二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)Word

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二次函数之“铅垂法”求三角形面积

二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。

在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。

②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。

特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。

我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。

设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。

∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。

二次函数铅垂法

二次函数铅垂法二次函数铅垂法是解决二次函数相关问题的一种有效方法。

在数学中，二次函数是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。

通过二次函数铅垂法，我们可以求解二次函数的最值、顶点坐标、判定函数的开口方向以及曲线的对称轴等问题。

首先，让我们来了解一下二次函数的基本性质。

对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，其中a不等于零，a代表二次项系数，b代表一次项系数，c代表常数项。

根据二次函数的图像，我们可以发现以下特点：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

2.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴将曲线分为两个对称部分。

3.最值：当二次函数开口向上时，曲线在对称轴上有一个最小值；当二次函数开口向下时，曲线在对称轴上有一个最大值。

接下来，我们将详细介绍二次函数铅垂法的应用。

一、最值问题对于一元二次函数，我们可以通过二次函数铅垂法求解其最值。

首先，我们需要找到二次函数的顶点坐标。

顶点坐标即为曲线的最值点。

通过求导数或使用铅垂法，我们可以求得顶点坐标。

当二次函数开口向上时，顶点为最小值；当二次函数开口向下时，顶点为最大值。

二、顶点坐标问题通过二次函数铅垂法，我们可以快速求解二次函数的顶点坐标。

首先，我们将二次函数转化为顶点形式。

顶点形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

通过铅垂法，我们可以得出顶点坐标，从而可以了解二次函数的整体走势。

三、开口方向问题在解决二次函数开口方向问题时，二次函数铅垂法也能够派上用场。

通过观察二次函数的二次项系数a的正负，我们可以判断二次函数的开口方向。

如果a大于零，曲线开口向上；如果a小于零，曲线开口向下。

四、对称轴问题二次函数的对称轴是指将曲线分为两个对称部分的直线。

二次函数铅垂法可以帮助我们确定对称轴的方程。

对称轴的方程为x=-b/2a，通过这个方程，我们可以得出对称轴的位置。

二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

二次函数铅垂高如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ·············· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ·············· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ······················· 8分图12-2xC OyABD 1 132321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ················· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······· 12分由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( ···················· 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结).doc

二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结) 【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，则，解得∴所求抛物线的函数关系式为…………①设直线AC的函数关系式为则，解得．∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN===∴当x=5时，S△CMN有最大值课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．第24题图3．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.第26题图【答案】解：根据题意，将A（,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b 中，得解这个方程，得全品中考网所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

所以在△AOC中，AC==.在△BOC中，BC==.AB=OA+OB=.因为AC2+BC2=.所以△ABC是直角三角形。

图1（2）点D的坐标是.（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC,若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为.直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.解得（不合题意，舍去）.图2当x=时，y=.所以点P的坐标为（，）.②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4解得（不合题意，舍去）.当x=-时，y=-9.所以点P的坐标为（-，-9）.综上所述，满足题目的点P的坐标为（，）或（-，-9）2(本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?．解：（1）A（0，4），C（8，0）． (2)分（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为，则解得∴．..........................................3分①当DE=DC 时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴（0，4）． (4)分②当ED=EC时，可得（，）．……………5分③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴．即，，∴（，）．……………………………………6分综上，符合条件的点E有三个：（0，4），（，），（，）．（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．设P（m，），则Q（，）．①当时，PQ=（）()=，，…………………………7分∴；……………………………………………………………………………8分②当时，PQ=（）()=，，∴．………………………………………………………………………………9分故时，相应的点P有且只有两个．…………………………。

二次函数之面积问题(铅垂法)(三)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：具有什么样的特征图形在表达面积时可采用铅垂法？问题2：铅垂法的具体的做法？并结合第3题具体说明．问题3：结合下面图形，说明的推导过程问题4：平行四边形存在性（两定两动）问题的处理思路是什么？问题5：判断第4题属于什么问题，分析过程中哪个部分用到了铅垂的思想？二次函数之面积问题（铅垂法）（三）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点．在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，动点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题2.如图，抛物线与x轴交于两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；点A关于直线的对称点为．点P 是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M．（１）若四边形PACM为平行四边形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题3.（上接第2题）（2）连接，则△的面积最大值为( )A.4B.16C.8D.32答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题4.如图，抛物线与x轴交于点，交y轴于点．直线过点A且与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）设点P是抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD 于点M，作DE⊥y轴于点E．若以P，M，E，C为顶点的四边形是以EC为边的平行四边形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题5.（上接第4题）（2）连接BD.设点P是直线BD上方抛物线上一动点（不与点B，D重合），则四边形ABPD面积的最大值为( )A.4B.16C.32D.36答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数下的面积问题。

