数列的定义域是正整数集
数列的概念数列的极限收敛数列的性质
例8 证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点 以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列 看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列 收敛，则其极限唯一.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限 思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：
数列概念及通项公式1
本例的关键是应用an= 本例的关键是应用
S1
(n=1)
题型三 利用递推公式求数列的通项 例3 根据下列条件 写出数列的通项公式： 根据下列条件,写出数列的通项公式 写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； ） ， ； （2）a1=1，an-1=2n-1an. ） ， ）将递推关系写成n-1个等式累 分析 （1）将递推关系写成 个等式累 累加法” 加，即“累加法”. 个等式相乘， （2）将递推关系写成 个等式相乘，即 ）将递推关系写成n-1个等式相乘 累积法”或用逐项迭代法. “累积法”或用逐项迭代法
点评
Sn-Sn-1 (n≥2)求 求 数列的通项， 特别要注意验证a 数列的通项 ， 特别要注意验证 1 的值是 否 满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ； 同 时 认 清 “ an+1-an=d（ 常数 ） (n≥2)”与 “ an-an-1=d （ 常数） 与 为常数， （d为常数，n≥2）”的细微差别 为常数 ） 的细微差别.
满足: 变式练习 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式 的通项公式.
3, n=1, an= n 2 , n≥2.
走进高考
湖北卷)古希腊人常用小石子 湖北卷 学例1 (2009·湖北卷 古希腊人常用小石子 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如： 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：
例4 求满足条件 a1 = 1, an +1 的数列{a 的通项公式 的数列 n}的通项公式
an = (n ∈ N *) 1 + nan
分析：两边取倒数， 分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式
二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点5数列单调性的判断方法(五)——递推法
专题1 数列的单调性微点5 数列单调性的判断方法（五）——递推法12n n nn x x x ++++；112n b ⎛⎫− ⎪⎭⎝，若在k b 与m b m ++−n a (,m n ∈N参考答案：()1122941n a a −−⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅⋅+由10a >可得若21a a >，即，解得10a <<即当10a <<，此时数列k由③知∑是递增数列．21c c >>>>，11024， 是单调递增；当10n ≥时3n n++，由此利用错位相减法能求出）问得到m =)N n *∈时，12212333n n nn nnx x x +++++=+++，① 1133n n n n+−+++，② 211111()1111133(11333332313n n n n n n n ++⎡⎤−⎢⎥⎣⎦+++−=−=−−． m ，n ，使T 11m +=+112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭从而求得n t 的最大值，项,然后对{2k k +++=，当9k =时的情况即可求得是等比数列，且各项均为正数，所以112n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭11142n ⎫⎛⎫−⎪ ⎪⎭⎝⎭112n ⎫⎛⎫⎛−⎪⎪⎭⎝⎭⎝224848n n n +=+233λ<<，2k k +++=9922−=+， 2019=m b ++，设m b m ++−212222m mm b m ++=++++， 22222m m +++，则2311212222m m T −=++++21111111112222222m m m m m m T ++=+++−=−−=2222222m m mm mb m m m ++++−=+−−=−，22mm+−，N *m ∈， 2122222m m ++++=−−+77922S =−21n b −+++112n ⎛ −+−⎝121n +单调递减，23=−，显然b,a ()3,⎫+∞⎪⎪⎭②，②－①即得()3,⎫+∞⎪⎪⎭考查数列的单调性的判定和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平(8n n b ++=256125125()2()()940n n b b b b b b b b b b n n ++−++=+++−++++=−+9,15940,6n n n n +≤≤+≥；）由题知12111(1)(1)(1)222n nA a a a =−−−， 21n +，则111()21(1)(1)(1)22ng n n a a =+−−−， (21)2(22)2n n n n ++3(1)g =都成立，则3a >.。
4.2.1等差数列的概念(第1课时)课件(人教版)
五、作业布置 课本P15：练习 第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳在高中数学的学习中，数列是一个非常重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，也是高考中的重点考查内容。
为了帮助同学们更好地掌握数列这一板块，下面将对高中数学数列的相关知识点进行详细归纳。
一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如：1，3，5，7，9 就是一个数列。
数列中的每一个数称为数列的项，排在第一位的数称为首项，记为\（a_1\），第\（n\）个数称为第\（n\）项，记为\（a_n\）。
数列可以用通项公式来表示，通项公式是一个用\（n\）表示\（a_n\）的式子。
例如，数列 1，3，5，7，9 的通项公式为\（a_n ＝ 2n 1\）。
二、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数称为等差数列的公差，通常用\（d\）表示。
2、通项公式＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差。
3、前\（n\）项和公式＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）4、性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
（2）＼（a_n\）是关于\（n\）的一次函数，＼（S_n\）是关于\（n\）的二次函数且常数项为 0 。
三、等比数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数称为等比数列的公比，通常用\（q\）表示（＼（q ≠ 0\））。
