第五章 线性规划问题的灵敏度分析

4 x4 0 1 0 4 0
0 x5 1 0 0 0 0
0 x6 1/4 1 -3/4 0.25 -0.25
0 x7 -1 -1 1 1 -1
令 ∆ b 2 = 100 , 则有
为例, 是对应的初始基变量， 以b2为例 x6是对应的初始基变量，所以有 − 100 − 200 − 100 max , ≤ ∆ b2 ≤ min − 0 .75 1 0 .25 − 200 ≤ ∆ b2 ≤ 133 .3
3
(3)分析结论 (3)分析结论
原问题 可行 可行 不可行 不可行
对偶问题 可行 不可行 可行 不可行
结论或继续计算的步骤 仍为最优解 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 引入人工变量， 引入人工变量，编制新单纯形表 进行求解
x1, x3为非基变量 所以 ∆c1 ≤ 3.25, ∆c3 ≤ 2.75, c1 ≤ 4.25 c3 ≤ 5.75
6
（2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析 • 由于基变量对应的价值系数在CB中出现，因此它会影响所 中出现， 不考虑ark=0的情况，因为当 有非基变量的检验数 ark=0时，cj的变化不影响zk， • 只有一个基变量的 cj′ 发生变化，变化量为∆ cj′ 发生变化，变化量为∆ 同时因为基变量检验数始终 • 令 cj′ 在CB中的第k行，研究非基变量xj 机会成本的变化 为0，不考虑其变化。
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 非基变量对应的价值系数变化， – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数 基变量对应的价值系数变化，
（1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
要保持 (c j + ∆c j ) − z j ≤ 0 故有 ∆c j ≤ −(c j − z j )
a '1,n +i M a ' k ,n +i M
L O L O
a ' m,n +i L + ∆bk ),L bm )
a '1,n + m M ' a k ,n + m M ' a m ,n + m
T
为保证最优解的基变量 不发生变化, 必须满足 X B = B −1b = b′ ≥ 0
'
要求对所有k 都成立, 从而有 − bk ' − bk ' a i ,n + k > 0 ≤ ∆bi ≤ min ' a i , n + k < 0 max ' k k a i ,n + k a i ,n + k 此时, 基变量的解值和目标函数会发生变化
− 3 .25 − 0 .25 − 2 .75 − 1 max , ≤ ∆ c 4 ≤ min − 2 , − 1 1 2 − 0 .25 ≤ ∆ c 4 ≤ 1, 3 .75 ≤ c4 ≤ 5
• 有一边为空集如何处理 • 为什么akj=0不出现在任何一边的集合中 • 与对偶单纯型法找入变量的公式一样
为保证所有非基变量检 验数仍满足最优条件 , 有 cj − zj cj − zj max a kj > 0 ≤ ∆ c j ' ≤ min a kj < 0 j j a kj a kj
7
CB 0 4 5
XB x5 x4 x2
b 100 200 100 1300 c j -zj
' '
X = X + ∆bi P n +i
N 0 '
OBJ = C B X
N
N
14
CB 0 4 5
XB x5 x4 x2
b 100 200 100 1300 c j -zj
1 x1 1/4 2 -3/4 4.25 -3.25
5 x2 0 0 1 5 0
3 x3 -13/4 -2 11/4 5.75 -2.75
灵敏度分析内容： 灵敏度分析内容： (1)参数 的影响分析; (1)参数 Cj,bi,aij的影响分析; 增加约束或变量的影响分析 或变量的影响分析； (2) 增加约束或变量的影响分析；
2
5.2 灵敏度分析工具与原理
(1)灵敏度分析工具 (1)灵敏度分析工具 Pj’ =B-1Pj b’=B-1b
σj =Cj-CBB-1Pj=Cj-CBPj’ Z0=CBTB-1b=CBb’ (2)灵敏度分析原理 (2)灵敏度分析原理 （LP）最优基保持不变 σj ≤0 b’≥0 LP）
15
课堂练习： max f ( x ) = 2 x1 + 3 x 2 s .t . 2 x1 + 3 x 2 4 x1 5 x2 x1 , x 2 ≤ 12 ≤ 16 ≤ 15 ≥0
z j + ∆z j = ∑ (ci′ + ∆ci′)aij = ∑ ci′aij + ∆ci′akj
i =1 i =1
m
m
要满足 c j − ( z j + ∆z j ) ≤ 0, 则有 c j − z j ≤ akj ∆c′ k 当 akj > 0, 有 cj − z j ′ ∆ck ≥ akj > 0 akj 当akj < 0, 有 cj − z j ′ ∆ck ≤ akj < 0 akj
5
例5.1
CB 0 4 5 XB x5 x4 x2 b 100 200 100 1300 cj-z j 1 5 3 x1 x2 x3 1/4 0 -13/4 2 0 -2 -3/4 1 11/4 4.25 5 5.75 -3.25 0 -2.75 4 x4 0 1 0 4 0 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 1/4 1 -3/4 0.25 -0.25 0 x7 -1 -1 1 1 -1
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x B = 'B
'
当 a i,n+k > 0, 则有
−1
(b + ∆ b ) = B
−1
b + B '− 1 ∆ b = b ' + B
0 ' ' M − bi − bi ' ' ∆bk b1 ≤ ' ∆b ≥1 ' k b 0 ' a i,n+k ' a i,n+k b 2 + B −1 ∆ b = b 2 + ∆ b P ' = k n+k k M M 0 ' ' bm bm M 0 ' a1,n+1 L a'1,n+k L a'1,n+m b 1' + ∆ b k a 1' , n + k ' ' M O M M 'O b 2 + ∆ b k a 2 ,n + k ' ' = ≥ −10 ,即,n+b i L ∆'i,b+kk aLn +ak'i,n+≥ 0 + an i, m B = ai 1 M O M O M ' M ' a' b m + ∆ b k a m ,n + k L a' L a'
5.1 灵敏度分析的概念与内容
灵敏度分析概念： 灵敏度分析概念： (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/ (1)当线性规划有关参数和条件发生变化时，分析其最优基/ 当线性规划有关参数和条件发生变化时 最优解/最优值的变化情况； 最优解/最优值的变化情况； (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化， (2)分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化，其最优 分析线性规划相关参数和条件在什么范围内变化 基/最优解/最优值不变。 最优解/最优值不变。
−1 / 5 m ax ≤ ∆ c2 1/ 5 − 1 ≤ ∆ c2 , 2 ≤ c2
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5.4 右端项 bi 的灵敏度分析
约束条件右端项b 约束条件右端项bi的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变 化。由对偶单纯形法可看出b变化反映到最终单纯形表上将引起右 由对偶单纯形法可看出b 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。 边系数列数字的变化,结论可能出现第一或第三的两种情况。出现第 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。 一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。出现 第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解 。 第三种情况时， 原问题 对偶问题 可行 可行 不可行 不可行 可行 不可行 可行 不可行 结论或继续计算的步骤 仍为最优解 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 迭代求出最优（对偶单纯形法） 引入人工变量， 引入人工变量，编制新单纯形表进行求解 11
0 . 25 125 + 100 1 . 00 = 300 − 0 . 75 25 OBJ ' = 125 × 0 + 300 × 4 + 25 × 5 = 1325
100 ' ' X ' = b + ∆ b ⋅ P6 = 200 100
CB XB b 2 X1 3 0 x4 4 3 x2 3 OBJ=15 cj-zj
2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1/2 -1/2 0 -1
0 0 x4 x5 0 -1/5 1 4/5 0 1/5 0 -1/5
−1 −1/ 5 max ≤ ∆c1 ≤ min −1/ 5 1/ 2 − 2 ≤ ∆c1 ≤ 1, 0 ≤ c1 ≤ 3
' i,n + k
当 a i,n+k < 0, 则有
−1
∆b
⇒ ∆ bk a
≥ −b

