法的稳定性分析可以通过研究差分方程的解的增长率和振幅来进行。
一种常见的稳定性分析方法是Von Neumann分析，通过对差分方程进行傅里叶变换，得到差分方程的增长因子，从而判断稳定性。
稳定性是离散化方法是否能够产生可靠结果的重要保证。
最后，离散化方法的收敛性也是一个重要研究方向。
收敛性是指离散化方法在网格细化的情况下，逼近连续解的能力。
离散化方法的收敛性分析可以通过证明差分方程的解与连续解之间的误差的收敛程度。
通常通过证明差分格式的截断误差和稳定性之间的关系来研究收敛性。
收敛性分析可以帮助选择合适的离散化方法和网格大小，以保证数值解的精度。
离散化方法的研究在数值计算和科学工程中有着广泛的应用。
例如，在流体力学中，离散化方法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的运动和流动特性。
在材料科学中，离散化方法可以用于求解热传导方程，分析材料的热传导性质。
在量子力学中，离散化方法可以用于求解薛定谔方程，研究原子和分子的波函数。
总而言之，离散化方法在偏微分方程求解中起着重要的作用，具有广泛的应用前景。
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中一种重要的方程类型，在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
掌握偏微分方程的基本概念与解法对于深入理解和应用相关领域的知识至关重要。
本文将介绍偏微分方程的基本概念，并详细讨论几种常见的偏微分方程解法。
一、偏微分方程的基本概念在介绍偏微分方程的解法之前，我们有必要先了解一些偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是包含多个未知函数的方程，这些未知函数的导数以及它们本身都可能出现在方程中。
偏微分方程通常用来描述物理、化学、工程等自然科学领域中的过程和现象。
常见的偏微分方程类型包括椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程。
椭圆型方程常用于描述稳态问题，如静电场分布；双曲型方程常用于描述波动传播过程，如声波、电磁波的传播；抛物型方程常用于描述热传导、扩散以及其他变化速度较慢的现象。
二、偏微分方程解法1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程中常用的一种方法。
它适用于一些特定的偏微分方程类型，如线性齐次方程。
分离变量法的基本思想是假设待求解函数可以表示为若干个单变量函数的乘积形式，然后将原方程中的导数进行分离，并且令各个单变量函数分别等于常数。
通过求解这些常数，再将各个单变量函数组合起来，得到最终的解函数。
2. 特征线法特征线法常用于解决双曲型方程。
该方法通过分析偏微分方程的特征线和特征曲面来求解方程。
首先，通过特征曲线对自变量进行参数化，并将其代入原方程，得到关于未知函数的常微分方程（ODE）。
然后，通过求解此常微分方程，得到未知函数的一般解。
最后，通过特征线与边界条件的关系确定未知常数，得到特定的解。
3. 变换法变换法是通过对偏微分方程进行变量变换，将原方程转化为更简单的形式，从而求解方程的方法。
常见的变换方法有齐次化变量、特征变量法等。
通过适当的变量替换，可以将原方程转化为常微分方程、分离变量的偏微分方程或者恒定系数的变系数常微分方程。
偏微分方程的离散化方法4
偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。
离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。
离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。
对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。
对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。
与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。
在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。
谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。
对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。
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2013届毕业生外文文献翻译学院理学院专业数学与应用数学姓名孟文静学号 201101210511指导教师张兆忠第五章 离散偏微分方程5.1 介绍有多种方法求得的偏微分方程的数值解，然而本质上这些都涉及到构建一些近似值或获得求解的方程组的近似值，得到近似的离散系统的解决方案。