2、通项公式＼（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼）。
3、前\（n\）项和公式当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）；当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）。
4、性质（1）若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m × a_n ＝ a_p × a_q\）。
2.1数列的概念与简单表示法(二)
§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 提示 不同点相同点通项公式 要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一 数列的函数特性【例1】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29， 同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解 由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析 依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。
七年级数学数列公式大全
七年级数学数列公式大全一、数列的定义数列是一组有序的数字排列，其特点是每项都有一个特定的位置，且每一项都具有前一项和后一项的关联。
数列可以视为一种特殊的函数，其定义域和值域分别是正整数集和实数集。
二、数列的表示方法数列的表示方法有两种，一种是列举法，即将数列中的所有项一一列举出来，如：1，2，3，...，n。
另一种是通项公式法，即用数学公式表示数列的每一项，如：an=n（n为自然数）。
三、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d。
四、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的通项公式为：an=a1*q（n-1）。
五、数列的求和数列的求和有两种方法，一种是公式法，即直接套用求和公式进行计算；另一种是裂项相消法，即将数列中的每一项都拆分成两个部分，然后将它们相加，最终得到结果。
六、数列的应用数列在现实生活中有着广泛的应用，如计算利息、计算折扣、计算概率等等。
同时，数列也是数学中的一个重要分支，它在数学竞赛中有着重要的地位。
七、数列的拓展除了等差数列和等比数列之外，还有许多其他类型的数列，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
这些数列都具有各自独特的性质和特点，值得我们去探索和学习。
八、数列与函数的关系数列可以看做是一种特殊的函数，它的定义域和值域分别是正整数集和实数集。
同时，数列和函数之间也存在着密切的联系，许多函数的性质都可以通过数列来探究和理解。
因此，在学习数列的过程中，也需要注意与函数的联系和区别。
九、数列的学习方法学习数列需要掌握一定的方法和技巧。
首先，需要理解数列的基本概念和性质；其次，需要掌握常见的数列求和方法；最后，需要多做练习题，加深对数列的理解和应用。
同时，也需要注重与其他数学知识的联系和综合运用。
总之，七年级数学中的数列知识点是一个重要的内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，同时也是后续数学知识的基础。
专题6.1 数列的通项公式与求和(原卷版) 文科生
【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． 4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 【2016年4月河南八市高三质检卷】已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察下列算式：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3a a •=•=•=；123456237lg 3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg 3lg 7a a a a a a •••••=•=•=，…；若*1232016()m a a a a m N ••••=∈，则m 的值为（ ）A ．201622+ B ．20162 C ．201622- D ．201624-2.数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． n n n n a 312)1(1--=+ D ． nn n n a 312)1(--= 【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 【2016届榆林市高三二模】在数列{}n a 中，()1111,114n n a a n a -=-=->，则2016a 的值为（ ） A ．14-B ．5C ．45D ．以上都不对 2. 【2016湖北省八校高三.二联】数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前项和，则120S = . 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()30122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【2016年江西九江高三第三次联考】设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若12,21344672==S S ，则=2016S （ ）A ．22B ．26C ．30D ．342. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数()()()()1210log 110ax x f x x x ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且334f f ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，在各项为正的数列{}n a 中，{}1112,,2n n n a a f a a +⎛⎫==+⎪⎝⎭的前项和为n S ，若126n S =，则n =____________．【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式 （1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n naa +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法. 特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. 特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1n n nC a b =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：nn n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式. 