二次函数及面积之铅垂高

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2020--2021学年九年级数学中考冲刺：二次函数之铅垂法求三角形面积

二次函数与面积解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.课前练习如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答问题：如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交轴于点A （3,0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；△是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．x CB模型讲解竖切面积公式均为1=2S dh横切面积公式均为1=2S dh总结这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.CBhC Bh CBD例题1 已知一次函数y＝（k＋3）x＋（k-1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（-1，-4）.（1）若△OBP的面积为3，求k的值；（2）若△AOB的面积为1，求k的值.ax2-ax＋c的图像的顶点为C，一次函数y＝-x＋3例题2 如图，二次函数y＝12的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.（1）求点D的坐标；（2）若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.例题3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝-2.（1）求抛物线解析式；（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF△AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.巩固练习1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝-12x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；2．如图，已知抛物线y ＝-x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （-1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；，求a （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为54 Array的值；4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ△AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．5. 已知：在直角坐标系中，点C 的坐标为（0，-2），点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程x ²-3x -4＝0的两个根，点A 在点B 的左侧. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式.（2）点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0）连接CD 、CP ，设△CDP 的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y ＝mx ²＋nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点. （1）求出抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM △OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC △x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMN S △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MNNC的值，并求出此时点M 的坐标.。

二次函数面积问题综合练习题水平宽铅垂高求面积

二次函数与面积问题综合练习题
练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过:A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB= ，OC= ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n 为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。

在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。

②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。

特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。

我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。

设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。

∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。

二次函数与面积

二次函数与面积求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；如图：抛物线与x 轴交于A 、B 两点，P 是抛物线上一点。

则S △ABP=21AB •PE（2）割补法；如图：直线MN 与抛物线交于M 、N ，与y 轴交于E ，则S △MON=S △OEM+S △OEN（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

BC铅垂高水平宽 haA1、如图，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）三点，点P在第二象限的抛物线上，S△POB=S△PCO，求P点的坐标。

2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，- 3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB。

3、如图，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B 重合），连接PA、PB，S△PAB=6，求P点的坐标。

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。

（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使△ABC面积有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；7、如图，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．。

二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答：（1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

二次函数中的面积最值问题最佳处理方法

因材教育二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．∴点P 坐标为（－32，154）三、切线法若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．＝278．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），则F(x ，x ＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征；②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C点坐标为(2，t )．（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，已知点H (0，-1)．①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练12。

【二次函数与几何综合讲练一】铅垂法求面积最值问题

【二次函数与几何综合讲练一】铅垂法求面积最值问题专题导入方法点睛如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S△PAB＝1/2·PQ·|XA-XB|，根据二次函数解析式设出点P的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q的坐标，从而转化为S与点P横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ最大时，S△PAB取得最大值．典例精讲类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1 在平面直角坐标系中，直线y=1/2x-2与x轴交于点B，与y 轴交于点C，二次函数y=1/2x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值.分析（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y=1/2(x-4)(x-m)，将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，1/2x2-3/2x-2），则DF=-1/2x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可．类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为直线x＝－1，点P是抛物线上B，C 之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)探究:当动点N在对称轴l上时，是否存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，若存在，请求出此时点P的坐标，若不不存，请说明理由；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由．分析（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM=BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．专题过关1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式．2.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m的值．备用图4.如图，在平面直角坐标系中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B 的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣3/2），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A,B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．5．已知直线y=1/2x+2分别交x轴、y轴于A，B两点，抛物线y=1/2x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD 面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P，Q，连接CP，CQ分别交y轴于点E，F，求OE·OF的值．。

