【附20套高考模拟试题】2020届吉林省长春市普通高中高考数学模拟试卷含答案
【附20套高考模拟试题】2020届吉林省长春二中高考数学模拟试卷含答案
2020届吉林省长春二中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．20,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．2,22⎡⎤⎢⎥⎣ 2．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2=BD•BC ．拓展到空间，在四面体A-BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）A ．2ABC BCO BCD S S S =⋅V V VB ．2ABD BOD BOC S S S =⋅V V VC ．2ADC DOC BOCS S S =⋅V V V D ．2BDC ABD ABCS S S =⋅V V V3．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A ．115B ．110C ．13D ．11304．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．55-D ．555．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．设随机变量(1,1)X N ~，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587C ．7028D ．75397．已知程序框图如图所示，若输入的2a =，则输出的结果S 的值为（ ）A ．1009B ．1008C ．20192 D ．201728．O 是ABC ∆的外接圆圆心，且0OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r方向上的投影为（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．329．已知ln 0a b -=，1c d -=，则（22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1 B ．2 C ．2D ．2210．已知是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)4- B ．1(,0)3- C ．1(,0)2- D ．(1,0)-11．2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（ ）①每年市场规模量逐年增加； ②增长最快的一年为2013～2014； ③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>）向左平移半个周期得()g x 的图像，若()g x 在[]0，π上的值域为312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则ω的取值范围是（ ） A ．116⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．2332⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1736⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．5563⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【20套精选试卷合集】吉林省长春市2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数的点是（ ）A MB NC PD Q 2.已知命题p ：a丨x 丨--1a＞0（a ＞1），命题q ：b 2lg x ＞1（0＜b ＜1），那么q 是p 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.已知向量a r ·（a r+2b r ）=0，a =b =1r r ，且c a 2b --r r r =1，则c r 的最大值为（ ） A 2 B 4 C 51+ D 31+ 4.已知整数x 、y 满足x 2y 202x y 10⎧++≤⎨-+≥⎩设z=x-3y ，则（ ）A z 的最大值为1B z 的最小值为1C z 的最大值为2D z 的最小值为2 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．7B ．15C ．31 D. 636.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π7.在△ABC 中，已知12xy =9，sinB=cosAsinC ，ABC S V =6，P 为线段9. 设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列｛a n ｝，a 1=1，n 2S n =a n 1+-13n²-n-23（1）求a n （2）证明11a +21a +…+n 1a ＜74（n∈N +）18.设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U ，丨x 丨+丨y 丨≤1确定的平面区域为V（1）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 内的概率。
吉林省长春市普通高中2020届高三下学期第二次模拟考试数学文试卷含Word版含解析
长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】题意可知，，. 故选B.点晴:集合的表示方法常用的有列举法、描述法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的代表元是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解函数的值域时，尤其要注意集合中其它的限制条件如集合，经常被忽视，另外在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集不易出错.2. 已知复数，则下列命题中正确的是.①；②；.③的虚部为；④在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.4. 圆关于直线对称的圆的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】圆的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为.故选D.5. 堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是()A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺【答案】C【解析】由已知，堑堵的体积为. 故选C.6. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】设三个区域圆心角比值为，故区域二所占面积比.故选B.7. 在中，D为三角形所在平面内一点，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，点在边的中位线上，且为靠近边的三等分点处，从而有.故选D.8. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 2017【答案】A【解析】由已知，.故选A.9. 关于函数，下列叙述有误的是A. 其图象关于直线对称B. 其图像可由图象上所有点横坐标变为原来的倍得到C. 其图像关于点对称D. 其值域为【答案】C..................10. 下图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】由图可知D错误.故选D.11. 双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为A. 8B. 10C.D.【答案】B【解析】由已知双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，△的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故△的周长的最小值为10.故选B.点晴：本题考查的是双曲线定义的应用.由双曲线的定义及点为双曲线第一象限内的点可得，于是可表示为△的周长，在点P的位置变化过程中，当折线变成直线，即三点共线时的最小值为，于是可得三角形周长的最小值.12. 已知定义域为R的函数的图象经过点，且对任意实数，都有，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】令，由任意，可得，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且. 故选A.点晴：本题考查的是函数的单调性的应用. ，由任意，可得，所以在定义域内单调递增，利用换元法令，有，得,最终解得且.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. _____________【答案】【解析】14. 已知实数满足，则的最大值为_____________【答案】7【解析】通过画可行域可以确定，使目标函数取最大值的最优解为，故的最大值为.点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为______________【答案】91【解析】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.16. 已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，于点，，则四棱锥的外接球半径为_____________【答案】【解析】由已知，设三角形外接圆圆心为，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为,F为BC边中点,求出, 设四棱锥的外接球球心为O,外接球半径的平方为,所以四棱锥外接球半径为2.17. 已知数列满足（1）若数列满足，求证：是等比数列；（2）求数列的前项和【答案】(1) 见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证; （2）由(1)可得，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.试题解析： (1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知，从而，有.点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据得到，即证得是等比数列;第二问中的通项由，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如下图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？【答案】(1) 根据统计数据做出列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15 4 19高茎10 16 26合计25 20 45 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图列出列联表，计算值，便可得出结论.(2) 从这5株玉米中选取2株共有方法数10种，其中均为矮茎的选取方式有3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.试题解析：(1) 根据统计数据做出列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15 4 19高茎10 16 26合计25 20 45 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.19. 已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）通过，可证得平面，又平面，利用面面垂直的判定定理可得证.(2) 利用等体积法，解得.试题解析（1）证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面. （2）由已知可得，取中点为，连结，由于，所以为等腰三角形，从而，，由（1）知平面所以到平面的距离为1，，令到平面的距离为，有，解得.