数列{n a }的前项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：12)n n n a S S n -=-≥（，根据题目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥ 【三年高考】1. 【2016高考上海文科】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.3.【2016高考浙江文数】设数列{n a }的前项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前项和.4．【2016高考上海文科】对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式. 5．【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前项和n T .8.【2015高考湖南，文19】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .9.【2015高考浙江，文17】已知数列n a 和n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ；（2）记数列n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .10.【2014高考全国2卷文第16题】数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________． 11.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.12.【2014高考山东文第19题】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2nn n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T .【一年原创真预测】1. 已知数列{}n a 的前项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n + 2．已知数列{}n a 中，12a =，12(1)n n na n a +=+，则5a =（ ） A ．320 B ．160 C ．80 D ．403.已知数列{}n a 的前项和为n S ，11a =．当2n ≥时，1221n n a S n -+=+，则299S = （ ） A ．246 B ．299 C ．247 D ．2484.m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为_______.5.已知数列{}n a 的首项1a m =，其前项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是_______． 6.已知数列{}n a 的前n 项和2n 33S n n 22=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n an b 2=，*n n *n3,n 2k 1,k N 2S 3n c b ,n 2k,k N ⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩，设数列n {c }的前n 项和为n T ，求2n T ．7.已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得221mm S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.8.已知数列{}n a 中任意连续三项的和为零，且212 1.a a ==- (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1111(N ),n n n b b a n b a ++=∈=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的取值范围.【考点1针对训练】 1. 【答案】C【解析】由题意：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3a a •=•=•=；123456237lg 3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg 3lg 7a a a a a a •••••=•=•=，…；12345613142315lg3lg 4lg16log 3log 4log 1616,lg 2lg3lg15a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=…；据此可知，*1232016()m a a a a m N ••••=∈，则m 的值为201622-2.【答案】C.【考点2针对训练】 1. 【答案】C 【解析】2341415,,,54a a a a ===-=因此周期为3，即2016345a a ==，选C. 2. 【答案】7280140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯= 【考点3针对训练】1. 【答案】C【解析】由134420166721344672,,S S S S S --成等差数列，得1221022016-+=⨯S ，即=2016S 30,故选C.2. 【答案】6【三年高考】 1. 【答案】42. 【解析】（Ⅰ）由题意得41,2132==a a . （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ，故{}n a 是首项为，公比为21的等比数列，因此121-=n n a . 3.4．【解析】（1）因为4∉A ，4∉B ，所以4∉AB ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．（2）因为416a =，所以1616420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++=()512020221802+⨯--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1d =或． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．5．【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且，∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列，∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 6.【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 7.8.9.【解析】 (1)由112,2n n a a a +==，得2nn a =.当1n =时，121b b =-，故22b =.当2n ≥时，11n n n b b b n+=-，整理得11n n b n b n ++=，所以n b n =. (2)由(1)知，2nn n a b n =⋅，所以23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅，所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=--，所以1(1)22n n T n +=-+.10.