二次函数中的面积计算问题之铅垂高

A
铅垂高
h
C
D
x
B
水平宽
aa
图12-1
练习如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于
点A(3，0)，交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
y
C
B
D 1
分析 (1： )抛物线解 y1析 (x 式 1)2为 4, 即y1x22x3
直A 线解 B 析 y2式 x 为 3.
1 2
ah即三角形面积等
证明: ABC ABD ACD
A
h
h2
铅垂高
C
D
B
h1
水平宽
aa
(其中h1、h2是直线AD与外侧两直线之间的距离)
1
1
AD h AD h
2
2 1
2
1AD(hh)
2
1
2
1 ah
2
巩固定义：求格点三角形的面积
例1、如图，在每个小正方形边长为1的格点图形中，△ABC的三个顶点是图中的格点，求 △ABC的面积。
O1 图1
A
x
C ( 1 , 4 ) 当 ,x 1 时， y 1 4 ,y 2 2 .
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
SCAB12323
就到这里了，同学们再见！
此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
E D
A
C 水平宽：CE
铅垂高：BD
SABC12CE•BD
B
延伸拓展
我们如果把△ABC 放到直角坐标系中，
A(x A,
,
yA),B(xB,

二次函数铅锤法求三角形面积

二次函数铅锤法求三角形面积二次函数铅锤法求三角形面积是一种利用二次函数和几何知识求解三角形面积的方法。

在这个方法中，我们可以通过构造一个一般式二次函数，然后以三角形的顶点作为$x,y$坐标系下的截距，进而确定这个二次函数的解析式。

然后，我们利用这个解析式和关于三角形高的知识，最终求得三角形面积。

1. 构造二次函数我们先来看一个以三角形的三个顶点为坐标系下的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为截距的一般式二次函数：$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+b(x-x_1)(x-x_3)+c(x-x_2)(x-x_3)$$$a,b,c$为系数，根据函数图像的对称性和零点情况可解得：2. 确定顶点根据二次函数的顶点公式可得：$$x_0=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$$$y_0=f(x_0)$$$(x_0,y_0)$为函数的顶点坐标。

3. 计算高由于三角形的高为从底边上一点到对脚线的距离，我们可以将对脚线$y=-\frac{1}{a}(x-x_0)+y_0$与底边平行的直线$y=k$相交，求得交点坐标$(x_4,y_4)$；然后再计算出底边长度，从而求得三角形面积。

$a$为二次函数系数。

根据三角形的面积公式可得：$$S=\frac{1}{2}\times b\times h$$$b$为底边长度，$h$为高。

底边长度为：$$b=\sqrt{(x_4-x_1)^2+(y_4-y_1)^2}$$高为：将以上公式带入三角形面积公式中，便可求出三角形面积。

至此，二次函数铅锤法求三角形面积的求解过程已经结束。

需要注意的是，在实际应用时，需要保证所构造的二次函数符合三点共线的要求，否则将会得到无法解决的矛盾情况。

在实际应用中，二次函数铅锤法求解三角形面积有着广泛的应用。

它可以用于建筑、工程、机械制造、科学研究等领域，尤其是在需要研究弯曲表面的情况下，这种方法可以非常方便地求出弯曲表面的曲率、面积等信息。

山东省商河县2019届中考数学一轮复习课件：二次函数面积最值之水平宽铅垂高(共19张PPT)

解：（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）如图2 P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入函数解析式得．解得
直线BC的解析为y=﹣x+3，设点Q的坐标为（m，﹣m+3）， PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
D
1
S△AOB= 2 × (4-0)×BD=6
O
B
拓展提升一三角形面积
（2018•锦州）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y 轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
三边均不在坐标轴上的图形需要把图形分解
水平宽铅垂高面积公式
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫 △ABC的“铅垂高”（h）
S△ABC=
1 2
ah
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
3、（2018•安岳县二模）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0， 2）．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

