高中数学讲义集合.知识框架

内容 基本要求

集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；

集合的表示

能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；

理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集

集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，

知识内容

高考要求

模块框架

集合

记作A b ∉；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>

方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 <教师备案>⑴集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是

不定义的概念，只能做描述性的说明．

⑵构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何．．对象．

例：{小明，机器猫，哈里波特}

⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．

①任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最基本的特征——确定性，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”； ②集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素——互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而导致解题出错．例：方程2(1)(2)0x x --=的解集不能写成{1,1,2}，而应写成{1,2}

③在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序——无序性 例：集合{,,}a b c 与集合{,,}b c a 是相同集合 ⑷用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解．

例如：集合{}2x y x =表示自变量x 值的全体，即{}x x ∈R ；集合{}

2y y x =表示函数值y 的全体，即{}0y y ≥；集合{}2()x y y x =，

表示抛物线2y x =上的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而集合{}2y x =则是用列举法表示

的单元素集．

⑸关于集合的表示方法之间的转换

例如：①63A x x x ⎧⎫

=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z N ，，用列举法表示为{}0124569A =，，

，，，， ②a b A x x a b a b ⎧⎫⎪⎪

==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，，是非零实数，用列举法表示为{}202A =-，，

2．集合的包含关系：

（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；

（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。 <教师备案>⑴强调说明，加深印象：

①表示元素和集合之间的关系：属于“∈”和不属于“∉” ②表示集合与集合之间的关系：

包含关系：如果对于任意a A a B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为

A B ⊆或B A ⊇；注意提示：A A ⊆，A ∅⊆

真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的

真子集，

记作A B Ü（或B A Ý）

相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且．B A ⊆ ，

那么集合A 与B 相等，记作A B =

注意提示：如果“A B ⊆”，那么有A B =或A B Ü，两种情况二者必居其一； 而A B Ü是不允许A B =，所以即使A B ⊆，A B Ü不一定成立；

反之，A B Ü可以说A B ⊆；A B =也可说A B ⊆

不包含关系：如果集合A 中存在着不属于集合B 的元素，那么集合A 不包含

于B ，

或B 不包含A ．分别记作A B 赲，或B A Û

⑵0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系

①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