2021年九年级中考专题复习——反比例函数与图形面积

2021年中考专题复习——反比例函数与图形面积

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数(0,0)k

y x k x

=

>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且2BF AF =，则k 的值为（ ）

A ．24

B ．12

C ．6

D ．3

2．如图，面积为Rt △OAB 的斜边OB 在x 轴上，∠ABO ＝30°，反比例函数k

y x

=图象恰好经过点A ，则k 的值为（ ）

A ．﹣

B ．

C D

3．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1

y x

=上，顶点B 在反比例函数5

y x

=

上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）

A ．

32

B ．

52

C ．4

D ．6

4．如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A ，点P 是双曲线(0)k

y x x

=>上的一个动点，作PB x ⊥轴于点B ，

当点P 的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB 的面积将会（ ）

A ．逐渐增大

B ．不变

C ．逐渐减小

D ．先减小后增大

5．如图，(,)P m m 是反比例函数8

y x

=

在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边PAB △，使AB 落在x 轴上，则POB 的面积为（ ）

A ．4

B ．4+

C ．43

4

3

D ．

43

+ 6．如图所示，在直角平面坐标系Oxy 中，点、、A B C 为反比例函数(0)k

y k x

=

>上不同的三点，连接OA OB OC 、、，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，过点B C 、分别作,BE CF 垂直x 轴于点E F 、，OC 与

BE 相交于点M ，记AOD ?、BOM ?、四边形CMEF 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（ ）

A ．123S S S =+

B ．23S S =

C ．321S S S >>

D ．2

123S S S <

7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在直线28y x =-+上，且点P 的横坐标是2，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，交反比例函数4

y x

=

的图象于点A 、点B ，则四边形OAPB 的面积是（ ）

A ．4

B ．

174

C ．

194

D ．5

8．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11(0)k y x x

=

＞及22(0)k

y x x =＞的图象分别交于点A ，B ，

连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则12k k -的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6

x

在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差即S △OAC － S △BAD 等于( )

A ．3

B ．6

C ．4

D ．9

10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，A （1，0），B （0，4），反比例函数y ═k

x

的图象过点C ，边AC 与y 轴交于点D ，若S △BAD ：S △BCD ＝1：2，则k ＝（ ）．

A ．﹣4

B ．﹣6

C ．﹣7

D ．﹣8

二、填空题

11．如图，点P 是正比例函数y x =-的图象与反比例函数k

y x

=

的图象在第二象限内的交点，PA OP ⊥交x 轴于点A ，且POA 的面积为2，则k 的值是_________．

12．如图，直线2y x =-与反比例函数()0k

y x x

=

>的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过A 作AB x ⊥轴，交反比例函数图象与点B ．若AC BC =，则OBC 的面积为____．

13．如图，点A 在反比例函数y ＝

1

k x （x ＜0，k 1＜0）的图象上，点B ，C 在反比例函数y ＝2k x

（x ＞0，k 2＞0）的图象上，AB ∥x 轴，CD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ．若△ABC 与△DBC 的面积之差为3，CE

DE

＝

2

3

，则k 1的值为_____．

14．点P ，Q ，R 在反比例函数k

y x

=

（常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1＋S 3＝27，则S 2的值为_______．

15．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y ＝3

x

的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是_____；

16．如图，双曲线()3

0y x x

=

>经过四边形OABC 的顶点90A C ABC ∠=?、，，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，//AB x 轴， 将ABC 沿AC 翻折后得AB C '，'B 点落在OA 上，则三角形ABC 的面积是________．

17．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数(0)k

y x x

=>的图象与

线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，若OAB ?的面积为3，则k 的值为__________．

18．如图，点A 、点B 是函数y=k

x

的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积是8，则k 的值是__．

19．如图△ABC 的顶点B 在x 轴的正半轴上，顶点A 在y 轴的负半轴上，顶点C 在第一象限内，AC 交x 轴于点E ，过点E 作DE ⊥BE 交BC 的延长线于点D ．若反比例函数k

y x

=经过点D ，且EC ＝BC ，S △ABE ＝3，则k 值等于_____．

20．如图，在反比例函数的图象4

y x

=

（x ＞0）上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，…，点P 1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，P 4，…分别作x 轴，y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，…则S 1+S 2+S 3+…+S n ＝_____．

