抽象代数

江苏自学考试抽象代数基础教材大纲
作者：佚名 自考来源：江苏省教育考试院 点击数：110 更新时间：2006-11-30 热 ★★★【字体：小 大】 江苏教育学院编
第一章 基本概念

一、要求

1、掌握关于集合的基本概念及集合的运算。

2、理解映射的定义和各种类型的映射，可逆映射的充要条件与映射的相等、合成等概念。

3、掌握集合的分类与等价关系等概念。理解集合的分类与等价关系之间相互决定的内在联系，了解满射的分解。

4、了解代数体系的概念和附加于代数体系的一些条件。

5、掌握同态、同构的概念及其性质，体会它们在比较代数体系时的作用。

二、考试内容

1、集合集合、子集、幂集、并集、交集、余集、笛卡尔积。

2、映射映射、满射、单射、双射的定义，映射相等与合成的概念及其性质，映射可逆的充要条件。

3、集合的分类与等价关系。

关系、等价关系、集合的分类、等价类、商集的概念、集合的分类与等价关系相互唯一确定的定理，满射的分解。

4、代数体系代数运算、逆运算、代数体系、子体系的概念、结合律、交换律、分配律、单位元、逆元、零元、负元。

5、同态、同构同态（自同态）、同构（自同构）的概念及其性质。

第二章 群论基础

一、要求

1、理解群的定义及有限群、交换群的概念。

2、熟练掌握群的单位元、逆元、消去律以及群的阶和元素的阶等概念及性质。

3、掌握子群的定义，性质及判别定理。

4、掌握变换群、置换群的有关概念、性质及运算，了解凯莱定理。

5、熟悉掌握循环群的概念、性质及构造。

6、理解有关子群陪集的概念、性质及拉格朗日定理。

7、熟练掌握不变子群的概念，等价条件及商群的概念。

8、掌握群的同态、同态核的概念、性质及同态基本定理。

二、考试内容

1、群的有关概念及基本性质群的几个等价定义；有限群、交换群、单位元、逆元、消去律、元素的阶等概念及性质。

2、子群子群的概念，子群的判别定理，子群的性质，生成子群。

3、变换群与置换群变换群、置换群的概念与性质；凯莱定理，置换群，置换、循环置换及其运算，交代群的概念与性质。

4、循环群循环群的定义、性质、构造及生成元的概念与性质。

5、子群的陪集子群的左、右陪集及其性质，子群的指数，拉格朗日定理。

6、不变子群与商群不变子群的概念及其等价条件，商群。

7、群的同态，同态基本定理群的同态及同态核的概念与性质，同态基本定理。

第三章 环与域

一、要求

1、掌握环的定义和基本性质，熟悉几类有附加条件的环的性质和例子。

2、掌握子环、子域、理想、素理想、极大理想、剩余类环、商域等基本概念和性质。

3、理解环的同态的概念和性质，了解同态基本定理和“挖补定理”。

4、了解未定元的多项式环的概念和构造，未定元多项式与多项式函数的联系与区别。

5、掌握唯_分解环，主理想环和欧氏环的概念和性质，了解它们之间的关系。

6、了解唯一分解环上的多项式环是唯一分解环的结论。

二、考试内容

1、环的定义和性质加群、环的定义，环的基本性质。

2、几类有附加条件的环交换环、有单位元的环、无零因子的环、整环、除环域，以及它们的性质和常见的例。

3、子环，理想与剩余类环子环与子域，子环与子域的等价条件，理想、主理想及其结构，剩余类环。

4、环的同态与同态基本定理环的同态与同构，同态与同构的性质，同态基本定理和“挖补定理”。

5、素理想与极大理想素理想与极大理想的概念，素理想与极大理想的性质。

6、商域无零因子交换环的商域，商域的构造。

7、多项式环环R上的未定元X的定义，未定元以及未定元多项式环 R[X]的存在性，未定元X的多项式与多项式函数的联系与区别。

8、唯一分解环整除、相伴、单位、素元等基本概念，唯一分解环的定义和等价条件，最大公因子的定义和存在性、唯一性。

9、主理想环、欧氏环主理想环和欧氏环的概念，欧氏环、主想理环与唯一分解环的相互关系。

10、多项式环的因子分解本原多项式及其性质，唯一分解环上的多项式环是唯一分解环。

第四章 域的扩张

一、要求

1、掌握素域特征与添加的概念，熟悉域添加的一些性质。

2、掌握单扩域的概念，理解单超越扩域与单代数扩域的结构。

3、掌握扩域的次数的概念及有关计算。理解有限扩域、代数扩域的概念及其性质。

4、理解多项式的分裂域的概念、性质，存在性与唯一性，并能作简单计算。

5、理解有限域的定义、性质以及常见的例。

6、理解顺序关系、有序集等概念。了解有序环、有序域，了解复数域不是有序域的结论。

二、考试内容

1、素域添加扩域、素域，域的特征，特征为素数P的域，域的添加及简单性质。

2、单扩域代数元，超越元，最小多项

式，单超越扩域与单代数扩域的结构、性质、存在性及唯一性。

3、有限扩域与代数扩域扩域作为基域上的线性空间，扩域的次数，有限扩域及其性质。代数扩域及其性质，代数数，代数闭域。

4、多项式的分裂域多项式的分裂域的概念，多项式的分裂域的存在性与唯一性，正规扩张。

5、有限域有限域的特征，有限域所含的素域，有限域的性质。

6、序、有序环、有序域偏序关系，偏序集、全序关系、有序集、偏序代数体系，有序环，有序域。

选用教材意见

1、选用教材《抽象代数基础》洪修仁、朱忠南主编 成都科技大学出版社（1996年3月）

2、参考教材《近世代数基础》张禾瑞著 高等教育出版社（1978年修订本）