结构力学第五版 李廉锟 第二章

（c）
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。
第二章 平面体系的机动分析
二、加减二元体规则
无多余约束的几何不变体系。 减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。
第二章 平面体系的机动分析
W = 2j-(b+r)
铰结链杆体系：
W＝ 2×6－（9＋3）＝0
第二章 平面体系的机动分析
W > 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系 W = 0 表明体系的约束数正好等于部件总自由度数， 是体系不变的必要条件，而非充分条件，如 无多余约束，体系是静定结构。 W < 0 表明体系的约束数多于部件总自由度数，必有 多余约束，如为几何不变体系，则体系是超 静定结构 总之，体系为不变体系除满足约束个数，尚须约束 的合理布置。
第二章 平面体系的机动分析
四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
第二章 平面体系的机动分析 §2-4 瞬变体系 特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系； 瞬变体系必存在多余约束。

第二章 平面体系的机动分析
瞬变体系——原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
三、刚片的合成
I
有一个多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题3】试对图示体系作几何组wk.baidu.com分析。
几何可变体系。
第二章 平面体系的机动分析
几何组成分析的步骤： （1）若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆与基 础相连，则可以只分析该体系。 （2）找二元体，如有，可撤去或加上，使体系简化。 注意：加二元体时，必须把二元体加在几何不变体上；减二元体 时，二元体二杆铰接处不同其它杆件联结。 （3）从直接观察出的几何不变部分开始，应用体系组成规律， 逐步扩大不变部分直至整体。 注意： ①虚铰的识别 ②非直杆用直杆代替 ③找铰接三角形 ④机动分析中，每根杆件或作为链杆都必须只能使用一次， 不得遗漏，也不得重复。 ⑤对较复杂系统应该首先进行计算自由 度
Fx cos Fy sin sin( ) Fx cos Fy sin sin( )
第二章 平面体系的机动分析
四、瞬变体系的静力特性
理论上分析：瞬变体系只能发生很小 的变形； 实际情况: 变形一般不会很小。 ( 即使承受很小荷载，也可能产生很 大内力，体系可能发生破坏)
Fx A a b Fy C B h
F F
Fy Fx FCA C
x
0 FCA sin FCB sin Fx 0 FCA cos FCB cos Fy 0 y 0
C
A Ⅱ
ⅢB
1
2 Ⅰ
4
3
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
§2-6 三刚片体系中虚铰无穷远情况 一铰无穷远
一个虚铰在无穷远：若组成 此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则 几何可变；
几何不变
瞬变
常变
第二章 平面体系的机动分析 二铰无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链杆不平行则几何不 变；否则几何可变；
FP FP
FN


FN
FN
FP 2 s i n

瞬变体系不能做为建筑结构使用
第二章 平面体系的机动分析
几种典型瞬变体系
•三铰共线 •三杆延长线交于一点 •三杆平行且不等长
•三杆平行，链杆从刚片异侧引出
第二章 平面体系的机动分析 几种典型常变体系
•三杆平行且等长，且 链杆在刚片的同侧
•三杆交于一点
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的计算自由 度 一、自由度
体系可独立运动的方式称为该体系的自由度。或表示体 系位置的独立坐标数。 二、点、刚片、结构的自由度 1、一个点在平面上有两个自由度（图1）。 2、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。
y x
y
A(x,y)
y
x

A(x,y)
y x
第二章 平面体系的机动分析
静定结构的解答唯一性定理 静定结构的全部支反力、内力都能由静力平衡方程完全 确定，且在任意的已知荷载作用下，它们的解答是唯一的。 静定结构的静力特征 静力平衡方程数与未知约束力数相等，体系的全部反力 和内力，都可由静力平衡条件确定，而且解答是唯一的。当 荷载为零时，体系的反力和内力也等于零。
第二章 平面体系的机动分析
C E
【习题4】分析图示链杆体系的几何组成。
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【习题5】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题6】分析图示体系的几何组成。
D C
E D C E D C E
A
B
A
B
A
B
无多余约束的 几何不变体系。
三、举例 例题1
结论:
无多余约束几何不变体系
第二章 平面体系的机动分析 【例2-1】分层次分析 ——按二刚片、三刚片顺序搭建分析
第二章 平面体系的机动分析
【例2-2】去简支，考虑内部
第二章 平面体系的机动分析 【例2-3】
第二章 平面体系的机动分析 【例2-4】 二链杆一组， 分组联接二刚片 → 二刚片之间联接 —— 三刚片规则
第二章 平面体系的机动分析
结论： （1）W>0 （2）W=0 （3）W<0 可变体系 有几何不变 所需的最少约束数目 有多余约束
W≤0——几何不变的必要条件
第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三个刚片之间的联结（三刚片规则）： 三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多 余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
二、超静定结构的静力特性(几何不变有多余约束的体系)
F FAx A C B FB
静力平衡方程数小于未知约束力数
体系反力、内力静不定 (超静定) 超静定次数等于多余约束数
FAy
Fc
超静定结构的静力特性： 静力平衡方程数少于未知约束力数，体系的反力和内力不 能单靠静力平衡条件完全确定，对应于每一种任意的已知荷载， 体系的反力和内力的解不是唯一的。
F
B
刚片1
D
A
E
特殊情况： （1）三根链杆交于一点
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
第二章 平面体系的机动分析
（2）三根链杆相互平行
第二章 平面体系的机动分析
3、一个刚片与一个结点之间的联结（二元体规则）： 在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，且无多余约束
二元体——不共线二链杆联结一个新结点 推广：增 ⁄ 减二元体，机动性质不变* 例
o
（图1）
o
（图2）
x
3、平面结构的自由度必须小于或等于零。
第二章 平面体系的机动分析
三、约束（联系）
y
1、约束：限制运动——减少自由度的装置
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y