三、解答题

21．如图，已知双曲线()0k

y x x

=>经过Rt OAB ?斜边的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若OBC ?的面积为3，求k 的值．

22．如图，等边△ABC 的顶点A ，B 分别在双曲线y ＝k

x

的两个分支上，且AB 经过原点O ．BD ⊥x 轴于D ，S △BOD ＝2．

（1）直接写出该双曲线的解析式为_______； （2）若OD ＝2，求A 、B 、C 点的坐标．

23．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt OAB 的直角边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为()6,4，斜边OA 的中点D 在反比例函数()0k

y x x

=

>的图象上，AB 交该图象于点,C 连接OC ．

（1）求k 的值； （2）求OAC 的面积．

24．如图，在矩形ABCO 中，点O 为坐标原点，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA 比OC 大2，比AC 小2．反比例函数(00)k

y k x x

=

>>，的图象经过矩形对角线AC ，BO 的交点D ． （1）求OA 的长和此反比例函数的表达式 （2）若反比例函数(00)m

y m x x

=>>，的图象经过矩形ABCO 边的中点 ①求m 的值．

②在双曲线(00)k y k x x =

>>，上任取一点G ，过点G 作GE ⊥x 轴于点E ，交双曲线(00)k y k x x

=>>，于F 点，过点G 作GK ⊥y 轴于点K 交双曲线(00)k

y k x x

=>>，于H 点．求△GHF 的面积．

25．如图Rt OAB 的面积为690OBA ∠=?,，反比例函数k

y x

=

的图象经过点.A

()1求反比例函数的解析式；

()2从()(),(),(1,6341,),126,2M N P Q ---,

四个点中任取两个点，请用树状图或列表法，求恰有一个点在反比例函数图象上的概率．

26．如图，一次函数y ＝x +1的图象与反比例函数的图象交于点A （1，n ）． （1）求反比例函数的表达式；

（2）点P （m ，0）在x 轴上一点，点M 是反比例函数图象上任意一点，过点M 作MN ⊥y 轴，求出△MNP 的面积；

（3）在（2）的条件下，当点P 从左往右运动时，判断△MNP 的面积如何变化？并说明理由．

27．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC ，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，顶点A 在第二象限，B ，C 两点在x 轴的负半轴上（点C 在点B 的右侧），BC ＝2，△ACD 与△ABC 关于AC 所在的直线对称． （1）当OC ＝2时，求点D 的坐标；

（2）若点A 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求OC 的长；

（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD 向左平移，记平移后的四边形为A 1B 1C 1D 1，过点D 1的反比例函数y ＝

k

x

（k ≠0）的图象与BA 的延长线交千点P ，问：在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点P ，A 1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k 的值；若不存在，请说明理由．

28．如图1，反比例函数k

y x

=

（0x >）图象与直线2y =相交于点A ，点P 是反比例函数图象上的动点，过点P 作PC x ⊥轴于C ，交直线2y =于B ．设点P 的横坐标为n ，POB ?的面积为S ．已知当4n =时

S 取得最小值0．

（1）直接写出反比例函数的解析式；

（2）求S 关于n 的函数关系式：并在图2中画出S 关于n 的函数图象．

（3）直接写出不等式12k

x

≤

≤的解集．

29．如图，点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，以线段AB 为边在第一象限作等边△ABC ，ABC

S ，

且CA ∥y 轴．

（1）若点C 在反比例函数k

y (k 0)x

=

≠的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N ，使四边形ABCN 是菱形，若存在请求出点N 坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点P 在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB 的面积最小时，求出P 点坐标．

30．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝

m

x

（x ＞0）的图象交于点P （4，2），与x 轴交于点A （a ，0），与y 轴交于点C （0，1），PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC ． （1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．

