1.3《柱体、椎体、台体的表面积和体积》
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1.3 空间几何体的表面积和体积
1.3.1 柱、锥、台体的表面积和体积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 空间问题
展开图
平面图形面积 平面问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 ．即棱锥的体积： 的 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
r O
r 'O’
l
O
r’＝r
上底扩大
l
r’＝0
上底缩小
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积Baidu Nhomakorabea
圆柱 S 2r (r l )
r r
圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
展开图
2； 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 3
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距 离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表 面积.
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
C A
O O'
B
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体体积
S球 4 R
其中R为球的半径.
2
2、球的体积
V球
4 3 R ，其中R为球的半径. 3
练习： 1．三个球的半径之比为 1: 2:3 那么最大的球的体 积是其余两个球的体积和的 倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积 比原来增加 倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大 球，则大球半径是 ；
例3 （1）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分 别为8和18，侧棱长为13，求其表面积； （2）已知直角梯形的上、下底，高分别为2,4， 5 ，
将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成圆台， 求这个圆台的体积和表面积。
A B
D
C
例4 如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以 AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体， 求此旋转体的表面积和体积。
例1 已知长方体铜块的长、宽、高分别为8、4、 2，将它溶化后铸成一个正方体（不计耗损）， 求铸成铜块的表面积和体积。
例2（1）已知棱长为a，各面均是等边三角形的四面体
S-ABC，求它的体积和表面积；
（2）已知圆锥的高为2，其侧面展开图是一个弧长为 6π的扇形，求圆锥的表面积和体积；
（3）将圆心角为120°，面积为3π的的扇形作为 圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。
A B
C
例5 一空间几何体的三视图如图所示，求该几何 体的体积。
2 2
2 2
2 2
正视图
侧视图
俯视图
例6 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 mm3 ) (
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
1.3.2 球的体积和表面积
1.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它 的大圆面积的4倍，即
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
S S 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 切球的体积是 .
，内
5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切， 正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的 表面积之比．
提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故 只需找到球半径之间的关系即可．
王新敞
奎屯 新疆
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
1.3.1 柱、锥、台体的表面积和体积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积 空间问题
展开图
平面图形面积 平面问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 ．即棱锥的体积： 的 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
r O
r 'O’
l
O
r’＝r
上底扩大
l
r’＝0
上底缩小
l
r
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O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积Baidu Nhomakorabea
圆柱 S 2r (r l )
r r
圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
展开图
2； 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 3
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距 离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表 面积.
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
C A
O O'
B
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体体积
S球 4 R
其中R为球的半径.
2
2、球的体积
V球
4 3 R ，其中R为球的半径. 3
练习： 1．三个球的半径之比为 1: 2:3 那么最大的球的体 积是其余两个球的体积和的 倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积 比原来增加 倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大 球，则大球半径是 ；
例3 （1）一个四棱台，其上下底面均为正方形，边长分 别为8和18，侧棱长为13，求其表面积； （2）已知直角梯形的上、下底，高分别为2,4， 5 ，
将直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周形成圆台， 求这个圆台的体积和表面积。
A B
D
C
例4 如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，以 AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体， 求此旋转体的表面积和体积。
例1 已知长方体铜块的长、宽、高分别为8、4、 2，将它溶化后铸成一个正方体（不计耗损）， 求铸成铜块的表面积和体积。
例2（1）已知棱长为a，各面均是等边三角形的四面体
S-ABC，求它的体积和表面积；
（2）已知圆锥的高为2，其侧面展开图是一个弧长为 6π的扇形，求圆锥的表面积和体积；
（3）将圆心角为120°，面积为3π的的扇形作为 圆锥的侧面，求此圆锥的表面积和体积。
A B
C
例5 一空间几何体的三视图如图所示，求该几何 体的体积。
2 2
2 2
2 2
正视图
侧视图
俯视图
例6 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 mm3 ) (
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
1.3.2 球的体积和表面积
1.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它 的大圆面积的4倍，即
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
S S 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是 切球的体积是 .
，内
5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切， 正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的 表面积之比．
提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故 只需找到球半径之间的关系即可．
王新敞
奎屯 新疆
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.