二次函数及面积之铅垂高

二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力．2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

二重点难点1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。

2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ah S ABC 21=∆ 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及；CAB S ∆(3)是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，89请说明理由.图12-2xC OyABD 11B 图12-1例1解：(1)设抛物线的解析式为：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：bkx y +=2由求得B 点的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分3221++-=x x y )3,0(把，代入中)0,3(A )3,0(B b kx y +=2解得：3,1=-=b k 所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分32+-=x y (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分(平方单位)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分32321=⨯⨯=∆CAB S (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =S △CAB 89得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将代入中，23=x 3221++-=x x y 解得P 点坐标为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分)415,23(总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，)0(2>++=a c bx ax yA 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝．31（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为： )3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F ，坐标为（2，－3）方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN 在x 代入抛物线的表达式，解得2171+=R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得2171+-=r ∴圆的半径为或．2171+2171+-（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得G （2，－3），直线AG 为．1--=x y 设P （x ，），则Q （x ，－x －1），PQ ．322--x x 22++-=x x3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG 当时，△APG 的面积最大21=x此时P点的坐标为，．⎪⎭⎫⎝⎛-415,21827的最大值为APGS∆随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，(2,2(4)y a x m=-+则，解得1604a ma m+=+=⎧⎨⎩a m==∴所求抛物线的函数关系式为…………①24)y x=-+设直线AC的函数关系式为则．,y kx b=+402k bk b-+=+=⎧⎨⎩k b==∴直线AC的函数关系式为E的坐标为y x=+把x=4代入①式，得E点．24)y=-+=（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=111(8)(2)(82)222x y y x-++--⨯-⨯A=2233()y x x+-=-=+-=25)x-+∴当x=5时，S△CMN课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C 两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．3．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,2y x ax b=++x1(,0)2A-两点，且与轴交于点.(2,0)B y C（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；ABC∆（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯x D A C D B、、、形，请直接写出点的坐标；D（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？P A C B P、、、若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.P第24题图i n【答案】解：根据题意，将A （,0）,B （2,0）代入y=-x2+ax+b 中，12-得110,42420.a b a b ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩解这个方程，得 全品中考网3,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.32当x=0时，y=1.所以点C 的坐标为（0，1）。

所以在△AOC 中，.在△BOC 中，.AB=OA+OB=.15222+=因为AC2+BC2=.2125244AB +==所以△ABC 是直角三角形。

（2）点D 的坐标是.3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）存在。

由（1）知，AC ⊥BC,若以BC 为底边，则BC ∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC 的解析式为.112y x =-+直线AP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为，12y x b=-+将A （,0）代入直线AP 的解析式求得b=,所12-14-以直线AP 的解析式为.1124y x =--因为点P 既在抛物线上，又在直线AP 上，所以点P 的纵坐标相等，即-x2+x+1=32.1124x --解得（不合题意，舍去）.125122x x ==-当x=时，y=.5232-所以点P 的坐标为（，）.5232-②若以AC 为底边，则BP ∥AC ，如图（2）所示，可求得直线AC 的解析式为.21y x =+直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为，2y x b =+将B （2,0）代入直线BP 的解析式求得b=-4,所以直线BP 的解析式为y=2x-4.因为点P 既在抛物线上，又在直线BP 上，所以点P 的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-432解得（不合题意，舍去）.125,22x x =-=当x=-时，y=-9.52所以点P 的坐标为（-，-9）.52综上所述，满足题目的点P 的坐标为（，）或（-，-9）5232-522(本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y 轴交于点A ，与x 轴423412++-x x 交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ；(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个?．解：（1）A （0，4），C （8，0）．…………………………………………………………2分（2）易得D （3，0），CD =5．设直线AC 对应的函数关系式为ykx b =+，则4,80.b k b =⎧⎨+=⎩解得1,24.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴142y x =-+． (3)分①当DE =DC 时，∵OA =4，OD =3．∴DA =5，∴1E （0，4）． (4)分②当ED =EC 时，可得2E （112，54）．……………5分③当CD =CE 时，如图，过点E 作EG ⊥CD ，则△CEG ∽△CAO ，∴EG CG CEOA OC AC ==．即EG =，CG =，∴3E （8-）． (6)分综上，符合条件的点E 有三个：1E （0，4），2E （112，54），3E （8-）．（3）如图，过P 作PH ⊥OC ，垂足为H ，交直线AC 于点Q ．设P （m ，213442m m -++），则Q （m ，142m -+）．①当08m <<时，PQ =（213442m m -++）-(142m -+)=2124m m-+，22118(2)(4)1624APC CPQ APQ S S S m m m =+=⨯⨯-+=--+A A A ，…………………………7分∴016S <≤； ……………………………………………………………………………8分②当20m -<<时，PQ =（142m -+）-(213442m m -++)=2124m m-，22118(2)(4)1624APC CPQ APQ S S S m m m =-=⨯⨯-=--A A A ，∴020S <<．………………………………………………………………………………9分故16S =时，相应的点P 有且只有两个．…………………………。