北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
朝阳 区2019-2020学年第一学期期末高二数学试题及答案(WORD版)
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x+取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③ （B ）①② （C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6 （C ）8 （D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）,)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=u u u r u u u rAB AC ，0⋅=u u u r u u u r AC AD ，0⋅=u u u r u u u rAD AB ，分别用123,,S S S 表示,,V V V ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________.14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.俯视图15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD 平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当=k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nn n n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-L L L所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-．…………………………………11分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++L . 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，因为AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以PA PD ==2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A，B ，(C -，(0,0,1)P ，(D -所以1)PB =-u u u r， (2,0,0)BC =-u u u r，(1,0,1)=--u u u rPD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．所以⊥PD 平面PAB ．所以u u u rPD 为平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅u u u ru u u r u u u r n n n，由图可知，二面角--A PB C 为钝角， 所以二面角--A PB C的余弦值是…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y +=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为……………………………………………………10分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-=由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN取到最大值3. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．11 / 11 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，集合{}2Z 20B x x x =∈-≤，那么AB 等于（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】D【解析】求出B 后可得A B .【详解】{}{}2Z 200,1,2B x x x =∈-≤=，故{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解以及集合的并，本题属于容易题. 2．已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（ ） A ．21,1x x ∃<-≤ B ．21,1x x ∀≥-> C ．21,1x x ∀<-> D ．21,1x x ∃≤-≤【答案】A【解析】根据全称命题否定的结构形式可得p ⌝. 【详解】p ⌝为：21,1x x ∃<-≤,故选：A. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．下列不等式中成立的是（ ） A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】D【解析】试题分析：A 中当时不成立；B 中若不成立；C 中不成立，所以D 正确 【考点】不等式性质4．函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式可得()cos 2f x x =，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期. 【详解】由二倍角的余弦公式可得()cos 2f x x =，故最小正周期为22ππ=， 故选：B. 【点睛】本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题.5．已知函数()f x 在区间(0,)+∞上的函数值不恒为正，则在下列函数中，()f x 只可能是（ ） A ．12()f x x = B ．()sin 2f x x =+C ．2()ln(1)f x x x =-+ D ．21,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩【答案】C【解析】逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于A ，当0x >时，12()f x x =的值域为()0,∞+； 对于B ，当0x >时，()sin 2f x x =+的值域为[]1,3；对于C ，因为当0x >时，2114x x -+≥，故2()ln(1)f x x x =-+的值域为1ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 所以()f x 的函数值不恒为正；对于D ，当0x >时，()21xf x =-的取值范围为()0,∞+，故选：C. 【点睛】本题考查在给定范围上的函数的函数值的正负判断，一般地，可结合解析式的具体形式选择合适的方法求出函数的值域即可，本题属于中档题.6．已知,,a b c R ∈，则“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设:p “a b c ==”，:q “222a b c ab ac bc ++>++”，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】设:p “a b c ==”，:q “222a b c ab ac bc ++>++”.若a b c ==，则222a b c ab ac bc ++=++，故“若p 则q ”是假命题. 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222a b c ab ac bc ++++≥，当且仅当a b c ==时等号成立， 故当222a b c ab ac bc ++>++，a b c ==必定不成立， 故“若q 则p ”是假命题.故“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,E E ，则1E 和2E 的关系为（ ） A ．1232E E = B ．1264E E =C ．121000E E =D ．121024E E =【答案】C【解析】考虑12lg lg E E -的值，再利用指对数转换可得1E 和2E 的关系. 【详解】由题设可得12lg lg 1.52E E -=⨯，故312101000E E ==， 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.8．已知函数4()()f x x a a R x=+-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}3a a <- B ．{}3a a >-C ．{}3a a =-D ．{}34a a -<<【答案】B【解析】函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点等价于()()0f x g x -=在()0,∞+上有两个不同的实数解，令()()()F x f x g x =-，可判断()F x 在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数，利用零点存在定理可得实数a 的取值范围. 【详解】令()()()()2453,0F x f x g x x x a x x=-=--++>. 设1202x x <<≤，则()()()121212124x x f x f x x x x x --=-， 因为1202x x <<≤，故120,x x -<1240x x -<，120x x >， 故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以当()0,2x ∈时，()f x 为减函数，同理可证：当()2,x ∈+∞时，()f x 为增函数.