2018年高考秘籍-破解导数压轴题策略：3.导数不等式的证明-切线法

导数中的不等式证明

【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度1 构造函数

命题角度2 放缩法

命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路

命题角度5 函数凹凸性的应用

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

命题角度3 切线法

【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2

x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；

（2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x

+--≥+.

【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+；

（2）令()()g x f x '=，则()2x

g x e '=-，

当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>，

所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

()()()min ln 2ln 222ln 20g x g f '===->，

所以函数()2x f x e x =-在()0,+∞上单调递增，

由于曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，()11f e =-，可猜测函数()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方. ………﹝多步设问，层层递进，上问结果，用于下问﹞

先证明当0x >时，()()21f x e x ≥-+.

设()()()()210h x f x e x x =--->，则()()()22,2x x

h x e x e h x e '''=---=-， 当ln 2x <时，()0h x ''<，当ln 2x >时，()0h x ''>，

所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<，

所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=，

所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，

所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增.

因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号，

所以当0x >时，()2

21x e x e x -≥-+， ………﹝切线放缩法是一种崭新的放缩途径﹞ 变形可得()21x e e x x x

+--≥， 又由于ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号（证明略），……﹝灵活借助于ln 1x x ≥+放缩﹞

所以()21ln 1x e e x x x

+--≥+，当且仅当1x =时取等号. 【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.