人教版数学八年级上册13.4最短路径问题 优秀教学设计

第十三章轴对称

13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】

【教学流程】

前面我们研究过一些关于“两点的所有连

线段最短”、“连接直线外一点与直线上

各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，

我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常

涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学

知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”

探索最短路径问题

相传，古希腊亚历山大里亚城里

有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，

一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其

地出发，到一条笔直的河边

地．到河边什么地方饮马可

精通数学、物理学的海伦稍加思索，

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

从A地出发，到河边l饮马，然

(2)在河边饮马的地点有无穷多

把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线

为直线上的一个动点，上面的问题

当点C在l的什么位置时，

(如图)．

对于问题2，如何将点

处，满足直线l上的任意一点

CB′的长度相等？

：你能利用轴对称的有关知识，到上问中符合条件的点B′吗？

作法：

关于直线l的对称点

，与直线l交于点

即为所求．

你能用所学的知识证明

展示点评：从A到B要走的路线是

，如图所示，而MN

是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

a上取任意一点M′，作

AM，使点M′移动到点

移动到点A′的位置，连接

，过点N作MN⊥a于点

最短．

理由如下：如图，点M′为直线

重合)，

N′是线段AM平移得到的

MN′，A′N′＝AM

MN′＋BN′＝A′N′＋AA′

平行AA′且MN＝AA′

2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A

B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,

若点A到河岸CD的中点的距离为500米，

则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所

走的最短距离是米.

P点就是所求做的点4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两

本节课你有什么收获？

①学习了利用轴对称解决最短路径问题

②感悟和体会转化的思想

教材第91页复习题13第15题.