x
y



o
o
x
x
（图3）
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y x y y

o
o
x x
（图4）
第二章 平面体系的机动分析
实饺 虚饺 三饺共线 （瞬变）
第二章 平面体系的机动分析
2、两个刚片之间的联结（两刚片规则）： 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无 多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不 全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。 O
C 刚片2 E A B 刚片2 D C 刚片1
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述
平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载的平面
杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。
本节内容：研究结构的组成规律和合理形式。 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微 小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚 性杆件。
第二章 平面体系的机动分析
第二章 平面体系的机动分析
三、可变体系的静力特性
F A B FB FA
未知约束力数小于静力平衡方程数
可列出三个平衡方程： F 0 x Fy 0 M 0 A
除特殊情况外，两未知力同时满足三个静力平衡方程是不可能的 故在一般情况下，体系不可能保持平衡 (体系可变) 可变体系的静力特性： 静力平衡方程数多于未知约束力数，一般说来是不可能有解 的，因而体系不可能保持平衡。
几何不变
瞬变
常变
第二章 平面体系的机动分析 三铰无穷远：不等长、等长、等长但异侧联出
三个虚铰在无穷远： 体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
瞬变
常变
瞬变
第二章 平面体系的机动分析
§2-7 几何构造与静定性的关系 一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系) F
C
FCB C FCA
刚片体系
W = 3m-(2h+r)
m ---- 刚片数（不含地基） h ---- 单铰结点数 r----支座链杆数
铰结链杆体系
W = 2j-(b+r)
j ---- 结点数
b ---- 杆件数
r----支座链杆数
第二章 平面体系的机动分析
W = 3m-(2h+r)
刚片体系： W＝3×9 －（2×12+3）＝ 0
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点
间的一条直线的位臵可确定刚片中任一点的位臵。所以可由 刚片中的一条直线代表刚片。
第二章 平面体系的机动分析
四、几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否 作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算 方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计 算顺序。
A
1
B
2
C
第二章 平面体系的机动分析
几何不变体系——铰结三角形规则 （刚片——联系——条件） 1．三刚片规则 三刚片用不共线的三个铰两两相联 2．二元体规则 增 ⁄ 减二元体，机动性质不变* 3．两刚片规则 两刚片用不共线—铰—链杆相联， 不交于一点，也不平行的三链杆相联 ——体系为几何不变，且无多余约束。 ——实质为一条规则：三刚片规则 ——计算自由度w＝0（体系本身w＝3），无多余联系
一、几何不变体系： 在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是不会 改变的体系（图1）。
二、几何可变体系：
在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可以 改变的体系（图2）。 P P
（图1）
（图2）
第二章 平面体系的机动分析
三、刚片 假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在 平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片， 并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约 束（图5）。
y

x

y
o
（图5）
x
5、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束(图6）。
y y
x y

o
o
x x
（图6）
第二章 平面体系的机动分析
四、平面体系的计算自由度
定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由度 数与总约束数之差称计算自由度。
第二章 平面体系的机动分析
【习题1】试对图示体系作几何组成分析。
II
I
无多余约束的几何不变体系。
III I II
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题2】试对图示体系作几何组成分析。
II
II
I
I
几何瞬变体系。
第二章 平面体系的机动分析
常用的简化方法
一、若某体系用不完全交于一点也不完全平行的三根链 杆与基础相连，则可以只分析该体系。
FAx A B FB
F A B
F
FAy
体系几何不变且无多余约束 通过静力平衡方程：
Fx 0 Fy 0 可求出FCB 和 FCA：
体系几何不变且无多余约束 平面一般力系可列三个方程
Fx 0 Fy 0 M 0 A
可求出FAx FAy和FB
•约束不足
第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不 必进行几何组成分析；若W≤0，则应进行几何组成分析。 二、步骤
1、若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则分析。 2、若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中已分析出 的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”，使原体系简化。`
无多余约束的 几何不变体系。
有一个无多余 约束的几何不变体 系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题7】分析图示体系的几何组成。
A D G E H B F F A D C G B
D
C
E
C
无多余约束的几何不变体系。
E
F A
G
B
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题8】分析图示体系的几何组成。 E D