m,n +1
m, n + k
m, n + m
' i
13

当 a 'i ,n+ k > 0, 则有 − bk ∆bi ≥ ' a i ,n + k
'
当 a 'i ,n+k < 0, 则有 − bk ∆bi ≤ ' a i ,n+ k
8
例2： max f ( x ) = ( 2 + λ1 ) x1 + (3 + λ2 ) x2 2 x1 + 3 x 2 ≤ 12 4 x1 ≤ 16 s.t . 5 x2 ≤ 15 x1 , x 2 ≥ 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
9
上例题的最优单纯形表为： 上例题的最优单纯形表为：
1 x1 1/4 2 -3/4 4.25 -3.25
5 x2 0 0 1 5 0
3 x3 -13/4 -2 11/4 5.75 -2.75
4 x4 0 1 0 4 0
0 x5 1 0 0 0 0
0 x6 Байду номын сангаас/4 1 -3/4 0.25 -0.25
0 x7 -1 -1 1 1 -1
设x4的价值系数增加∆c4，对应k=2（第二行）
• 设XB=B−1b是最优解，则有 B=B−1b≥0 是最优解， 是最优解 则有X • b的变化不会影响检验数 的变化不会影响检验数 • b的变化量∆b可能导致原最优解变为非可行解 的变化量 可能导致原最优解变为非可行解
a1' ,n +1 L O M −1 a' 设 B = k ,n +1 L M O ' a m ,n +1 L b′ = (b1 , b2 , L , (bk
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
(又称为后优化分析) 又称为后优化分析)
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化:C, b, A 哪些参数容易发生变化: • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
4
5.3 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 变动可能由于市场价格的波动， • cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下，分析cj 的灵敏度分析是在保证最优基变量不变的情况下， 允许的变动范围∆ 允许的变动范围∆cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 的变化会引起检验数的变化，