全等三角形经典题型汇集(培优专练)

(3)求证： DP PQ ；
（变式探究）
若点 Q 的运动速度为 x cm / s ，是否存在实数 x ，使得 ADP 与 BPQ 全等？若存在，请直接写出相应的 x 的值；若不存在，请说明理由.
3.已知 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 E 为△ABC 内一点，连接 AE，CE，CE⊥AE，过点 B 作 BD⊥AE， 交 AE 的延长线于 D．
范围是
．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF 是 ACD 的边 CD 上中线.求证：BE=2AF.
（灵活运用）如图③，在△ABC 中，∠C=90°，D 为 AB 的中点，DE⊥DF，DE 交 AC 于点 E，DF 交 AB 于点 F，连接 EF，试判断以线段 AE、BF、EF 为边的三角形形状，并证明你的结论.
第四讲 全等三角形中的垂直模型
1.如图 4 ，ABC 中，AG BC 于点 G ，分别以 AB 、AC 为一边向 ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF ， 射线 GA 交 EF 于点 H ．若 AB kAE ， AC kAF ，试探究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由．
21．直线 CD 是经过∠BCA 顶点 C 的一条直线，CA=CB，点 E、F 分别是直线 CD 上的两点，且 ∠BEC=∠CFA=∠BCA, （1）如图 1，当∠BCA=90 时，则 BE 与 CF 的数量关系是：______________ （2）如图 2，当∠BCA 为锐角时，（1）中的数量关系是否依然成立？若成立，请证明 （3）如图 3，当∠BCA 为钝角时，请说出 EF、BE、AF 三条线段的数量关系（不必证明）
（1）如图 1，求证 BD=AE； （2）如图 2，点 H 为 BC 中点，分别连接 EH，DH，求∠EDH 的度数； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 M 为 CH 上的一点，连接 EM，点 F 为 EM 的中点，连接 FH，过点 D 作 DG⊥FH，交 FH 的延长线于点 G，若 GH：FH=6：5，△FHM 的面积为 30，∠EHB=∠BHG，求线段 EH 的长．
、
FD
之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若
不成立，请说明理由．（可借鉴第（1）问的解题经验）
第三讲 全等三角形与旋转问题
1.已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形．（1）求证： AN BM ．
（2）求证：CD=CE (3) 求证：CF 平分∠MCN （4） 求证：DE∥AB
①若 30 ， 60 ， AB 的长为
；
②若改变 、 的大小，但 90 ，求 ABC 的面积．
5.．已知，在 ⶠࢼ 中， ⶠ ࢼ
， ⶠࢼ
，点 为直线 ⶠࢼ 上一动点（点 不与点 ⶠ，ࢼ 重合），
以 为边作正方形
，连接 ࢼ ．（1）如图①，当点 在线段 ⶠࢼ 上时，求证 ࢼ ࢼ ⶠࢼ．
4．如图 1．△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向△ABC 作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E，F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P，Q．
3．如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点，N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探 BM，MN，CN 之间的数量关系，并给出证明．
4．（1）如图 1，在四边形 ABCD 中， AB AD ， B D 90 ， E 、 F 分别是边 BC 、 CD 上的点，
模型二、半角模型
1．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠EAF= 1 ∠BAD．求 2
证：EF=BE+FD．
2.在正方形 ABCD 中，AB＝4，∠EAF 的两边分别交射线 CB，DC 于点 E，F，∠EAF＝45°．
（1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 BC，CD 上时，△CEF 的周长是
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°点 E，F 分别在边 BC，CD 上，∠EAF=45°．若∠B，∠D
都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_
关系时，仍有 EF=BE+DF；
（2）如图 4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且∠DAE=45°，若 BD=1， EC=2， 求 DE 的长．
；
（2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF＝2 时，求△CEF 的周长；
拓展提升：
如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点 B 作 BD⊥BC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一 点 E，使∠EDA＝30°，连接 AE，当 BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段 CE 的长度．
（2）如图②，当点 在线段 ⶠࢼ 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 ࢼ ，ⶠࢼ，ࢼ 三条线段之间的 关系．
（3）如图③，当点 在线段 ⶠࢼ 的反向延长线上，且点 ， 分别在直线 ⶠࢼ 的两侧时，其他条件不变， 请直接写出 ࢼ ，ⶠࢼ，ࢼ 三条线段之间的关系．
6.．已知 ABC 中， AB AC ． （1）如图 1，在 ADE 中，若 AD AE ，且 DAE BAC ，求证： CD BE ； （2）如图 2，在 ADE 中，若 DAE = BAC = 60 ，且 CD 垂直平分 AE ， AD 3 ，CD 4 ，求 BD 的长；（3）如图 3，在 ADE 中，当 BD 垂直平分 AE 于 H ，且 BAC 2ADB 时，试探究 CD2 ，BD2 ， AH 2 之间的数量关系，并证明．
4.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角平分线 CF 于 点 F．
（1）求证：AE=EF； （2）如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，（1）中 的结论是否仍然成立？ ；（填“成立”或“不成立”）； （3）如图 3，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那 么结论 AE=EF 是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
3.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，
求证：（1） AO 1 BC ；（2） AO BC ． 2
4．如图所示，已知 ⶠࢼ 中， 平分 ⶠ ࢼ， 、 分别在 ⶠ 、 上．
ࢼ，
ࢼ．求证： ∥ ⶠ．
5．如图所示， ⶠ ࢼ
， 是 ⶠ 的中点， ⶠ ࢼ，
2．如图 1，在长方形 ABCD 中， AB 4cm ， BC 3cm ，点 P 在线段 AB 上以1cm / s 的速度由 A 向终
点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BC 上由点 B 向终点 C 运动，它们运动的时间为 t s .