这个过程通常有两个部分。
第一个涉及发展近似值的一个未知的函数，它的导数以及其他涉及使用或应用这些算法计算出所需的数值的数量。
虽然这过于简单化，但它提供了一个方便的研究技术的起点来求解偏微分方程。
离散偏微分方程的最直观直接的方法是代替部分采用有限差分近似的导数，从而构造一个泛函微分方程（FDE ）代替偏微分方程。
本质上偏微分方程的好处是被替换为一个泛函微分方程来产生一组代数方程组，原则上可以解决，以构建偏微分方程的一个近似解。
完成离散化后，构建一个合适的计算方法来解决泛函微分方程的任务，具有挑战性，的确可能影响导数如何先被离散化。
在开发一个解决偏微分方程的误差的数值方法时，需要一个数值解的质量评估。
例如，确定提出的方法是否收敛，即，是否在有限的邻域内，近似解可以尽可能接近的偏微分方程的精确解，这是开发新方法的过程的一个重要部分。
此外还有有效的计算方法和更多新的可平行性算法来检验和评估。
本章介绍了这些思路，专注于开发取代有限差异的导数的技术，还展示了在开发一个简单的数值方案的背景下如何构建的一些偏微分方程的近似解。
其他的内容将在后面章节介绍。
5.2 在实数域上构建有限差分近似对一个函数的导数f 的差分近似的建设可以直接找到多项式，使该多项式插值f 在指定的一列点上，0,...,n x x 。
考虑使用二次多项式()122012,p x a a x a x =++ ()5.1差值f 在点01,,x x 和2x ，即，使用局部坐标系，让10,i i x x h +==和22i x h +=，然后()20120i i i f x a a x a x a =++= ()5.2()22101121012i i i f x a a x a x a a h a h +++=++=++ ()5.3 ()()()22201222012=22i i i f x a a x a x a a h a h +++++=++ ()5.4这个含三个未知数的三个方程可化为()()00i a f x f == ()5.5()()()()()()21143243022i i i f x f x f x f h f h f a hh++-+--+-==()5.6()()()()()()21222222022i i i f x f x f x f h f h f a hh++-+-+==()5.7解得,1,2,3i a i =，得到()f x 的差值多项式()5.1。
为了得到导数的近似值，对()5.1求导()122,f x a a x '=+ ()5.8然后在0i x =（局部坐标系）计算该表达式，得()()()()21432i i i f x f x f x f x h++-+-'=. ()5.9该方法构建方便，但无法说明近似误差，然而，而一阶导数f 的有限差分近似值可以使用第二章描述的的一些标准方法获得，在这些近似值中得到一个理想的误差是必要的。
5.3 截断误差关于点x ，f 是足够光滑的，则f 的泰勒级数展开式可以表示为()()()()223323...2!3!d h d h d f x h f x h f x f x dx dx dx+=++++ ()5.10 把()5.10右侧的函数()f x 移到()5.10的左侧，然后除以h ，可得标准差商（用来定义f 的导数），即，()()()()()23223...2!3!f x h f x df x d f x d f x h h hdx dx dx ⎧⎫+-⎪⎪=+++⎨⎬⎪⎪⎩⎭()5.11 令0h →，大括号里的项消失，由()1.26介绍的导数定义得()()()f x h f x f x h+-'≈()5.12考虑对于任意固定值h ，用差商()()()/f x h f x h +-代替()f x '产生的误差，即，()()()()()23223=+...2!3!f x h f x d f x d f x h h f x hdx dx +-'-+ ()5.13 从()5.13的右边的项中提取f ，这个项可以视为代表一个线性算子作用于f ，即，()()22323...2!3!h d h d T f f x dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()5.14 代表构造出了微分算子D /f df dx =和近似线性算子()()()/h D f f x h f x h =+-之间的误差。
误差()T f 或T 在()5.14作为截断误差被求出，并且一般来说当函数ϕ足够光滑时，通过一个离散的线性算子h L ，截断误差被定义为代表线性算子L 中的误差。
因此，定义5.1. （截断误差）让h L 是一个到线性微分算子L 定义的有最大值h 的邻域上离散逼近；如果存在常数0,0C p >>和00h >那么()(),p h T L L Ch ϕϕ=-≤ m C ϕ∀∈并且0,h h ∀<那么h L 就有一个()p O h 的截断误差。
一个离散逼近到一个有()p O h 的截断误差的线性算子，称为命令p 。
此外，这个近似值可被称为p 阶精度。