二次函数铅垂底水平高求面积综合练习题

二次函数铅垂底水平高求面积应用情景：知A、B（直线AB），求点D，使△ABD面积最大方法推导：设D坐标，表示线段长度S△ABD=S△ACD+ S△CDB=12AE∙CD+12BF∙CD=12CD(AE+BF)=12(y c−y d)(x B−x A)y c：C与D横坐标相同，讲X带入直线AB解析式求得思考：表示下图中三角形ABC面积？注意：知哪条线，未知点向哪条线平移1.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,10)，B(1,0)，C(5,0)，其对称轴与x轴相交于点M．(1) 求抛物线的解析式和对称轴；(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出当△PAB的周长最小时，△PAB的面积；若不存在，请说明理由；(3) 连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,−2)三点．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1,0)，C点的坐标是(4,3)．(1) 求抛物线的表达式．(2) 若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．4.如图，直线AB和抛物线的交点是A(0,−3)，B(5,9)，已知抛物线的顶点D的横坐标是2．(1) 求抛物线的解析式及顶点坐标；(2) 在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；(3) 在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得ΔPAB的面积最大，并求出这个最大值．)三点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．5.如图，抛物线经过A(−1,0)，B(5,0)，C(0,−52(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴上有一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3) 当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，并求出此时P点的坐标和△PBC的最大面积．6.如图，已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上．(1) 求抛物线的表达式；(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；(3) 若抛物线上有一动点M，使ΔABM的面积等于ΔABC的面积，求M点坐标．x2交于A，B两点．7.如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=12(1) 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；(2) 当k=−128.如图所示，抛物线过点O(0,0)，A(3,3)，B(4,0)．(1) 求此抛物线的解析式．(2) M为直线OA上方抛物线上的一个动点，求四边形OMAB的最大面积．9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3) 三点．D 为抛物线顶点。

2022年中考数学二次函数压轴突破专题06 铅垂法求三角形面积最值问题(学生版)

次函数中的面积计算问题包含铅垂高

(D)二次函数中的面积计算问题[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于,A C 两点之间的一个动点，则PAC ∆的面积的最大值为（ C ）A ．274 B ．112 C ． 278D ．3 二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S= 三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ B ）例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析第10题xyABCOM图1BC铅垂高水平宽ha 图2A xCOy AB D11此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y 1＝a (x －1)2＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y 1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x2＋2x ＋3．设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1，b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3．（2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2． S △CAB ＝21×3×2＝3(平方单位)．（3）解：存在．设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ．则h ＝y 1－y 2＝(－x2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x2＋3x由S △P AB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x2＋3x )＝89×3．整理得4x2－12x ＋9＝0，解得x ＝23．把x ＝23代入y 1＝－x2＋2x ＋3，得y 1＝415． ∴P 点的坐标为(23，415)．例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax2＋bx＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求△P AB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图2思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB 的面积很容易求出。

二次函数中铅垂线段培训总结

二次函数中铅垂线段培训总结1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，广泛应用于各个领域。

在二次函数中，铅垂线段是一种特殊的线段，具有重要的几何性质和应用。

本文将总结二次函数中铅垂线段的相关知识和应用，帮助读者理解和掌握这一重要概念。

2. 二次函数的基本知识回顾在讨论铅垂线段之前，我们先回顾一下二次函数的基本知识。

二次函数的一般形式可以表示为f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。

通过解析式中的系数a可以确定抛物线的开口方向。

3. 铅垂线段的定义在二次函数的图像中，铅垂线段是与抛物线相交且垂直于x轴的线段。

铅垂线段的特点是与抛物线的切线平行，并且其长度是抛物线到x轴的距离的两倍。

4. 铅垂线段的性质铅垂线段具有以下重要性质：4.1 对称性对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，其图像关于铅垂线段对称。

换句话说，如果(x1,y1)是二次函数图像上的任意一点，那么(x1,−y1)也是图像上的一点。

4.2 长度铅垂线段的长度等于抛物线到x轴的距离的两倍。

长度可以通过求解二次函数关于x的方程来计算。

4.3 方程的应用铅垂线段的性质可以应用于解决各种实际问题。

例如，可以利用铅垂线段的对称性求解二次函数的零点，或者通过求解铅垂线段与抛物线的交点来确定二次函数的最值。

5. 铅垂线段的求解方法求解铅垂线段可以通过以下步骤进行：5.1 确定二次函数首先，给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a≠0。