由2()43g x x x =-++，()0,x ∈+∞可得：当()0,2x ∈时，()g x 为增函数；当()2,x ∈+∞时，()g x 为增函数. 故()F x 在()0,2上为减函数，在()2,+∞上为增函数.因为函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，所以()F x 在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以()20F <即470a --<，故3a >-.又当3a >-时，30a +>，设()2530x x a --+=较大的解为0M =>，当x M >时，()24530,0x x a x--+>>，故()0F x >， 又当4010x a <<+时， ()()()22253453571010024x x a x x a x a x ⎛⎫--+=-+-+=-+-++> ⎪⎝⎭，故()0F x >，由零点存在定理可知，()F x 在()0,2，()2,+∞上各有一个零点. 综上，实数a 的取值范围是3a >-. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题.9．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ） A ．a b c == B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D【解析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =. 若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <， 即a c b <<或a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题. 10．已知正整数1210,,,x x x 满足当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，且22212102020x x x +++≤，则91234()x x x x x -+++的最大值为（ ）A ．19B ．20C ．21D ．22【答案】A【解析】先由i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <得到j j x ≤，再将22212102020x x x +++≤放缩为()222229912812020x x +++++≤，从而929x ≤，故可得91234()x x x x x -+++的最大值. 【详解】因为当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，故1223121,1,,1j j x x x x x x -≤+≤+≤+≤，诸不等式相加可得11j x j x +-≤即j j x ≤. 故()222222229912101281x x x x x +++++≤+++，所以()222229912812020x x +++++≤，2992218150x x +-≤，故929x ≤.又12341,2,3,4x x x x ≥≥≥≥，故()91234()29123419x x x x x -+++≤-+++=. 当910,(18),29,30i x i i x x =≤≤==等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的性质，解题中注意根据欲求最值的类型去估算9x 的最大值以及1234x x x x +++的最小值，注意检验，本题属于难题.二、填空题11．sin330︒=_________. 【答案】12-【解析】根据诱导公式可求该值. 【详解】()1sin330sin 36030sin302︒=︒-︒=-︒=-.故答案为：12-. 【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．本题属于基础题.12．若集合{}220A x x ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[-【解析】根据一元二次不等式的解集为空集可得判别式小于等于零，从而可求实数a 的取值范围. 【详解】因为{}220A x x ax =-+<=∅，故220x ax -+<无解，所以280a -≤即a -≤≤故答案为：-⎡⎣.【点睛】本题考查一元二次不等式的解，注意解的形式与判别式的正负之间的关系，本题属于容易题.13．已知函数2()log f x x =，在x 轴上取两点12(,0),(,0)A x B x （120x x <<），设线段AB 的中点为C ，过,,A B C 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象分别交于111,,A B C ，则点1C 在线段11A B 中点M 的________.（横线上填“上方”或者“下方”） 【答案】上方【解析】比较122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()122f x f x +的大小关系后可得正确结论. 【详解】如图，M 的纵坐标为()()122M f x f x y +=，1C 的纵坐标为1122C x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.又()()()1221221log log 22f x f x x x +==1212log 22x x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为120x x <<，由基本不等式可得122x x +> 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故1C 在M 的上方. 故答案为：上方.【点睛】本题考查对数函数的图像和性质以及基本不等式，注意根据图象得到两点的位置关系后需给出严谨的证明，本题属于中档题. 14．给出下列命题：①函数π()sin(2)2f x x =+是偶函数；②函数()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增；③直线π8x =是函数π()sin(2)4f x x =+图象的一条对称轴；④将函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，得到函数cos 2y x =的图象.其中所有正确的命题的序号是_______. 【答案】①②③【解析】逐项判断后可得正确的结论序号. 【详解】对于①，π()sin(2)cos22f x x x =+=，故()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，故①正确.对于②，因为2,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而tan ,,22y u u ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭为增函数，故()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增，故②正确.对于③，π()sin(2)4f x x =+图象的对称轴为,28k x k Z ππ=+∈，当0k =时，8x π=，故③正确.对于④，函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，所得图象对应的解析式为πcos(2)3y x =+，故④错误.故答案为：①②③. 【点睛】本题考查正弦型函数、余弦型函数和正切型函数的图像和性质，通常用复合函数的方法来讨论此类，比如考虑函数的单调性时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再确定三角函数在相应的u 的范围上的单调性，从而可确定复合函数的单调性，再如求函数的对称轴、对称中心时，可以由三角函数的对称轴或对称中心得到复合函数图象的对称轴或对称中心.另外，图象平移或周期变换时，都是自变量x 本身变化.15．已知在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是______.若A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组12xy x a y a>+⎧⎪⎨⎛⎫>+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数a 的取值范围是____.【答案】(1,1)- [)1,-+∞【解析】根据关于y 轴对称点的特征可得A '的坐标， 考虑两个点的横纵坐标都满足不等式组时实数a 的取值范围，该范围在R 上的补集即为所求的实数a 的取值范围. 【详解】因为点,(1,1)A A '关于y 轴的对称，故()1,1A '-.当,A A '都满足不等式组时，有111112a a ->+⎧⎪⎨⎛⎫>+ ⎪⎪⎝⎭⎩，故1a <-.所以A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组时，实数a 的取值范围为[)1,-+∞.故答案为： (1,1)-，[)1,-+∞. 【点睛】本题考查坐标平面上点的对称性以补集思想在取值范围中的应用，注意当题设有至少、至多等关键词时，可从反面考虑，本题为中档题.16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[)0,x ∈+∞表示，其中0,0A ω>>.