【答案】12． 【解析】由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 11.12.【一年原创真预测】 1. 【答案】A【解析】由21(1)22n n nS n S n n +-+=+，得121n n S S n n +-=+，则数列{}n S n 是首项为131S=，公差为2的等差数列，则32(1)21nS n n n=+-=+，即22n S n n =+，则当2n ≥时，1n n n a S S -=-＝2222(1)(1)41n n n n n +----=-．又当1n =时，113a S ==，满足41n a n =-，故选A ．2．【答案】B【解析】由12(1)n n na n a +=+，得121n n a a n n +=⋅+，则数列{}n an是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n n na n-=⋅=，即2n n a n =⋅，所以5552160a =⋅=，故选B ． 3.【答案】B4.【答案】64或65【解析】设1b t =，则由2152=b b b +，可设*25=,=2,()b t d b t d d N ++∈ （0d =不满足题意）因此122t t A +≤<，1221282,21252,++t dt d t d t d A A ++++≤<≤<从而22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d tt d t t d A ++-++-≤<,再由3122,t d t -+<+得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，代入验证得3d =，因此12822125ttA ≤<⨯，由23536t b b b t +=≤≤=+及310b =得4,5,67t =，，由310b =得10112272A ≤<，再结合12822125tt A ≤<⨯验证只有当6t =时，13622125A ≤<有解，解得64A =或65．5.【答案】15(,)43-6.【解析】()I 当n 2≥时，()()2n 133S n 1n 122-=-+-，n n n 1a S S 3n -∴=-=，又n 1=时，11a S 3==满足上式, 所以n a 3n =.()II ()*n n*1,n 2k 1,k N n n 2c 8,n 2k,k N ⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩.()()21321242n n n T c c c c c c -=+++++++111111123352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()242n 888++++()n6416411122n 1164-⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭()n n 646412n 163=+-+. 7.（II ）由12m m m a a a ++=，①若2()m k k *=∈N ，则22122k k k a a a ++= 即2131k k +=⇒=，即2m =, ② 若21()m k k *=-∈N ，即21221k k k a a a -+= 即1(21)2321k k k --⋅⋅=+，1223121k k -⋅=+-,123k -⋅为正整数∴221k -为正整数，即211k -=，即1k =，但此时式为0233⋅=不合题意,综上，2m =.（III ）若221m m S S -为{}n a 中的一项，则221mm S S -为正整数,2113212422(...+)(...)m m m S a a a a a a ---=++++++ 112(121)2(31)31231m m m m m --+--=+=+--，221221213m m m m m S S a S S ---+∴==-2122(1)331m m m --≤+-， 故若221m m S S -为{}n a 中的某一项只能为123,,a a a ，①若2122(1)3131m m m ---=⇒+-无解；②若212122(1)3231031m m m m m ----=⇒+-=+-，显然1m =不符合题意，2m =符合题意，当3m ≥时，设12()31m f m m -=+-，则112()3ln 32,()3(ln 3)20m m f m m f m --'''=-=->,即1()3ln 32m f m m -'=-为增函数，故()(3)0f m f ''≥>，即()f m 为增函数，,故()(3)10f m f >=>，故当3m ≥时方程12310m m -+-=无解，即2m =是方程唯一解；③若22122(1)33131m m m m ---=⇒=+-即1m =，综上所述，1m =或2m =. 8.（II ）因为33132231331322132131323313()()4n n n n n n n n n n n n b b b b b b a a a a a a a a b b b b -------=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，所以11313212113()()24n n n b a a a a a ---==⋅，1132321113()()24n n n b a a a a ---==-⋅，从而当*3,n k k N =∈时，。
第四章 数列(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第四章数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .3．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()n a d n a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)23 数列的基本知识与概念 (含详解)
专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。
苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列复习
数列
本章复习
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学习目标
1. 构建本章知识网络，掌握数列的定义、分类及表示方法． 2. 掌握等差数列和等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式、性 质及其应用．
活动方案
活动一 本章知识网络 知识结构框图
活动二 基本知识提炼与整理
数列的概念及表示方法： (1) 定义：按照一定次序排列的一列数； (2) 表示方法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法)； (3) 数列的前 n 项和公式与通项公式 an 的关系； (4) 数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
邻三项 am，am＋1，am＋2 按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 由题意，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2， 即an＋1＝12(an＋an＋2)，故k＝12.