二次函数与铅垂法的运用

二次函数与铅垂法的运用二次函数与铅垂法的运用在数学学科中，二次函数是一种非常重要且常见的函数形式。

它的基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

二次函数在自然科学、工程技术以及经济管理等领域广泛应用。

而铅垂法则是一种求解二次函数相关问题的重要方法，它在解决实际问题中具有很高的适用性和指导意义。

首先，让我们来看一下二次函数的性质和特点。

二次函数通常呈现开口向上或开口向下的抛物线形状，它有一个顶点，对称轴是x= -b/2a这条直线。

顶点是抛物线的最高点或最低点，对称轴是抛物线的中轴线。

二次函数的图像关于对称轴对称。

根据二次函数的特点，我们可以确定函数的最值、图像的开口方向以及对称轴的位置。

铅垂法则是一种求解与二次函数有关问题的简单而有效的方法。

它的基本思想是利用二次函数与其顶点和对称轴的性质，快速求解相关问题。

在使用铅垂法时，首先需要确定二次函数的顶点以及对称轴的位置。

根据问题的具体情况，我们可以通过观察函数的系数a、b和c来确定二次函数的开口方向，从而推导出函数的性质。

例如，在研究物体自由落体问题时，经常会遇到求解物体从一定高度上抛出后的运动轨迹问题。

假设物体被抛向上方，经过一段时间后再回到地面。

根据物理学的知识，我们可以建立关于物体高度与时间的二次函数模型。

利用铅垂法则，我们可以快速求解物体的最高高度、到达地面的时间以及物体相对于地面的位置等问题。

除了物理学中的自由落体问题，二次函数和铅垂法也广泛应用于其他领域。

在工程技术中，当需要设计一个拱桥或者建立一个抛物面的建筑物时，我们可以通过二次函数和铅垂法来确定拱桥的最高点和抛物面的形状。

在经济管理中，二次函数和铅垂法可以用于求解成本、收益以及产量之间的关系。

通过分析二次函数的图像，我们可以确定最小成本或最大收益对应的产量，从而指导经济决策和管理策略。

综上所述，二次函数与铅垂法在数学学科中具有重要的地位和广泛的应用。

通过学习和掌握二次函数的基本性质和铅垂法的使用方法，我们可以更好地理解数学知识，并能够运用数学方法解决实际问题。

二次函数中的面积计算问题--之铅垂高PPT课件

平宽与铅垂高乘积的一半.
B
C
即1 三ah角形面积等于水
2
证明:
ABC ABD ACD
A
h
h2
铅垂高
C
D
B
h1
水平宽
aa
(其中h1、h2是直线AD与外侧两直线之间的距离)
1
1
AD h AD h
2
2 1
2
1AD(hh)
2
1
2
1
ah
2
2
.
巩固定义：求格点三角形的面积
例1、如图，在每个小正方形边长为1的格点图形中，△ABC的三个顶点是图中的格点，求 △ABC的面积。
O1
A
x
C ( 1 , 4 ) 当 ,x 1 时， y 1 4 ,y 2 2 .
图1
CA 的 B铅 C锤 D 42 高 2 .
SCAB16
.
二次函数中的面积计算问题 --之铅垂高
襄阳五中实验中学：田伟
1
.
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂
直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的
“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的
长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三
S S S 角形面积的新方法： SA
A
铅垂高
h
C
D
B
水平宽
aa
图12-1
4
x
.
练习如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于
点A(3，0)，交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
y
C

二次函数动态三角形面积解题方法汇总 (1)

【中考】二次函数与三角形面积问题【面积最大值】每年的中考题中都会出现大量与面积有关的压轴题，要学会三角形的面积求法，并推广到任意多边形面积的求法。

这是非常重要！【典型例题】如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴，x轴交于点A ，B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【分析】求面积的最值问题，通常设出点的动点的坐标，引入未知数来表示出面积，再利用二次函数的性质求解即可。

【方法一】分割——铅垂（高）法过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2OB·CE【方法二】补全过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，交CD于点E，S△ABC＝S矩形OBED －S△OAB －S△ACD －S△BCES△ABC＝S梯形ABED －S△ACD －S△BCE备注：本题此法繁琐，不建议用连接OCS△ABC＝S△OAC ＋S△OBC －S△OAB备注：此法最容易掌握【方法四】平移过点C作CD∥AB，分别交y轴，x轴于点D，E S△ABC＝S△ABD过点C作CD∥AB，分别交y轴，x轴于点D，ES△ABC＝S△ABE【方法五】直接求过点C作CF⊥AB，垂足为FS△ABC＝1/2AB·CF ＝√2/4AB·CE备注：一般此类题目皆可直接求三角形面积，用相似或三角函数表示高。