如图，平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，r 为半径作圆，A 为圆周上的一点，以Ox 为始边，OA 为终边的角为α，则点A 的坐标是________，从A 点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点(,)B x y ，动点B 在y 轴上的投影C 作简谐运动，则点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为___________.【答案】(cos ,sin )r r αα s i n ()y r t ωα=+（0t ≥） 【解析】根据三角函数的定义可得A 的坐标和B 的坐标，C 的纵坐标即为B 的纵坐标. 【详解】 设(),A x y ，则cos ,sin ,x yr rαα== 故cos ,sin ,x r y r αα==即()cos ,sin A r r αα.经过t 秒，以OB 为终边的角为t ωα+，故()()()cos ,sin B r t r t ωαωα++， 所以点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为sin()y r t ωα=+，0t ≥. 故答案为：()cos ,sin r r αα，sin()y r t ωα=+，（0t ≥）. 【点睛】本题考查三角函数的定义，注意根据终边的一点的坐标和角对应的三角函数的关系来解题，本题属于基础题.三、解答题17．已知集合{}2560A x x x =--≤，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈. （1）求集合A R ð；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）A R ð{16}x x x =<->或；（2）7(,2⎤-∞⎥⎦.【解析】（1）求出集合A 后可得A R ð.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，就B =∅和B ≠∅分类讨论后可得实数m 的取值范围 【详解】（1）{}16A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或. （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -，则<2m ；当B ≠∅时，由题意得21121611m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩，解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式组，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.18．已知函数2()sin 2f x x x =-.（1）若点1,)2P 在角α的终边上，求tan2α和()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期；（3）若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）tan 2α=()f α=0；（2）最小正周期为π；（3）最小值为【解析】（1）根据三角函数的定义可求α的三个三角函数，再利用倍角公式可求tan α和()f α的值.（2）利用降幂公式和辅助角公式可得()2sin(2)3f x x π=+，利用最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期. （3）求出23x π+的取值范围后利用正弦函数的性质可求()f x 的最小值.【详解】 （1）因为点1()22P -在角α的终边上，故1r OP ==， 所以1sin 2α=-，cos 2α=，tan 3α=-.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯===--22()sin 22sin cos f αααααα=-+=-21120222⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）)2()sin 2sin 21cos 2f x x x x x =-+=-+sin 222sin(2)3x x x π==+ ，所以()f x 的最小正周期为22ππ=． （3）因为[0,]2x π∈，所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x有最小值【点睛】本题考查三角函数的定义、二倍角的正弦、余弦和正切公式以及正弦型函数的周期、最值，注意形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等． 19．已知函数2()xf x x a=-（x a ≠）. （1）若2(1)(1)f f =--，求a 的值；（2）若2a =，用函数单调性定义证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（3）设()()3g x xf x =-，若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a =-；（2）证明见解析；（3）13|038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 【解析】（1）由2(1)(1)f f =--可直接求出a 的值；（2）当2a =时，可利用单调性定义可证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（3）函数()g x 在(0,1)上有唯一零点等价于2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点（x a =不是函数()h x 的零点），后者可结合函数图像得到实数a 满足的不等式组，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】（1）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. （2）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----， 因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.（3）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=--因为()g x 在()0,1有唯一零点，故2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点且x a =不是函数()h x 的零点. 又2()2h a a =，故0a ≠.因为2()233h x x x a =-+的图象的对称轴方程为34x =，故()()01h h >. 因为()h x 在()0,1上有唯一零点，故3040h a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≠⎩或者()()30400100h h h a ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪≠⎪⎩，即93080a a ⎧-=⎪⎨⎪≠⎩或930803100a a a a ⎧-<⎪⎪⎪>⎨⎪-≤⎪≠⎪⎩，故38a =或103a <≤. 所以a 的取值范围是13|038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】本题考查函数单调性的证明以及二次函数的零点，注意一元二次的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.（1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；（2）动态检验指让图像上下二元平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制；（3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.20．已知函数2()log ()f x x a =+（0a >）.当点(,)M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点(3,2)M x y '在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（1）解关于x 的不等式()1f x <；（2）对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；（3）设函数()()()F x f x g x =-，(0,1)x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值. 【答案】（1）{}2x a x a -<<-；（2）(0,1]；（3）23log 32-. 【解析】（1）利用对数函数的单调性可解不等式()1f x <.（2）先求出()g x ，再考虑不等式()()0f x g x -<对任意的(0,1)x ∈恒成立后可得实数a 的取值范围.（3）当1a =时，22131()log 2(1)x F x x +=+，令31=x u +，求出14(4)9y u u=++的最小值后可得()F x 的最大值. 【详解】（1）依题20log ()1x a x a +>⎧⎨+<⎩，则02x a x a +>⎧⎨+<⎩，所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a -<<-. （2）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方， 即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--恒成立①. 