5.2 求解切线方程利用导数的知识，可以求解抛物线上某一点的切线方程。

切线方程的斜率等于二次函数在该点的导数值。

5.3 求解铅垂线段方程根据切线方程的斜率，可以求解铅垂线段的斜率。

由于铅垂线段与x轴垂直，所以其斜率为0。

通过已知点和斜率0，可以得到铅垂线段的方程。

5.4 求解交点将铅垂线段的方程与二次函数的方程联立，可以求解两者的交点。

这些交点即为铅垂线段与二次函数的交点。

(完整word版)九年级二次函数题型总结,推荐文档

.:.:增大而减小随在对称轴右侧，增大而增大；随在对称轴左侧，开口向下增大而增大随在对称轴右侧，增大而减小；随在对称轴左侧，开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义1.下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A ．y ＝x(x ＋1)B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y2.当m 时，函数y ＝(m －2)x 2＋4x －5(m 是常数)是二次函数． 3.若1222)3(---=m mx m m y 是二次函数，则m ＝．4.若函数y ＝3x 2的图象与直线y=kx ＋3的交点为(2，b)，则k= ，b ＝ . 5.已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24m y x+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是．二、二次函数的图象与性质)(44)()(22),()44,2)(2222y x ab ac y ky h x a bx hx a bx k h ab ac a b a akh x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时，最值：当时，最值：当对称轴：对称轴：顶点顶点（开口方向开口方向公式-===-==-=--↓↓+-=→----++=1.对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大2.下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时，y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线 y ＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点3.二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向上，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)D ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）4.已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(2，－1)D ．(1，2) 5.已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(2，－1) D ．(－2,1)6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,32(，则b= ,c= .8.函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是；函数y ＝-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a = .配方),1(3y C ),,2(),,1(21y B y A --二次函数的对称性二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ：（1）此函数的对称轴为直线ab x 2-=；（2）若函数与x 轴相交于点)0,(),0,(21x B x A ，则对称轴可表示为221x x x +=；（3）若函数与x 轴相交于点),(),,(21n x B n x A （特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为221x x x +=.10.抛物线2)1(2++=x a y 的一部分图象如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点坐标是 .11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为)0,3(，则点A 的坐标是 .12.抛物线)0()1(2≠+-=a k x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长 . 13.已知二次函数c x x y ++-=22，若点),(),,(2211y x B y x A 在此函数的图象上，且121<<x x ，则21,y y 的大小关系是 .14.已知二次函数c ax x y ++-=2的对称轴是直线1=x ，若点在此函数的图象上，则321,,y y y 的大小关系是15.已知二次函数c bx ax y ++=2中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表：x …… 0 1 2 3 4 …… y……414……点),(),,(2211y x B y x A 在函数的图象上，则当211<<x ，432<<x 时，1y 与2y 的大小关系正确的是（）21212121....y y D y y C y y B y y A ≥≤<>三、二次函数的平移、旋转与对称1.把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）3)1(.3)1(.3)1(.3)1(.2222-+-=---=++-=+--=x y D x y C x y B x y A2.抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是 A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位3.在平面直角坐标系中，如果23x y =的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 .4.将抛物线6422++-=x x y 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为 .5.将抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为322--=x x y ，则b= ,c= . 6.已知抛物线5422--=x x y ，（1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是 .（2）关于y 轴对称的抛物线关系式是 ; （3）关于x 轴对称的抛物线关系式是 ;（4）关于原点对称的抛物线关系式是 .四、确定二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：()()21x x x x a y --=.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式.1.顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）.2.与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1).3.图像经过点A(0，1)、B(1，2)、C(2，1).4.顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4.5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.6.已知抛物线c bx x y ++-=2如图所示，求它对应的表达式.五、二次函数的应用知识铺垫：最值问题（一）开口向上 1.当对称轴abx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值. （二）开口向下1.当对称轴a bx 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值； 2.当对称轴abx 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值.1.当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．30m2.当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．3.当0≥x 时，求函数)2(x x y --=的最大值和最小值．几何问题4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？5.用长为80 m 的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD ，已知房屋外墙长50 m ，设矩形ABCD 的边AB=x m ，面积为S m 2.（1）写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；（2）当AB,BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m ，当水位上升3 m 时，水面宽CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5 km/h 的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35 km 时，桥下水位正好在AB 处，之后水位每小时上涨0.25 m ，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？C40mE40m30m最大利润问题7.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。

