轴对称图形提高练习题

轴对称图形提高练习题

一、 教学目标

掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法；等腰三角形性质的活用 二、 教学重难点

重点：轴对称的实际应用、等腰三角形性质

难点：轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明 三、 基础知识梳理

轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等，解决办法是作对称点；

等腰三角形所有的性质包括：等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等，主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题 四、 典型例题分析

题型一：角平分线及其中垂线的应用

例1. （1）三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形____ ____的

交点．

（2）三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形____ ____的交

点． （3）

例2. △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD =3：2，BC =15cm ，则点D

到AB 的距离是__________．

例3. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + AD

例4. 如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC

的外角平分线．

D B A

C

④

①②

③ A

A C

D

B

C

E

D 练习：

1. 如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，若

∠BAF=60°，则∠DAE=

2. 如图,在△ABC 中，∠C=90°，AD 的平分∠BAC 交BC 于D ，点D 到AB 的距离为7 cm ，

CD=

3. 在△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB= ，∠CBD=

4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若∠B=20°，

则∠DAC=

5. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分

线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm

6. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它

到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

7. 如图,△ABC 中,∠BAC=110°,AB 的垂直平分线交BC 于点D,AC 的垂直平分线交BC 于点

E,BC=10cm.

(1) 求△ADE 的周长;(2)求∠DAE 的度数.

、

E D

C B A

F

G

E D C

B A

1题图 2题图 3题图 4题图

题型二：轴对称性质的应用——最短路线问题

例5.如图，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？

（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？

例6. (1)在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．

(2)在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

练习：

1.在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在

小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?

小

岛

观测点

2.如图，在直线CD上有一动点P，P在CD上从右往左运动的过程中，找出

（1）点P到A、B距离之和最小时的位置；

（2）点P到A、B距离相等时的位置；

（3）点P到A、B的距离之差最大时P的位置。

E

D

C

A

B

H

F

题型三：等腰三角形的性质 例7. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少︒30，求这个三角形的三个内角的度

数。

例8. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数

例9. 如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，CD BE =，︒=∠70B ，CF BD =。

求：EDF ∠的度数。

例10. 如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，

AD 交CE 于H ， ①求证：△BCE≌△ACD； ②求证：CF=CH ；

③判断△CFH 的形状并说明理由．

A B

D E

A B C

R P

Q 例11. 如图，在△ABC 中， P 是的BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q ，交CA

的延长线于点R ，若AQ=AR ，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由。

练习：

1. 等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为

等腰三角形的一个角为96°，则它的底角为

2. 等腰三角形的两个内角之比是1∶2，那么这个等腰三角形的顶角度数为___________.

3. 等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边

长为____ _.

4. 如图， 中， ，试说明： ．

5. 如图，已知：ABC ∆是等边三角形，分别在AC 、BC 边上取点E 、F ，使CF AE =，

BE 、AF 相交于点D .求证：︒=∠60BDF .