由030x a x a +>⎧⎨+>⎩对任意的(0,1)x ∈总成立，0a ≥，结合题设条件有0a >.在此条件下，①等价于(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+恒成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-， 要使(0,1)x ∈时，()0h x <恒成立，只需(0)0(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩即22020a a a a ⎧-≤⎨+-≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(0,1].（3）由（2）可得当=1a 时，在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+， 设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<，则13u x -=， 所以22()1143(4)9u u t u u +==++， 因为44u u+≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98，所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的性质（如最值）以及对数不等式的恒成立，解决这类问题，通常是“脱去对数符号”，把问题转化为二次函数在给定范围上的恒成立或分式函数的最值来讨论，本题属于中档题.。
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)
高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷(解析版)
北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
19-20年度朝阳高一期末数学答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高一年级数学答案 2020.1二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17． (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）{16}A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或 . ……………………4分（Ⅱ）因为A B A =U ，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -则<2m ；当B ≠∅时，由题意得211,216,11,m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦. ……………………14分18．(本小题满分18分) 解：（Ⅰ）因为点)2P -1在角α的终边上，所以1sin 2α=-，cos α=，tan α=.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯-===--2()sin 2f ααα=-+19．(本小题满分18分)解：（Ⅰ）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. ………3分 （Ⅱ）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----，因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->， 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.……………………10分（Ⅲ）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=-- 若()g x 在()0,1有唯一零点，即2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点 (x a =不是函数()h x 的零点) ， 因为2()233h x x x a =-+的对称轴方程为34x =， 若()h x 在()0,1上有唯一零点，由题意：（1）当(0)(1)0h h ⋅<时，3(31)0a a -<，解得103a <<； （2）当=0∆时，924=0a -，解得3=8a ，则方程()0h x =的根为34x =，符合题意；（3）当(1)0h =时，解得1=3a ； 则2()231h x x x =-+.()0h x =的两个根为1=1x ，21=2x ，符合题意. 所以a 的取值范围是13038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 ……………………18分 20． (本小题满分20分) 解：（Ⅰ）依题20,log ()1,x a x a +>⎧⎨+<⎩则0,2,x a x a +>⎧⎨+<⎩所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a-<<- ……………………5分（Ⅱ）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈， ()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--成立.由0,30x a x a +>+>，0a >得3a x >-. 在此条件下，即(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-， 要使(0,1)x ∈时，()0h x <成立，只需(0)0,(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(]0,1.……………………13分（Ⅲ）当=1a 时，易知在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+，设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<,则13u x -=. 所以22()1143(4)9u u t u u +==++ 因为44u u +≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98.所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.……………………20分。
2019北京朝阳高一(上)期末数学试卷
πx
14. 设函数 f(x)=sin 3 ,则 f(1)+ f(2)+ f(3)+···+ f(100)=
15. 设集合 M={1,3,6,9,12,15},集合 N 满足：①有两个元素；②若 x∈N,则 x+3∈M 且 x-3∈M。请写出两个满足条 件的集合 N=
{1
16. 已知函数 f(x)= 3|x|、x ≥ a a ∈ R 2x ‒ x2,x < ������
（I）当 a=1 时，分别求 A∩B 与 A∪B
（II）若 A ⊆ B,求实数 a 的取值范围；
（III）若（∁B������）∩B=B，求实数 a 的最大值. 18. （本小题满分 18 分）
已知函数 f（x）=cos²x+sinxcosx
π
（I）求 f（0），f（4）的值； （II）求 f（x）的最小正周期及对称轴方程；
x y=2x
x y=2x
x y=2x A. 524288
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
8
16
32
64
128
256
11
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18
2048
4096
8192 16384 32768 65536 131072 262144
21
22
23
24
2097152
4194304
8388608
16777216
B. 8388608
1
（II）判断函数 g（x）=-4log2x 是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理 由。
北京市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷
北京市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）已知，则函数的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）已知0<a<1,则方程的实根个数（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2019高一上·吉林月考) 若角是第四象限角，则是哪个象限角（）A . 第一象限角或第二象限角B . 第二象限角或第三象限角C . 第一象限角或第三象限角D . 第二象限角或第四象限角4. （2分）(2016·枣庄模拟) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= （弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A . 6平方米B . 9平方米C . 12平方米D . 15平方米5. （2分） (2017高一下·姚安期中) 若α是第一象限的角，则所在的象限是（）A . 第一象限B . 第一、二象限C . 第一、三象限D . 第一、四象限6. （2分）在ABC中，若，则ABC必是（）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2017高一下·菏泽期中) cos135°的值为（）A .B .C .D .8. （2分）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向右平移单位D . 向左平移单位9. （2分）下列函数中最小正周期为的是（）A .B .C .D .10. （2分）下列函数中，在区间(0，)上为增函数且以为周期的函数是（）A .B .C .D .11. （2分）设函数，则下列结论正确的是（）A . f(x)的图像关于直线对称B . f(x)的图像关于点对称C . 把f(x)的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像D . f(x)的最小正周期是，且在[0，]上为增函数12. （5分） (2017高三上·太原期末) 将函数f（x）= sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·武汉期末) 函数的最大值是________，最小值是________.14. （1分） =________．15. （1分）函数的零点个数为________ ．16. （1分） (2015高一下·金华期中) 已知函数f（x）=x2+（m+2）x+（2m+5）（m≠0）的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知角α终边过直线l1：x﹣y=0和直线l2：2x+y﹣3=0的交点P．求sinα，cosα，tanα的值．18. （10分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知， .（1）求的值；（2）求的值.19. （10分） (2019高一上·鹤岗期末) 已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.20. （10分） (2020高一上·铜仁期末) 已知函数 .（1）求的值；（2）当时，求的值域；（3）当时，求的单调递减区间.21. （5分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（x）=（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，试确定函数y=loga（x+1）在区间（0，3）上的值域．22. （10分） (2016高一上·天水期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。
2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷 及答案
2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10个小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E28．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4}9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝．12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值参考答案一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T＝，可得结论．解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4} 【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1} ．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y 与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B ≠∅时，，解出m的范围即可．解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．。
北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．307．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b28．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数以及二次根式的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了对数函数，二次根式的性质，是一道基础题．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过观察图象即可比较出f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系．解答：解：根据图象f（）．故选B．点评：考查由图象比较函数值大小的方法，以及偶函数图象的对称性．5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．解答：解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．点评：本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．30考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：先求出身高在[120，130）、[130，140）和[140，150]的频数，再计算用分层抽样方法选取身高在[120，130）内的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，得；身高在[120，130）的频率为0.030×10=0.3，频数是0.3×100=30；身高在[130，140）的频率为0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20；身高在[140，150]的频率为0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10；在这三组学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，身高在[120，130）内的学生中选取的人数为20×=10．故选：C．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2考点：四种命题．专题：不等式．分析：对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．解答：解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．点评：考查若a＞b，对a，b求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变．8．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先设x＜0，所以﹣x＞0，所以根据f（x）是奇函数，所以便有f（x）=﹣f（﹣x）=．解答：解：设x＜0，﹣x＞0；∴．故选：A．点评：考查求奇函数在对称区间上解析式的方法，以及奇函数定义的运用．9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A． B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：根据已知中，实线表示即时曲线y=f（x），虚线表示平均价格曲线y=g（x），根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论．解答：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选C．点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据实际情况，分析出函数y=f（x）与y=g（x）单调性的关系，是解答本题的关键．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将所给的不等式化为：“f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）”，得到不等式对应的函数含义，根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．解答：解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；对于B、f（x）=x2﹣2x在定义域上不是单调函数，在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；对于C、f（x）=e x是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于D、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D正确．故选D．点评：本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用系统抽样的性质求解．解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=27．