(2) 由k＝－12，得an＋1＝－12(an＋an＋2)， 即2an＋1＝－an－an＋2，an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)， 故an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an. 当n是偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝n2(a1＋a2)＝n； 当n是奇数时，因为a2＋a3＝－(a1＋a2)＝－2，
＝
1
＋
221－2n－1 1－2
－
(2n
－
1)×2n
＝
1
＋
2n
＋
1
－
4
－
(2n
－
1)×2n
数列N项求和公式
数列N项求和公式
n项求和公式：n=n+1*h。
n项是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差。
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m ma a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
数列的概念
类型1:形如 等差数列。
a1 1 2 a1 2 n 1 2 an 2an an n 1 4 4n 3 a a n 2a na n1 n 2 n1 an 2 kan a na n1 a n a n 1 k a n a n 1或 a n 1 k ban
an 6n 2
S 形如：n a n b n c ( a , b , c R )
当 c 0 时，该数列是等 差数列；当 c 0 时，该 数列从第二项起成等差
3 2 ( a n 1),求 a n
1 2 (an 1 an )
Ex(1)已知数列 a n 中前n项和 S n
an 3
n
的通项公式。 (2)数列 a 的各项均为正数, 且 S 求 a 的通项公式。 a n n 1
n
n
n
n
小结：
已 知 S n与 a n的 关 系 ， 求 a n
方法一：消Snan.
n
方法二：消an Sn an.
a Ex：已知数列 a 中, a 1 1 ，n 1 2( a 1 a 2 a n )
,除以
或取倒数，转化
a1 5 5 a n1 2a n 3
an 2 3
n
类型2：形如 a n 1 k a n b ,加适当的数（待定系数法）转 化为等比数列。
a1 5 a1 5 n n 7 6 n an 5 a 2 an n1 a n1 a n n 2 2
8 9
9 8
n
a m in a 1 4
2
; a m ax a 13 2
函数与数列的联系与区别
函数与数列的联系与区别
联系：数列是特殊的函数.
区别：数列的定义域为正整数集N*（或它的有限子集)，而函数的定义域为实数集R(或它的子集).
1.首先从定义上看：数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。
通常可用an来表示其通项。
函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，通常可用符号f(x)来表示。
2.数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成是关于n的函数，例如等差数列的通项公式可以看成是关于n 的一次函数。
3.若函数y=f(x)为单调增函数，则所对应的数列为增函数；同样，函数y=f(x)为单调减函数，则所对应的数列为减函数。
即函数与对应的数列的单调性一致。
1-3数列的极限 北京航空航天大学高等数学期末模考复习
即有 a 1 xn a 1. 记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论 无界数列必定发散.
例4 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N , 即当n
使得当 N时,
n N时, xn (a
有 1, 2
x a
n a 1),
2
1 成立, 2
区间长度为1.
而x
无休止地反复取
n
1,
1两个数
,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{ xn }是有界的, 但却发散.
3. 数列及其子数列的极限关系
设{an } 是一个数列. 正整数列 n1, n2 , n3 , 满足 n1 n2 n3 , 则称数列 {an1 , an2 , an3 ,} 是数列
n
xn 0.
lim
n
xn
a.
定理 1.3.5 (极限的四则运算) 设 {an },{bn } 是收敛
数列, 则 {an bn },{anbn } 也都是收敛数列,且
(1)
lim(
n
an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn;
(2)
lnim(anbn )
(lim n
an
).(lim n
bn );
如果
hn2 ,
由此得 0 hn
2 , 即 0 n n 1
n1
2 n1
(n 1).
什么是项数
什么是项数
数列中项的总数叫做数列的“项数”。
在数列中，项数是一个正整数。
无穷数列没有项数。
数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）。
排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
数列中的项：
数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
无穷数列没有项数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别
（1）集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。
（2）集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
项数在数列中的应用：
和=（首项+末项）×项数÷2
项数=（末项-首项）÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项。
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数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集 {1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数an=f(n),当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一 列函数值。
思考
函数y 2 x 1与y 3x ,当x依次取1， 2， 3...时， 其函数值构成怎样的数列？
an
一.定义：
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10；
数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？ 如：数列－1，1，－1，1，· · · 。
二.数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
P28观察
有穷数列：项数有限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：
a1 1 a 1 1 n an 1
(n 1)
写出这个数列的前五项。 练习：P31 2
递推公式是数列所特有的表 示法，它包含两个部分，一是 递推关系，一是初始条件，二 者缺一不可．
（ 1 ） 1,2,4,8.
