初中数学教程角平分线的性质及判定

15.4角的平分线

第2课时角平分线的性质及判定

教学目标

【知识与能力】

1. 熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；

2. 掌握角平分线的性质和判定；

3. 综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题。

【过程与方法】

1. 注意设置情境，让学生在情境中感受角平分线的性质定理和判定定理。

2. 在证明定理时注意分析思路，引导学生去思考。

【情感态度价值观】

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

教学重难点

【教学重点】

角平分线的性质定理及判定定理。

【教学难点】

角平分线的性质定理及判定定理的证明与运用。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？

问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线的性质

【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度

例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB 于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．

解析：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，AC ＝AE ＝BC ，继而可得△DBE 的周长＝AB .故答案为7cm.

方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．

【类型二】 角平分线的性质和三角形面积的综合

例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12

AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【类型三】 利用角平分线的性质证明线段相等

例3 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .

解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CFD ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．

证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB

中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL )，∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在Rt △ADC 与Rt △ADE 中， ∵⎩⎪⎨⎪

⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (HL )，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

探究点二：角平分线的判定

【类型一】 判断点是否在角平分线上

例4 如图，已知点P 到BE ，BD ，AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B ，∠DAC ，∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P 到BE ，BD ，AC 的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D.

方法总结：此题主要考查角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．解答时，可分别处理，逐个验证．

【类型二】 角平分线的判定

例5 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．

解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．

证明：∵DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF

中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

探究点三：三角形角平分线的应用

例6 已知：如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

(1)可选择的地点有几处？

(2)你能画出塔台的位置吗？

解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出直线l 1，l 2，l 3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：(1)可选择的地点有4处，如图：P 1、P 2、P 3、P 4，共4处；

(2)能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．

三、板书设计

角平分线的性质及判定⎩⎪⎨⎪⎧性质定理：角平分线上的点到角的两 边距离相等.判定定理：角的内部到角两边距离相 等的点在角的平分线上.

教学反思

角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，

可以丰