二次函数及面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高

一教学目的

1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化

情况，促进培养学生解决问题的能力．

2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点

1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法

先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线

垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的

“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长

度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形

面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ah S ABC 2

1

=

∆ 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1

,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及；

CAB S ∆(3)是否存在一点P ，使S △PAB =

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，89

请说明理由.

图12-2

x

C O

y

A

B

D 11B 图12-1

例1解：(1)设抛物线的解析式为：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分

4)1(2

1+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1

-=a 所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分

324)1(2

21++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b

kx y +=2由求得B 点的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分

322

1++-=x x y )3,0(把，代入中)0,3(A )3,0(B b kx y +=2解得：3

,1=-=b k 所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分

32+-=x y (2)因为C 点坐标为(１,4)

所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2

所以CD ＝4-2＝2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分

(平方单位)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分3232

1

=⨯⨯=

∆CAB S (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，

则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分

x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-=由S △PAB =

S △CAB 8

9

得：

38

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242

=+-x x 解得，2

3=x 将代入中，2

3=

x 322

1++-=x x y 解得P 点坐标为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分

)4

15

,23(总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数

的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，

)0(2>++=a c bx ax y

A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），OB ＝O

C ，tan∠ACO＝．3

1

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使

以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存

在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，

求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的

1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

将A 、B 、C 三点的坐标代入得

⎪⎩

⎪

⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a 解得：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-==321c b a 所以这个二次函数的表达式为：

322

--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为： )3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：

1=a 所以这个二次函数的表达式为：

322--=x x y