写出下面数列的一个通项公式，使它 的前4项分别是下列各数：
正方形数 1, 4, 9, 16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
一.定义：
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, …… (3)4，5，6，7，8，9，10； (4)10，9，8，7，6，5，4； 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
三.数列的表示： 观察下列数列的每一项与这一项的序号是 否有一定的对应关系？ 1 1 1 1 1 1 ， ，， ，， 项 2 3 4 5 n 序号 项 序号
练习：P31 1,3,4
数列
2，4，6，8，10，……
其通项公式是：
图象为：
an
10 9 8
an 2n
7
6 5
4
3 2
0
1
2
3
4
5
n
例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三 角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项 公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
2
3
2
1 1
?
64个格子
8
7
6
5
4
3
2
8 7 6 5 4 3 2 1 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
1 2
0
2
1
2
2
2
3
63 ? 2
1844,6744,0737,0955,1615
观察下列图形：
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
2.1数列的概念与简 单表示法
8 7 6 5 4 你想得到 64个格子 3
8 7 6 5 4 3
什么样的 2 赏赐？
1
1
8 7 6 OK 5
4 3 2
8
陛下，赏小 请在第一个格 请在第三个格 人一些麦粒 请在第二个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 4 颗麦粒 依次类推 … 子放 2 颗麦粒 7 子放 子放 8 颗麦粒 就可以 6 。 5 4
如果数列{an }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。
正方形数：1, 4, 9, 16, ……
an n 2
通项公式可以看成是数列的函数解析式。
如果只知道数列的通项公式，那能写出这个 数列吗？
根据下面数列 an 的通项公式，写出 它的前5项：
an 3
n 1
an 30 27 24 21 18 15
an 3
n 1
12
9 6 3
o
1
2
3
4
5
n
问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）
你能写出这个数列的前三项吗？ 递推公式 例3 设数列{an }满足
(1)三角形数：1, 3, 6, 10, .….. (2)正方形数：1, 4, 9, 16, ……
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位 的数称为这个数列的第1项（首项），
排第二位的数称为这个数列的第2项，· · · · · · ， 排第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成：a1 , a2 , a3 ,an ,, 其中 an是数列的第n项，上面的数列又可简记为
（ 1）
n an n 1
（2） an 1 n
n
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
an 2n 1 （ 1 ） 1,3,5,7; 2 an (n 1) （2） 4， 9， 16 ， 25 ； 1 1 1 a (1) n 1 1 (3)1 ， ，， ；n n 2 3 4 n1 an 1 (1) （4） 2， 0， 2， 0。
1 2 3 4 5
….
n 2n
2， 4， 6， 8， 10，…
1 2 3 4 5
……
n
数列中的每一个数都对应着一个序号， 反过来，每个序号也都对应着一个数。
数列与函数的关系 :
数列可以看作特殊的函数，序号是 其自变量，项是序号所对应的函数值， * N 数列的定义域是正整数集 ，或是 * 正整数集 的有限子集 ． N
( 2)1 0 ， 100 ， 1000 ， 10000 。 （3 ） 9， 99 ， 999 ， 9999 。 （4） 5， 55 ， 555 ， 5555 。 （5 ） 0.Байду номын сангаас,0.9 9,0.9 9 9 ,0.9 9 9 9 ( 6) 2, 5 ,2 2, 1 1.
小结
• • • • • • • • 1、数列的定义 2、数列的实质—特殊的函数（离散函数） 3、数列的通项公式 4、数列的表示方法： 列表法， 通项公式法， 图象法， 递推公式法