答案

1．C 2．D 3．C 4．C 5．C 6．B 7．A 8．C 9．A 10．C 11．-2 12．6 13．﹣9 14．

275

15． 16．

34

17．3 18．4 19．6 20．4﹣

41

n + 21．解：过点D 做DE x ⊥轴，垂足为E ，

∵Rt OAB ?中，90OAB ∠=?，

∴DE AB ∥

∵D 为Rt OAB ?斜边OB 的中点， ∴DE 为Rt OAB ?的中位线

∴OAB OED ??∽且1

2OD OB = ∵双曲线的解析式是k

y x =

∴1

2

OED OCA S S k ??==，2OAB S k ?=

2

21

3OBC OAB OCA S S k S k ???===－－

解得2k =

22．解：（1）∵点B 在双曲线y ＝k

x

的图象上，且BD ⊥x 轴于D ， ∴S △BOD ＝

1

2

|k|， ∵S △BOD ＝2， ∴|k|＝4，

∵图象在二四象限， ∴k ＝﹣4，

∴反比例函数的解析式为y ＝﹣4x

， 故答案为y ＝﹣

4x

； （2）作CE ⊥x 轴于E ，连接OC ， ∵OD ＝2， ∴B 的横坐标为2， 把x ＝2代入y ＝﹣4

x

，求得y ＝﹣2， ∴B （2，﹣2）， ∵A 、B 关于原点对称， ∴A （﹣2，2），

∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴OA ＝OB ，

∵△ABC 是等边三角形， ∴OC ⊥AB ，

∴∠BOC ＝90°，∠BCO ＝30°，

∴tan ∠BCO ＝

OB OC ∴∠COE+∠BOD ＝90°， ∵CE ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，

∴∠CEO ＝∠ODB ＝∠COE+∠OCE ＝90°，

∴∠BOD ＝∠OCE ， ∴△COE ∽△OBD ，

∴

BD OD OB OE CE OC ==，即22OE CE ==，

∴OE ＝CE ＝，

∴C （．

23．解：（1）∵Rt OAB 的直角边OB 在x 轴的正半轴上， ∴AB ⊥OB ，

∵点A 的坐标为()6,4， ∴点B 为（6，0）， ∵点D 是OA 的中点， ∴点D 的坐标为（3，2）， ∵点D 在反比例函数()0k

y x x

=>的图象上， ∴326k =?=； （2）由（1）可知，6y x

=

，

∵点C 在反比例函数6

y x

=的图像上， ∴1

632OBC S ?=?=， ∵1

64122

ABC

S ?=??=， ∴1239OAC S ?=-=．

24．解：（1）设OA ＝m ，则OC ＝m?2，AC ＝m ＋2， ∵AC 2＝OA 2＋OC 2，

∴（m ＋2）2＝m 2＋（m?2）2， 解得m 1＝8，m 2＝0（舍去）， ∴OA ＝8，OC ＝6， ∴A （8，0），C （0，6）， ∵矩形对角线AC ，BO 的交点D ， ∴D （4，3）， ∵反比例函数()00>>=，k y x

x k

的图象经过点D ， ∴k ＝4×3＝12，

∴此反比例函数的表达式为12y x

=； （2）①∵OA ＝8，OC ＝6， ∴B （8，6），

∴BC 的中点为（4，6），AB 的中点为（8，3）， ∵反比例函数(00)m

y m x x

=>>，的图象经过矩形ABCO 边的中点， ∴m ＝4×6＝24； ②如图，设G （a ，

24a ），则F （a ，12a ），H （12a ，24a

），

∴S △GFH ＝

12×GH?GF ＝12×12a ×（24a ?12a

）＝3．

25．（1）∵Rt OAB 的面积为690OBA ∠=?,， ∴|k|=6×2=12，

∵反比例函数图象在一三象限， ∴k=12， ∴12

y x

=

； （2）∵1×

6=6，3×4=12，-1×12=-12，-6×(-2)=12， ∴M 、P 不在反比例函数图象上，N 、Q 在反比例函数图象上， 如图，

∵共有12种可能发生的情况，符合题意的情况有8种， ∴P=

82123

=． 26．解：（1）将点A 的坐标代入y ＝x +1得：n ＝1+1＝2，故点A （1，2）， 设反比例函数的表达式为：y ＝k x ，将点A 的坐标代入上式得：2＝1

