2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题论文

2327'8.261'' 46.845'' T 0.0059'' T 2 0.00183'' T 3
其中， T 表示儒略世纪数，由儒略日数计算，其计算公式为：
JD 2451545 T 36525
（4 ）
其中， JD 为儒略日数，为自 1900 年 1 月 0 日 12 时起至计算时刻之间的天 数。可从天文年历中查出，本文运用下列公式计算: 设 Y 为给定年份， M 为月份， D 为该月日期（可以带小数） 对格里高利历，有 A=INT(
问题重述
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约 的情景。请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论： 1. 定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后” 。根据天 文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳 梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。并根据已有的天文资料（如太 阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的 合理性。 2. 根据所建立的模型，分析 2016 年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生 的日期与时间。根据模型判断 2016 年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、 乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不 能，请给出原因。
日落时间， 月出时间的统计，再计算出日落月出的时间差以及月亮与地平面的夹 角，从而判定这些城市是否会发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的现象。
模型假设
1. 假设柳树高度为 5m，人距柳树的距离 15 米,人的身高为 1.6m,根据三角 函数和相似三角形基本数学知识求出月亮在空中的角度为 12.77°。 2.假设当时诗人是在现在的北京，假设当时的月亮与地平面的夹角是 0°～ 20°。 3.假设没有雾霾、台风以及各种天气因素的影响。 4.假设把观测点当作一个理想的点来验算。 5.假设云层对太阳光没有散射效应。
Y A ) , B 2 A INT ( ) , 则 100 4
（5）
JD INT (365.25*(Y 4716)) INT(30.6001*(M 1)) D B1524.52
其中， 第一项为所考虑年份， 每年按 365 天计算， 第二项为考虑闰年的情况， 第三项考虑 1900 年 1 月 0 日的 12 个小时。
2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C 题论文
月上柳梢头，人约黄昏后
摘 要
“月上柳梢头，人约黄昏后”里面所提到的约会时间，就是月出与黄昏后同 时出现的时间段。本文通过建立数学模型，并以北京为例,计算了北京的各参数 值，与现实数据作比较来验证模型，再判断什么条件下会出现“月上柳梢头，人 约黄昏后”这一现象，从而给出黄昏后的定义以及发生这一情景的条件。然后根 据条件，利用 Excel 表格对哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、和乌鲁木齐这六 个城市的经纬度、日落时间、月出时间、以及日落月出时间差等进行了计算和统 计，通过分析比较，从而判断出各个城市地区能否出现“月上柳梢头，人约黄昏 后”这一现象。 关键词：地心天顶距，日落，月出，月亮高度，黄昏后
太阳的坐标
已知上述天文参数，可求出计算时刻太阳的黄经 ：
S h 0.033501*sin(h Ps) 0.000351*sin(2(h Ps))
0.000005*sin(3*(h Ps))
（6）
因为太阳在黄道上，所以黄纬为零。 由于天赤道、 黄道和太阳所在的时圈构成直角三角形；其中直角就是天赤道 和时圈的交角。根据球面正弦定律，这个三角形的边和角有如下关系：
问题分析
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，释义：去年元宵夜 之时，花市上灯光明亮如同白昼。佳人相约，在月上柳梢头之时，黄昏之后的情 景。显然出现这一情景的时间比较短，否则佳人相约就没有了确切的时间，必会 造成某一方长时间的空等。 经过人们的长期观察， 出现这一现象， 必定是在太阳、 月亮和地球三者共线之日，也就是只会发生在农历每月的十五日。 然后根据这一现象以及我们的生活中的实际观察，做出适当的假设，经过计 算，定义出“月上柳梢头”时月亮在空中的角度范围。 再通过分析与计算， 得出某地农历每月的日落与月出时间，看其交叉范围是 否在定义的角度范围内，从而确定“月上柳梢头” 、 “人约黄昏后”这一现象发生 的时间条件。再根据日落与月出时间的比较与分析，确定黄昏后的时间。 通过建立数学模型，并对模型进行验证分析和修正，再根据现象发生的时间 条件进而算出 2016 年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。 通过对哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐这六个城市的经纬度，
天文参数
1895 年纽康姆给出某时刻太阳天文参数 h ， Ps 、 的计算公式。如下：
h 279.69668 36000.76892T 0.00030T 2
Ps 281.22083 1.171902T 0.00450T 2 0.000003T 3
（1） （2） （3）
sin : sin s sin : sin 90
（7）
式中， 为太阳赤纬； 为按（3）式计算黄赤交角。上式可写为：
sin sin *sin s
（8 ）
太阳相对于观测点的位置
本研究采用观测点的地心天顶距 来表示太阳在某时刻相对于某一点的位
符号说明
h 为太阳平黄经 Ps 为太阳近地点的平黄经为赤道夹角(黄来自交角)T 表示儒略世纪数
p 为月亮在近地点的平黄经
N 为月亮升交点的平黄经 为观测点的地方恒星时
模型一的建立与求解
我们观测到的太阳高度和方位角与太阳在天球中的坐标和观测点所处的位 置有关。 太阳在天球中的坐标是时间的函数。我们首先介绍计算太阳在天球中位 置的基本单元——随时间变化的天文参数， 然后介绍随天文参数变化的太阳坐标 以及太阳相对于观测点的地心天顶距的计算方法。 根据这些基本参数给出日落时 刻、太阳高度的计算方法。