第五章 离散偏微分方程

2013届毕业生外文文献翻译

学院理学院

专业数学与应用数学

姓名孟文静

学号 201101210511

指导教师张兆忠

第五章 离散偏微分方程

5.1 介绍

有多种方法求得的偏微分方程的数值解，然而本质上这些都涉及到构建一些近似值或获得求解的方程组的近似值，得到近似的离散系统的解决方案。这个过程通常有两个部分。第一个涉及发展近似值的一个未知的函数，它的导数以及其他涉及使用或应用这些算法计算出所需的数值的数量。虽然这过于简单化，但它提供了一个方便的研究技术的起点来求解偏微分方程。

离散偏微分方程的最直观直接的方法是代替部分采用有限差分近似的导数，从而构造一个泛函微分方程（FDE ）代替偏微分方程。本质上偏微分方程的好处是被替换为一个泛函微分方程来产生一组代数方程组，原则上可以解决，以构建偏微分方程的一个近似解。完成离散化后，构建一个合适的计算方法来解决泛函微分方程的任务，具有挑战性，的确可能影响导数如何先被离散化。

在开发一个解决偏微分方程的误差的数值方法时，需要一个数值解的质量评估。例如，确定提出的方法是否收敛，即，是否在有限的邻域内，近似解可以尽可能接近的偏微分方程的精确解，这是开发新方法的过程的一个重要部分。此外还有有效的计算方法和更多新的可平行性算法来检验和评估。

本章介绍了这些思路，专注于开发取代有限差异的导数的技术，还展示了在开发一个简单的数值方案的背景下如何构建的一些偏微分方程的近似解。其他的内容将在后面章节介绍。

5.2 在实数域上构建有限差分近似

对一个函数的导数f 的差分近似的建设可以直接找到多项式，使该多项式插值f 在指定的一列点上，0,...,n x x 。考虑使用二次多项式

()122012,p x a a x a x =++ ()5.1

差值f 在点01,,x x 和2x ，即，使用局部坐标系，让10,i i x x h +==和22i x h +=，然后

()20120i i i f x a a x a x a =++= ()5.2

()22101121012i i i f x a a x a x a a h a h +++=++=++ ()5.3 ()()()2

2201222012=22i i i f x a a x a x a a h a h +++++=++ ()5.4

这个含三个未知数的三个方程可化为

()()00i a f x f == ()5.5

()()()

()()()

21143243022i i i f x f x f x f h f h f a h

h

++-+--+-=

=

()5.6

()()()

()()()

2122

2

222022i i i f x f x f x f h f h f a h

h

++-+-+=

=

()5.7

解得,1,2,3i a i =，得到()f x 的差值多项式()5.1。为了得到导数的近似值，对()5.1求导

()122,f x a a x '=+ ()5.8

然后在0i x =（局部坐标系）计算该表达式，得

()()()()

21432i i i f x f x f x f x h

++-+-'=

. ()5.9

该方法构建方便，但无法说明近似误差，然而，而一阶导数f 的有限差分近似值可以使用第二章描述的的一些标准方法获得，在这些近似值中得到一个理想的误差是必要的。

5.3 截断误差

关于点x ，f 是足够光滑的，则f 的泰勒级数展开式可以表示为

()()()()2233

23

...2!3!d h d h d f x h f x h f x f x dx dx dx

+=++++ ()5.10 把()5.10右侧的函数()f x 移到()5.10的左侧，然后除以h ，可得标准差商（用来定义f 的导数），即，

()()

()()()23223

...2!3!f x h f x df x d f x d f x h h h

dx dx dx ⎧⎫+-⎪⎪=+++⎨⎬⎪⎪⎩⎭

()5.11 令0h →，大括号里的项消失，由()1.26介绍的导数定义得

()()()

f x h f x f x h

+-'≈

()5.12

考虑对于任意固定值h ，用差商()()()/f x h f x h +-代替()f x '产生的误差，即，

()()()

()()23

223

=+...

2!3!

f x h f x d f x d f x h h f x h

dx dx +-'-+ ()5.13 从()5.13的右边的项中提取f ，这个项可以视为代表一个线性算子作用于f ，即，

()()22323

...2!3!h d h d T f f x dx dx ⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

()5.14 代表构造出了微分算子D /f df dx =和近似线性算子()()()/h D f f x h f x h =+-之间的误差。误差()T f 或T 在()5.14作为截断误差被求出，并且一般来说当函数ϕ足够光滑时，通过一个离散的线性算子h L ，截断误差被定义为代表线性算子

L 中的误差。因此，

定义5.1. （截断误差）让h L 是一个到线性微分算子L 定义的有最大值h 的邻域上离散逼近；如果存在常数0,0C p >>和00h >那么

()(),p h T L L Ch ϕϕ=-≤ m C ϕ∀∈并且0,h h ∀<

那么h L 就有一个()p O h 的截断误差。

一个离散逼近到一个有()p O h 的截断误差的线性算子，称为命令p 。此外，这个近似值可被称为p 阶精度。

例如，在()5.13中对任意光滑的f 和充分小的h ，()5.13最右侧的项被右侧绝对值中的首项所支配，即，

()0

lim ,2

h f T f h

→''

= ()5.15 （因为封闭，有界域f 和它的所有导数是连续有界的）因此，截断误差()T f ，当变量h 无限趋近于零时，可由()5.12给出的方法定义()O h 的收敛。

为得到一个有效的截断误差时，发现对任何固定值h ，值()T f 在()5.13中不

线性依赖h 。这个行为只能在h 足够小时实现，即，当()43/6...h f +远远小于/2

hf ''时。的确，这种行为在对f '计算近似值时不会数据性观察，若函数f 的二阶导数在有效范围内比其他阶导数远远小时，即，当

()(

)

()0,n f x f x ''< 2n > ()5.16

5.4 用特勒多项式构建导数

在点x 附近再次考虑f 的泰勒级数，即，

()()()()()()

()2344...2!3!4!

h h h f x h f x hf x f x f x f x ''''''+=+++++ ()

5.17 已经表明，可以为f '重新安排以提供一个前向差分近似，即，

()()()

()()()()2344...2!3!4!

f x h f x h h h f x f x f x f x h

+-''''''=

---+ ()5.18