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设出幂函数y=f（x）的解析式，根据图象过点（2，8），求出解析式，计算函数值即可．解答：解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（2，8），∴2a=8；解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题，是基础题目．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x+1＞0，可得y=x+=x+1+﹣1，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=1当且仅当x+1=即x=0时取等号，故答案为：1．点评：本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是 []．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的公式，只要求出△AFD的面积范围，由几何概型的概率公式可求点M落在△AFD内部的概率的取值范围解答：解：由题意，设△AFD的高为h，因为F是上任意一点（包括端点），所以h∈[1，2]，所以△AFD的面积范围为[，1]，又矩形ABCD的面积为2，由几何概型的公式可得点M落在△AFD内部的概率的取值范围[]；故答案为：[]．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用，关键是求出△AFD的面积范围．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是①③④．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．分析：根据已知中性质P的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．解答：解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．解答：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据线性组合函数的定义，解方程即可．（Ⅱ）利用换元法，结合对数函数的性质进行求解．（Ⅲ）利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数的性质，将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）设a•（x2+1）+b•（x2﹣x）=x2﹣2x+3，即（a+b）x2﹣bx+a=x2﹣2x+3，则，此时方程组无解，故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅱ）∵a=2，b=1，∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log2x+log x=2log2x﹣log2x=log2x，若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，即m＜﹣3（log2x）2+2log2x在x∈[，4]上有解，设t=log2x，则∵x∈[，4]，∴t∈[，2]，则不等式等价为m＜﹣3t2+2t，∵y=﹣3t2+2t=﹣3（t﹣）2+，∴当t=时，函数y取得最大值，则m＜，实数m的取值范围是m＜．（Ⅲ）由题意φ（x）=x+，（1≤x≤9），①若∈（1，9），则φ（x）在[1，）上递减，在（，9]上递增，故φ（x）min=φ（）=2，由，解得1＜b≤4．②若≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，故φ（x）min=φ（1）=1+b，由，解得1＜b≤1．③若≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，故φ（x）min=φ（9）=9+，由，此时不等式组无解．综上b的取值范围是（0，4]．点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，以及不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．。
北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x）＝，f ′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x ﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】(1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f （x），得f （x）＝2f（x﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
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北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f （x ）=a （x ﹣a ）（x+a+3），g （x ）=2x ﹣2，若对任意x ∈R ，总有f （x ）＜0或g （x ）＜0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4）B ．[﹣4，0）C ．（﹣4，0）D ．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是 ．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= ．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a= ．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁B；R（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有 ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有 ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．32A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x增大时，增大，即y增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x∈（0，1）时，y=﹣x2+2x，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b＞c＞a．故选A．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= 0.03 ．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y 轴对称，则a= ． 【考点】函数的图象． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由题意可得函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 故函数f （x ）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x ∈R ，都有f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③若T 为一个非零有理数，则f （x+T ）=f （x ）对任意x ∈R 恒成立；④在f （x ）图象上存在三个点A ，B ，C ，使得△ABC 为等边三角形．其中正确命题的序号是 ①②③④ ．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x 是有理数，则f （x ）=1，则f （1）=1，若x 是无理数，则f （x ）=0，则f （0）=1，即对于任意的x ∈R ，都有f （f （x ））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=﹣f （x ），则函数f （x ）是偶函数，故②正确；对于③，若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；对于④，取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确． 故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁B；R（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}．则∁R所以A∩∁B={x|3≤x≤5}．R（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m ，它们均不在（3m ，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ） 由题设，若函数f （x ）为k 阶伸缩函数，有f （kx ）=kf （x ），且当x ∈（1，k]时，f （x ）的取值范围是[0，1）．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，．∵，所以． ∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）．当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。