拓展：如图，A（x1，y1），B（x2，y2），则S△ABC＝1/2 |x1y2−x2y1 |把△ABC向左平移3个单位长度，得到△OA′C′S△ABC＝S△OA′C′＝1/2 |xAyC-xCyA |备注：以上三角形面积公式可用于选择、填空题快速求得。

发现：当点C在OB的垂直平分线上时，S△ABC最大，即x=(0+3)/2=3/2时，S△ABC最大注意：点C的位置和点A、B关系密切，聪明的你，思考下，为什么会如此？【举一反三】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A 的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．。

铅垂高与面积最值问题

第六节
二次函数性质的综合应用
1 2
1 2
CD＝－ x ＋3x－(－x＋6)＝－ x ＋4x－6，
2
2
1
1
∴S△ABC＝ CD· − ＝ CD× − ＝2CD，
2
2
=－x2＋8x－12，
∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12
＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，
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转化思想：
四边形面积转化成
两个三角形面积和
l
即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)，
∵a=-1<0
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，
最大值为16.
D
挑战自我：铅垂高、水平宽的综合运用
练习2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²－2ax－3a(a＜0)与
x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，并经过点(2，3)，
令－x²＋2x＋3＝0
解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．
将A(－1，0)代入y＝x＋m，解得m＝1; ∴y=x+1.
Q
精炼本P21 第1题
(2)存在最大值．
令－x²＋2x＋3＝x＋1，解得x1＝－1，x2＝2，
设点P的坐标为(p，－p²＋2p＋3)，其中－1＜p＜2,
如解图，过点P作PG∥x轴，则
直线y＝x＋m经过点A.
(1)求a、m的值；
(2)若P为直线y＝x＋m上方抛物线上任一点(不与交点重合)，

连接PB交直线y＝x＋m于M点，则是否有最大值，如果有，

求出最大值；如果没有，请说明理由．
C

08 专题八、二次函数与面积最值问题(铅锤法)

专题八、二次函数与面积最值问题（铅锤法）【专题导入】1．如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，2)，B (2，-1),直线AB 与y 轴交点为C.（1）直线AB 的解析式为_________；（2）C 点坐标为_________，OC=_________；（3）S △OCA =_________，S △OCB =_________；（4）S △AOB =_________。

2．已知直线AB 的函数解析式为y =-2x +8，点P 是直线AB 上一动点。

（1）当P 点横坐标等于3时，P 点纵坐标为_______；（2）当P 点纵坐标等于6时，P 点横坐标为_______；（3）设P 点横坐标为p ，则P 点坐标为________（用含有p 的代数式表示）。

其中，设出某动点的横坐标，代入该动点所在函数图像解析式得到纵坐标的方法，称作“设横算纵”。

【方法技巧】1．铅锤法求面积如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2．设动点坐标的方法（1）若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变，始终等于0，所以可以设动点坐标为（x，0）；（2）若动点在y轴上，因为纵坐标y在变化，横坐标x没有变，始终等于0，所以可以设动点坐标为（0，y）；（3）若动点P在函数y=ax2+bx+c上，则设P点横坐标为p（尽量不设为x，避免与解析式中字母重复），纵坐标为ap2+bp+c，则点P坐标可以设为P（x，ap2+bp+c）。

例如，点P在函数图像y=-2x2+3x-1上，则设点P坐标为P（p，-2p2+3p-1）。

【典例剖析】3．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．【举一反三】4．已知抛物线y=12x2+mx﹣2m﹣2（m≥0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（1）当m＝1时，求点A和点B的坐标（2）抛物线上有一点D（﹣1，n），若△ACD的面积为5，求m的值。

铅锤高和水平宽之二次函数面积问题综合练习题

铅锤高与水平宽之二次函数与面积问题综合练习题例1：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =21ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．练习1：已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．例2.抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ 长度的最大值．:练习2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过:A（-4,0），B（0,-4），C（2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．MC BA O xy练习3：抛物线y=mx2-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）填空：OB= ，OC= ；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．。