二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)教学内容

二次函数铅垂高如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··········································· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ············································· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ········································································· 8分图12-2xC OyABD 1 132321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······················ 12分由S △P AB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( ······························································ 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。

“铅垂高”的最值在二次函数中的应用

“铅垂高”的最值在二次函数中的应用作者：万旭光来源：《广东教学报·教育综合》2021年第42期《中小学数学》多期刊文对“铅垂高”的定义、应用进行了探讨，本文沿用他们的定义，将夹在抛物线和直线之间与x轴垂直的线段称为“铅垂高”，并就其存在最大值或最小值的性质及其应用作一个粗浅的探究.一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究例1：如图1，已知二次函数y=-x2+2x+3与y=-x+3直线交于B、C两点，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交抛物线于点D，求PD的最大值。

解：设P（x，y），其中0∴x=时，PD的最大值为例2：如图2，已知二次函数y=-x2+2x+3图象与直线y=x+4无交点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，垂线PH交直线y=x+4于点D，求PD的最小值。

解：设P（x，y）∴x=时，PD的最小值为小结：从以上两个例子可以发现，线段PD夹在抛物线与直线之间，当P点在抛物线上运动时，PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数，这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题，进一步研究发现无论抛物线开口方向如何，当直线与抛物线无交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，存在最小值;当直线与抛物线有交点时，夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”，在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.二、“铅垂高”最值的应用1.利用“铅垂高”最大值，求三角形面积的最大值例3：（2008·深圳）如图3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=.（1）求二次函数的表达式;（2）若点D（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AD下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APD的面积最大？求出此时P点的坐标和△APD的最大面积.分析：（1）先求A、B、C三点坐标，代入即可求得二次函数表达式;（2）如图4，作PH⊥轴，垂足为H，交AD于点E，作DG⊥PE，垂足为G，因为S△APD=S△APE+S△DPE=PE×（AH+GD）=PE×=PE×3=PE，而“鉛垂高”PE有最大值，所以S△APD有最大值。

铅垂线法及二次函数大题

坐标系中的面积问题——铅垂线法明天的你，一定会感谢今天努力的自己！核心知识点如下是小明遇到的一个题目，在平面直角坐标系中，求斜放置的△PAB 的面积．借助面积处理思路（公式，割补，转化）和坐标系问题处理原则（横平竖直的线等），小明是这样思考的：1. 过点P 作PM ∥y 轴交AB 于一点M ，如图所示，此时△PAB 被分割成△PMA 和△PMB ，PAB PMA PMB S S S =+△△△2. 表达△PMA 和△PMB 面积，要利用好坐标，考虑把PM 当作公共的底（竖直放置，易表达），分别过点A ，B 作PM 的垂线，如图所示，此时121122PMA PMB S PM h S PM h =⋅⋅=⋅⋅△△，3. 将目标表达并初步化简121211221()2PAB PMA PMBS S S PM h PM h PM h h =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+△△△ 4. 注意到h 1，h 2是两条水平的线，可以拼接在一起，如图所示，此时h 1+h 2即是A ，B 的水平距离，即h 1+h 2=x B -x A ，代入上一步公式121211221()21()2PAB PMA PMBB A S S S PM h PM h PM h h PM x x =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅-△△△ 那么，小明就找到了一个求坐标系下斜放置的三角形的面积公式．铅垂法求坐标系下斜放置的三角形面积的操作步骤： ①过一点作铅垂线（平行于y 轴的线）； ②达横平竖直的线段长； ③代入公式表达面积．巩固练习1. 如图，点A 是直线y=2x 上一点，横坐标为3，点B 和点C 在直线12y x上，且横坐标分别为2，6，连接AB ，AC ，则S △ABC =________．CBAyxOy x OP AB第1题图第2题图2. 如图，直线y=-x+b 上两点A(4，-1)，B(m ，4)，点P 为(6，2)，则S △PAB =____．3. 如图，点A(1，4)，B(-2，3)，C(2，-1)，则S △ABC =________．Oyx CBA4. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，则四边形OABC 的面积为___________．BO yACx小结：当要表达的斜放置的三角形的三个顶点都是定点时，可以过任意顶点作铅垂线，但具体做题时，需要结合图形特征（比如已知的分割线、表达式，点的特殊位置等），选择合适的点作铅垂线．yxCBAO5. 如图，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C 是直线AB 上方任意一点，且△ABC 的面积为36，若C点坐标为(m ，2m-3)，则m=________．6. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=kx+3交于点A ，两直线分别与x 轴交于点B 和点C(3，0)，点D 是直线AC 上一动点，且S △ABD =3，则点D 的坐标为_________．OxyAC B OxyAC B小结：当要表达的斜放置的三角形中有动点时，选择从动点作铅垂线，由于另外两点所在直线是固定的，交点表达起来较为简单．二次函数动点问题典型例题明天的你，一定会感谢今天努力的自己！模式1：面积问题例1：图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使M A B P A B S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；练1-1.已知：如图9，抛物线2y x bx c =-++经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D 。