k

，解得：k ＝2， 故反比例函数表达式为：y ＝

2x ； （2）∵MN ⊥y 轴，故MN ∥x 轴， 则△MNP 的面积S ＝S △OMN ＝

1

2

k ＝1； （3）由（2）知△MNP 的面积为1，为常数， 故△MNP 的面积是不变的常数1．

27．解：（1）∵△ADC 与△ABC 关于AC 所在的直线对称， ∴CD ＝BC ＝2，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 过点D 作DE ⊥BC 于点E ，∵∠DCE ＝60°，

∴1,CE DE ==，

∵OC ＝2，

∴OE ＝3，∴(D - ；

（2）设OC ＝m ，则OE ＝m +1，OB ＝m +2 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，BC ＝2，

(13

2,,3AB A m D m -∴=

??∴--- ? ??

? ，

∵A ，D 在同一反比例函数上，

∴

(2)1)3

m m --=-- ， 解得：m ＝1， ∴OC ＝1；

（3）由（2）得：

∴A ,D(?-- ??

， ∵四边形A 1B 1C 1D 1由四边形ABCD 平移得到，

∴1D D y y == ，

∵D 1在反比例函数(0)k

y k x

=

≠ 上，

∴1D ?

同理：

1

11A A A A D D y y x x x x ==-=- ，

∴1

1A x k =- ，

∴1A 1k,33??-+ ? ???

， ∵x P ＝x A ＝﹣3，P 在反比例函数(0)k

y k x

=≠上， ∴P(-3，-

13

k) ①若P 为直角顶点，则A 1P ⊥DP ，

过点P 作l 1⊥y 轴，过点A 1作A 1F ⊥l 1， 过点D 作DG ⊥l 1， 则△A 1PF ～△PDG ，

1A F PF PG DG =

，12333113

k k ---=

-

解得：k =-；

②若D 为直角顶点，则A 1D ⊥DP ，

过点D 作l 2⊥x 轴，过点A 1作A 1H ⊥l 2， 则△A 1DH ～△DPG ，

1A H DH DG PG =

，

13311k 3

--

= ， 解得：k ＝0（舍），

综上：存在k =-

28．解：（1）∵当4n =时S 取得最小值0， ∴此时点P 与点B 重合， 又∵点B 在直线2y =上， ∴点P 的坐标为（4，2），

把点P （4，2）代入k

y x

=中， 解得：k=8，

∴反比例函数的解析式为8y x

=

； （2）如下图：依题意知点(4,2)A

1||42POC S k =

=△，11

2||22

BOC S BC OC n n =??=??=△ ①当04x <<时，

4POC BOC S S S n =-=-△△

②当4x ≥时，

4BOC POC S S S n =-=-△△ S 关于n 的函数图象如下：

说明：图象中点(0,4)应为空心，不为空心的扣1分；另一支射线无论长短不扣分． （3）由（1）知反比例函数的解析式为8

y x

=， 当y=1时，x=8， 当y=2时，x=4， ∴不等式12k

x

≤

≤的解集为48x ≤≤． 29．解：（1）如图1中，作CD ⊥y 轴于D ．

∵CA ∥y 轴，CD ⊥y 轴， ∴CD ∥OA ，AC ∥OD ， ∴四边形OACD 是平行四边形， ∵∠AOD ＝90°， ∴四边形OACD 是矩形，

∴k ＝S 矩形OACD ＝2S △ABC ＝

∴反比例函数的解析式为y ． （2）如图2中，作BD ⊥AC 于D ，交反比例函数图象于N ，连接CN ，AN ．

∵△ABC CD ＝AD ＝m ，则BD m ，

∴

12

×2m ， ∴m ＝1或﹣1（舍弃），

∴B （0，1），C 2），A 0），

∴N （1）， ∴BD ＝DN ， ∵AC ⊥BN ，

∴CB ＝CN ，AB ＝AN ，