教育第五章 线性规划问题的灵敏度分析
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大家好
1
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
• 哪些参数容易发生变化:C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
2
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/
a' 1, n 1
a' 1, n i
a' 1,n m
设
B 1
a' k ,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a
'
m
,n
1
a' m,ni
a' m,nm
b b1, b2 , , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
XB B 1b b 0
设x4的价值系数增加c4，对应k=2（第二行）
ma x32.25 ,01.25c4mi n 2.2 75 , 1 1 0.25 c41, 3.75 c45
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
9
例2：maxf (x) (21)x1 (32)x2
13
x
当a '
B
'B
1
i,nk
(b
0,
则 b )有 B
1b
当 Ba'i,n1k
b
0,
则 b ' 有 B 1
b
0
bi bb12'a' 'i,bnk'kB
b
' m
1
0
b
k
0
ห้องสมุดไป่ตู้
bbbi12'' a'i,bnk'kb
2x1 3x2 12
s.t.
4x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
10
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1,x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
c3 2.75, c3 5.75
7
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
• 由于基变量对应的价值系数在CB不中考出虑现，ark因=0此的它情会况影，响因所为当
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
4
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
原问题 对偶问题 可行 可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行
迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行
迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表进行求1解2
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0 • b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
max1/12c1 min11//55 2c1 1, 0c1 3
max
1/ 5 1/ 5
c2
1 c2, 2 c2
11
5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容： (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; (2) 增加约束或变量的影响分析；
3
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
有非基变量的检验数
ark=0时，cj的变化不影响zk，
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，同变时化因量为基 c变j 量检验数始终
• 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变为量0，xj 机不会考成虑本其的变变化化。
m
m
zj zj (ci ci)aij ciaij ciakj
i1
i1
要满足cj (zj zj ) 0, 则有cj zj akjck
5
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj
允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
zj
akj
akj
0
ck
cj zj akj
akj
0
为保证所有非基验 变数 量仍 检满足最优 , 有条件
maxcj zj j akj
akj 0cj'
mincj zj j akj
akj 0
8
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (cj cj)zj 0 故有cj (cj zj)
6
例5.1
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
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第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优
• 哪些参数容易发生变化:C, b, A
• 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好
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5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/
a' 1, n 1
a' 1, n i
a' 1,n m
设
B 1
a' k ,n1
a' k ,ni
a' k ,nm
a
'
m
,n
1
a' m,ni
a' m,nm
b b1, b2 , , (bk bk ), bm T
为保证最优解的基变量 不发生变化 , 必须满足
XB B 1b b 0
设x4的价值系数增加c4，对应k=2（第二行）
ma x32.25 ,01.25c4mi n 2.2 75 , 1 1 0.25 c41, 3.75 c45
• 有一边为空集如何处理
• 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中
• 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
9
例2：maxf (x) (21)x1 (32)x2
13
x
当a '
B
'B
1
i,nk
(b
0,
则 b )有 B
1b
当 Ba'i,n1k
b
0,
则 b ' 有 B 1
b
0
bi bb12'a' 'i,bnk'kB
b
' m
1
0
b
k
0
ห้องสมุดไป่ตู้
bbbi12'' a'i,bnk'kb
2x1 3x2 12
s.t.
4x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
10
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
x1,x3为非基变量 所以 c1 3.25, c1 4.25
c3 2.75, c3 5.75
7
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
• 由于基变量对应的价值系数在CB不中考出虑现，ark因=0此的它情会况影，响因所为当
Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理
（LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0
4
(3)分析结论
原问题 对偶问题
可行
可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行 迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行 迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
原问题 对偶问题 可行 可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解
可行 不可行
迭代求出最优（单纯形法）
不可行 可行
迭代求出最优（对偶单纯形法）
不可行 不可行 引入人工变量，编制新单纯形表进行求1解2
• 设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b0 • b的变化不会影响检验数
• b的变化量b可能导致原最优解变为非可行解
max1/12c1 min11//55 2c1 1, 0c1 3
max
1/ 5 1/ 5
c2
1 c2, 2 c2
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5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。
最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优
基/最优解/最优值不变。
灵敏度分析内容： (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; (2) 增加约束或变量的影响分析；
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5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具
Pj’ =B-1Pj
b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0
4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4
cj-zj -3.25 0 -2.75 0
00 0 x5 x6 x7 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1 0 -0.25 -1
有非基变量的检验数
ark=0时，cj的变化不影响zk，
• 只有一个基变量的 cj 发生变化，同变时化因量为基 c变j 量检验数始终
• 令 cj 在CB中的第k行，研究非基变为量0，xj 机不会考成虑本其的变变化化。
m
m
zj zj (ci ci)aij ciaij ciakj
i1
i1
要满足cj (zj zj ) 0, 则有cj zj akjck
5
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj
允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
当 akj 0, 有
当akj 0, 有
ck
c
j
zj
akj
akj
0
ck
cj zj akj
akj
0
为保证所有非基验 变数 量仍 检满足最优 , 有条件
maxcj zj j akj
akj 0cj'
mincj zj j akj
akj 0
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153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (cj cj)zj 0 故有cj (cj zj)
6
例5.1
153 4
CB XB b
x1 x2 x3 x4
0 x5 100 1/4 0 -13/4 0 4 x4 200 2 0 -2 1
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0
1300 4.25 5 5.75 4