例如，在()5.13中对任意光滑的f 和充分小的h ，()5.13最右侧的项被右侧绝对值中的首项所支配，即，()0lim ,2h f T f h→''= ()5.15 （因为封闭，有界域f 和它的所有导数是连续有界的）因此，截断误差()T f ，当变量h 无限趋近于零时，可由()5.12给出的方法定义()O h 的收敛。
为得到一个有效的截断误差时，发现对任何固定值h ，值()T f 在()5.13中不线性依赖h 。
这个行为只能在h 足够小时实现，即，当()43/6...h f +远远小于/2hf ''时。
的确，这种行为在对f '计算近似值时不会数据性观察，若函数f 的二阶导数在有效范围内比其他阶导数远远小时，即，当()()()0,n f x f x ''< 2n > ()5.165.4 用特勒多项式构建导数在点x 附近再次考虑f 的泰勒级数，即，()()()()()()()2344...2!3!4!h h h f x h f x hf x f x f x f x ''''''+=+++++ ()5.17 已经表明，可以为f '重新安排以提供一个前向差分近似，即，()()()()()()()2344...2!3!4!f x h f x h h h f x f x f x f x h+-''''''=---+ ()5.18由命令h 的截断误差得到()f x '的一个前向差分近似公式()()()()+f x h f x f x O h h+-'=()5.19同样的，在-h 方向上的点x 周围可扩展f 的泰勒级数()()()()()23...2!3!h h f x h f x hf x f x f x ''''''-=-+-+ ()5.20获得所谓的在点x 的f '向后差分近似，()()()()+f x f x h f x O h h--'=()5.21()5.17减()5.20得()()()()30202...3!h f x h f x h hf x f x ''''+--=++++ ()5.22求解()f x '得中心差分近似()()()()2+2f x h f x h f x O h h+--'=()5.23只使用f 的两个点计算得到三个不同的离散表达式，像()5.19，()5.21和()5.23表示的一样通过扩展f 的泰勒多项式得f 的一阶导数。
前两个式子，向前差分和向后差分，在计算模板中涉及使用两点，并且有截断误差()O h 。
中心差分近似仅使用关于点x 的点x h -和+x h 的中点，实际上使用了三个点，然而点()f x 因为它的系数为零而在式子中消失。
表明中心差分近似在()5.23中为二阶精度，并且精确度的提高来自于向前和向后泰勒级数相加后偶数项的抵销。
这个近似值可以看做向前和向后差分近似的平均值，即，()()()()()()21+2f x h f x f x f x h f x O h h h +---⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()5.24 一般来说这个结果是正确的，即，向前和向后差分没有相应的中心差分精确。
当然如果是这种情况，这个问题不必麻烦的使用片面的差分。
答案更依赖于构建解决偏微分方程的问题，而不是只通过检验对一些方程的导数构建离散近似值这种狭窄问题来回答。
对数值导数的构建不是唯一的，并且虽然中心差分近似的精度可能比相应的向前或向后差分近似值大，但是构建构建向前和向后差分近似可能需要一些截断误差，所以某种程度上，在这些近似值之间最根本的区别是定向的偏差，即，当评估导数时，向前或向后差分或没有差分被介绍。
例5.1. 求解f '的向前近似差分，其中f '是二阶精度。
解： 考虑关于点x 的在点x ，x h +和2x h +的f 的泰勒级数展开式，那么()()()()()23 (26)h h f x h f x hf x f x f x ''''''+=++++,和()()()()()234822 (26)h h f x h f x hf x f x f x ''''''+=++++结果，计算()()()432,f x h f x f x h +--+()()()()()344322 (6)h f x h f x f x h hf x f x ''''+--+=--通过划分2h 并重新安排，得()()()()()2243...,23f x h f x h f x h f x f x h-+++-''''=--即()()()()243.2f x h f x h f x f x h-+++-'≈如果f 的导数在()5.25中使用的近似值x 的一个邻域内有界，例如如果f C ∞∈，那么f 的所有导数可能也有界，并且h 充分小，存在0C >那么()()22/3.../3,T f h f Ch '''=+≤即()()2=T f O h在一个统一领域内，例题5.1中的向前差分近似的二阶导数可写为()2143.2k k kf f f f x h++-+-'≈ ()5.25()k k f f x ≡是f 的节点值，即，f 的值均匀的分布在间隔点,0,...,.k x k n =上。