中考数学压轴题突破：铅锤法求二次函数面积

一、引言在中学生的学习生涯中，中考数学一直是备受关注的科目之一。

其中，二次函数是数学教学中的重要内容，而求二次函数面积更是中考数学中的一大难点。

然而，通过铅锤法求二次函数面积，可以帮助学生们更好地掌握这一难题。

本文将从深度和广度两方面展开讨论，帮助读者全面了解铅锤法求二次函数面积，在中考数学中取得突破。

二、铅锤法求解二次函数面积的基本原理铅锤法求解二次函数面积是一种通过几何实例来帮助学生理解二次函数的面积计算方法。

在求解二次函数面积时，首先可以将二次函数图像与x轴围成的图形，分割成若干个几何形状，如梯形、矩形等。

通过对这些几何形状进行面积计算，并进行累加，就可以得到二次函数图像与x轴围成的总面积。

这种方法能够直观地帮助学生理解二次函数的面积计算过程，从而提高他们的数学认知能力。

三、铅锤法求解二次函数面积的实际应用铅锤法求解二次函数面积不仅仅是一种理论计算方法，更适用于实际问题的求解。

当我们需要计算某个二次函数所表示的曲线与x轴围成的面积时，可以通过铅锤法将曲线分割成若干个几何形状，再进行面积计算，并进行累加，最终得到准确的面积结果。

这种方法在实际问题的求解中具有很强的适用性，且可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提升解题能力。

四、铅锤法求解二次函数面积的个人观点与理解个人认为，铅锤法求解二次函数面积是一种非常有效的教学方法。

通过实际创造性的几何分割和面积累加，学生可以更直观地理解二次函数的面积计算方法，提高数学学习的趣味性和有效性。

在实际教学中，教师可以通过丰富的示例和实际问题，引导学生灵活运用铅锤法求解二次函数面积，从而提高他们的数学学习能力和解题思维。

五、总结与回顾本文从深度和广度两方面介绍了铅锤法求解二次函数面积的基本原理、实际应用和个人观点与理解。

我们可以通过铅锤法，帮助学生更好地理解和掌握二次函数面积的计算方法，提高他们的数学学习能力。

在中考数学的备战中，这一方法能够帮助学生更好地应对二次函数面积题型，取得更好的成绩。

二次函数中的面积计算问题-之铅垂高

二次函数中的面积计算问题-之铅垂高
本节将介绍二次函数中的一个重要应用问题——铅垂高。通过本节的学习，您将了解到铅垂高的定义、计算公式以及它与二次函数图像的关系。
什么是铅垂高?
铅垂高指的是从一个点到与其所在直线垂直相交的点的距离。在二次函数中，我们可以通过铅垂高来计算图像所包围的面积。
如何计算铅垂高?
交点坐标为 (4, 0)。
步骤四: 计算铅垂高
铅垂高为 4。
铅垂高的应用领域
建筑设计
铅垂高可以帮助建筑师确定建筑物的高度和结构。
数学建模
铅垂高可以用作数学模型中的重要参数。
地理测量
地理学家利用铅垂高测量地形和海拔高度。
物理实验
物理学家可以通过铅垂高来研究物体的运动和力学性质。
铅垂高与二次函数图像的关系
1
开口方向
铅垂高的长度取决于二次函数的开口方向。2拐点位置源自铅垂高的顶点与二次函数的拐点位置相同。
3
面积计算
铅垂高可以用于计算二次函数图像所包围的面积。
提高计算铅垂高的技巧
1 利用对称性
2 化简计算公式
利用二次函数图像的对称性可以简化铅垂高的计算。
将二次函数化为标准或一般形式可以简化计算铅垂高的公式。
3 练习与实践
4 使用数学工具
通过大量的练习和实践，可以提高计算铅垂高的准确性和速度。
利用数学工具和计算器可以辅助计算复杂的铅垂高问题。
结论和要点
铅垂高是二次函数中的一个重要概念，可以用于计算图像所包围的面积。了解铅垂高的定义、计算方法和应用领域对深入理解二次函数具有重要意义。
1 步骤一
找到二次函数的顶点坐标。
2 步骤二
确定直线方程，该直线过顶点并且垂直于横轴或纵轴。