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斜率公式的巧妙运用

设是圆锥曲线上的两点，则直

线

的斜率为：

E

y y C D

x x A k p p ++++-=)()(21212

1

证：是曲线上的点，

①

②

①－②得： 即

注 ： （1）上述斜率的表达式中，

和

既是直线

与圆锥曲线交点

的横坐标，也是直线

的方程与圆锥曲线的方程联立后消去或消去后得到的一

元二次方程的两个根，这就为利用一元二次方程解决直线与圆锥曲线的相交问题或圆锥曲线有关弦的问题提供了很大的方便. 特别地，当弦的中点

的坐标为时，由上述公

式就变为：

这表明弦所在直线斜率可用弦中点坐标来表示，这样解决中点弦问题时更为

方便.

（2）上述公式不必去记.这里给出这一公式的目的，一方面是揭示它们的内在联系，另一方面使得下面例题的解题过程简单明了，同学们解题时应补上并掌握这一重要的作差变形过程.

典型题目：

例1 ： 在圆中，求通过点且点又恰好为中点的弦所在直线

方程. 解：设为

中点，

而均在圆上，则

，将两式相减得

0))(())((21212121=-++-+y y y y x x x x ，

即

故，的方程为：

即

评注：若用圆的性质来求斜率也很简捷，但上面的解法对二次曲线（椭圆、

双曲线、抛物线等）的中点弦问题均适用，具有一般性. 例2 ： 过点作圆

的切线

，求点弦

所在的直线

方程. 解：设

由圆的切线方程知过分别作圆的切线，切线方程为：

，又切线均过点，所以有

（2）－（1），得

所在直线方程为，即

，再将（1）代入

得

所在直线方程为：

评注：过圆外一点作圆切线，则切点弦方程为：

例3 ：求过作直线，被圆所截得弦的中点轨迹方程. 解：过作直线被圆所截得弦为

，其中点，设

则

又

将两式相减得

y

x

y y x x x x y y K AB -

=++-=--=∴12121212 又

而四点共线，1

2

+-=

-

==x y y x K K AB Mp

即（其中

）

例4：过点的直线与椭圆

交于

两点，线段的中点是，

设直线的斜率为

，

的斜率为

为定值. 证 设直线与椭圆相交于，线段

.

在椭圆之外且直线的斜率

，

又

直线的斜率

（定值）.

例5：已知椭圆方程为：

（1）求这椭圆中以

为中点的弦所在直线方程.

（2）求斜率是2的平行弦中点的轨迹方程. 解 ：（1）易知点在椭圆内.设以点为中点的弦为

，且

的坐标分别为

直线的斜率

，

所求的直线方程为

，即

（2）设弦两端点分别为，中点

，则

，

，即

当

时，

，点

也适合上方程.

故所求轨迹为直线在椭圆内的部分.

例6：给定双曲线

（1）过点的直线与所给双曲线交于点，求线段的轨迹方

程.

（2）过点

能否作直线

与所给双曲线交于两点，且点是线段

的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由. 解 ：（1）设则

直线

的斜率

所求轨迹方程为，

即

点（0,0），（2,0）也满足方程.

（2）假设这样的直线存在，它与所给双曲线交于点),(),,(222111y x Q y x Q ，则

直线的斜率， 的方程为

把代入

无实根，故，不存在.