（解决问题）
若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t 1时，回答下面的问题： (1) AP _________ cm ； (2)此时 ADP 与 BPQ 是否全等，请说明理由；
，求证
ࢼ．
6．如图，在 ABC 中， BAC BCA ， AD 是边 BC 上的中线，延长 BC 至 E ，使 BC EC ，求证： AE 2AD .
模型二 直角三角形斜边上的中线 1．如图所示，在 ABC 中， BD AC 于 D ， CE AB 于 E ，点 M ， N 分别是 BC ， DE 的中点，求 证： MN DE .
全等三角形经典题型汇集
第一讲 全等三角形与中点问题
模型一 倍长中线
1．问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若 AB=12，
AC=8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，
使 DE=AD，连接 BE.根据 SAS 可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值
2．如图所示，四边形 ACBD 中，ADB ACB 90 ，DBC 60 ，点 E 是 AB 的中点，求 DCE
的度数.
3．如图所示，ABC 中，AB AC,BAC 90, D 为 BC 的中点，G 为 AC 上一点，AE BG 于点 E ， 连结 DE ．求证： BE AE 2DE ．
2.如图，四边形 ABCD 、 DEFG 都是正方形，连接 AE 、 CG ．求证： AE CG ．
G
F
A
B
D
E
C
3.如图，△ACB 和△ECD 中，∠ACB=∠ECD=a，且 AC=BC，EC=DC,AE、BD 交于 P 点，连 CP （1）求证:△ACE≌△BCD（2）求∠APC 的度数（用含 a 的式子表示）
若
EAF
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BAD
，可求得
EF
、
BE
、
FD
之间的数量关系为______．（只思考解题思路，完成填空即可，
不必书写证明过程）
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中， AB AD ， B ADC 180 ， E 、 F 分别是边 BC 、 CD 延长线
上的点，若
EAF
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BAD
，判断
EF
、
BE
4．如图所示， BCD 和 BCE 中， BDC BEC 90 ， O 为 BC 的中点， BD ， CE 交于 A ， BAC 120 ，求证： DE OE .
第二讲 全等三角形中的截长补短
模型一、截长补短
1.已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
4．已知 ABC ，以 AC 为边在 ABC 外作等腰 ACD ，其中 AC AD ．
（1）如图 1，若 AB 为边在 ABC 外作 △ABE ， AB AE ， DAC EAB 60 ，求 BFC 的度数； （2）如图 2， ABC ， ACD ， BC 6 ， BD 8 ．
7．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连结 EF，则 EF=BE+DF， 试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将 这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平 移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着 点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）．
2．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O．点 E 是线段 DO 上一点，连接 CE．点 F 是∠OCE 的平分 线上一点，且 BF⊥CF 与 CO 相交于点 M，点 G 是线段 CE 上一点，且 CO=CG． （1）若 OF=4，求 FG 的长；（2）求证：BF=OG+CF．
3.如图，在四边形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点， AE 是 BAD 的平分线， AD∥BC ． 求证： AB AD BC
思路二如图②，添加辅助线后并利用 AE＝EF 可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据 AAS 可以进 一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：
；②思路二的辅助线的作法是：
．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不 需要写出证明过程）．
2.阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求 证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．