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题图文稿

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC =21ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在一点P，使S△PAB =89S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP =4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 :A（-4,0），B（0,-4），C （2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．练习3：抛物线y=mx2-11mx+24m?（m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD 交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。

2022年中考数学二次函数压轴突破专题06 铅垂法求三角形面积最值问题(教师版含解析)

知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABCACDBCDSSSCD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标(4,7)可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为(4,2)，CD =5,165152ABCS =⨯⨯=．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABCS⨯水平宽铅垂高【解题步骤】(1)求A 、B 两点水平距离，即水平宽；(2)过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； (3)求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； (4)根据C 、D 坐标求得铅垂高； (5)利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】(1)取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．(2)取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高， =2ABCABDBCDSSS⨯-=水平宽铅垂高(3)取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．(4)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．(5)取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．例一、如图，已知抛物线25=++经过(5,0)y ax bxA-，(4,3)B--两点，与x轴的另一个交点为C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为m．当点P在直线BC的下方运动时，求PBC∆的面积的最大值．【分析】(1)265=++，y x x(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，设P 点坐标为(m ，m ²+6m +5)，则点Q (m ，m +1)，得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】(1)抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+． (2)显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A (-1,0)、10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABCSx y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -． (1)分别求m 、n 和b 、c 的值；(2)点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；(2)分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：(1)二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -， ∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ， ∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=，点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)()22232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点． (1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；(3)分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；(2)设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-<，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；(3)存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或1173m n ⎧=-±⎪⎨=⎪⎩(不合题意的值已舍去)；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩(不合题意的值已舍去)；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(117-3)或(117-3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；(2)设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标； (3)两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：(1)设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -， 11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =， ∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；(2)设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k bb =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-， BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点， 03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+， 3032<<， 32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-， 3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A -，(0,4)C -，(3,0)B ， ∴14OA OC =，3OB =，点Q 在y 轴上， 90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB ∆∆∽，则14OQ OA OB OC ==即134OQ =，解得34OQ =， 13(0,)4Q ∴或23(0,)4Q -；②AOC BOQ ∆∆∽，则14OB OA OQ OC ==即314OQ =，解得12OQ =， 3(0,12)Q ∴或4(0,12)Q -，综上所述，存在y 轴上的点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，这样的点一共4个：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，故答案为：存在这样的点Q ，坐标分别是：13(0,)4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；(3)设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得2MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(4|)4n n -=+，即可求解．【解答】解：(1)点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上， ∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；(2)点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+， ∴当32m =时，PBC S ∆有最大值， ∴点3(2P ，15)4； (3)存在N 满足条件，理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒， NQ MC ⊥，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒， MQ NQ ∴=， 2MQ NQ ∴=，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离， NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=， 222()2MN AN ∴=， 222(4|)4n n ∴-=+， 2880n n ∴+-=， 426n ∴=-±∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,46)-+或(1,46)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为(3B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为433，四边形BDEF 为平行四边形．(1)求点F 的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB 的解析式为31y x =+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181()33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案； (2)设2(,31)P n n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+，得出2733PP n n '=-，由二次函数的性质可得出答案；(3)联立直线AC 和抛物线解析式求出7(33C 4)3-，设(3Q )m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠， (0,1)A ，(3B 0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得1k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为1y =+，点FF ∴点纵坐标为113+=-， F ∴点的坐标为1)3-，又点A 在抛物线上， 1c ∴=，对称轴为：2bx a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181()33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；(2)设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)P n '+， 2733PP n n '∴=-，2213737493)3222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=+∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．(3)231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩， 0x ∴=或733x = 7(33C ∴4)3-，设(3Q )m ， ①当AQ 为对角线时， 47(3,)33R m ∴+， R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=-+，解得443m =-， 44(3,)3Q ∴-，437(3,)33R -； ②当AR 为对角线时， 107(3,)33R m ∴-，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，2710(33)433m ∴-=--+，解得10m =-，(3Q ∴，10)-，1037(3,)33R -．综上所述，44(3,)3Q -，437(3,)33R --；或(3Q ，10)-，1037(3,)33R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：(1)设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； (2)①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =，当2m =(P ，1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。