点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多面体体积的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法，，解得.20.20. 已知抛物线与直线相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.试题解析：(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.21. 已知函数，.（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：（为自然对数的底数，）.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论，时，在上为增函数（舍）；当时，当时，增，当时，为减，又因为存在两个不同零点，所以，解不等式可得.试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.(2)①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由得，当时，，所以为增函数，当时，，所为增函减数，所以当时，取得极小值又因为存在两个不同零点，所以，即整理得，令，，在定义域内单调递增，，由知，故成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值．【答案】(1) 见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得的直角坐标方程.(2) 由直线参数方程的几何意义得，可得解.试题解析：(1) 由得，该曲线为椭圆.（2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，所以，从而，由于，所以.23. 选修4-5：不等式选讲（1）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；（2）若均为正数，求证：.【答案】(1) ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）的解集不是空集即的最小值，求的最小值即可.(2) 即，利用指数函数的性质分和讨论即可试题解析：(1) 令，可知，故要使不等式的解集不是空集，有. （2）由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时，，可得，当时，，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立.。
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 43.已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.9.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知双曲线与椭圆有相同焦点，，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______ ．14.已知长方形ABCD中，，，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为______．15.若，是函数的两个极值点，则______；______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；Ⅱ试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．19.四棱锥中，，，，，平面ABCD，E在棱PB上．Ⅰ求证：；Ⅱ若，求证：平面AEC．20.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知．由茎叶图可知乙班学生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．属于基础题．8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，，双曲线的离心率为，，椭圆与双曲线的焦点相同，，则，即，．故选：B．由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：解析：解：，，，，则，故答案为：由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.答案：解析：解：长方形ABCD中，，，可得，，作于E，可得，所以，，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，，，则，在中，即；在中：，即；由可得，，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：．由长方形中，，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD 可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15.答案：2解析：解：函数，，，令得：，，是方程的两个根，，，，故答案为：2，．先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，，代入即可求出．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16.答案：880解析：解：，当时，，解得或舍去，当时，，，得：，整理得：，数列的各项均为正数，，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，，，，故答案为：880．利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果．本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．解析：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：证明：Ⅰ过A作于F，，，，四边形ABCF为正方形，则，，得，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，则，得．又，则PB：：：1．，，，连接DB交AC于O，连接OE，∽，：：1，得DB：：1，：：OB，则．又平面AEC，平面AEC，平面AEC．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：：：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：：1，可得PB：：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC．本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．解析：Ⅰ由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；Ⅱ由Ⅰ可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M 的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，．直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．Ⅱ设，，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3} B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，2，3} 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( )A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC ，则AC 边上的高为( )A 5B ．2C 5D 159．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = ． 15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())221m f x km x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【思路分析】可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解析】{|02}A x x =剟；{0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【思路分析】根据复数求模公式计算即可． 【解析】因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3．下列与函数y定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =【思路分析】可看出，y=在定义域{|0}x x >上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{|0}x x >上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{|0}x x >，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．【解析】y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】Q 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =． 则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【思路分析】根据条件即可求出1212e e =u r u u r g ，然后对12a e e λ=-u r u u r r两边平方，进行数量积的运算即可得出213λλ-+=，解出λ即可．【解析】Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r ，∴1212e e =u r u u r g ，且||3a =r，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r rg ，解得2λ=或1-．故选：D ．【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解析】对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数()a xf x ln a x+=-在0a >时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．【解析】根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立， 当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x ln ln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ． 【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为( )A ．5B ．2C ．5D ．15【思路分析】先利用平方关系求得sin A ，再由sin sin()ABC A C ∠=+及正弦定理可求得3AB =，最后由等面积法求得AC 边长的高．【解析】Q 2cos ,03A A π=-<<，∴5sin A =，∴5321152sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C -∠=+=+=⨯-⨯=， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即15211522AB -=-，解得3AB =， ∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯，∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到A 县，若若甲不单独被派遣到A 县，问题得以解决．【解析】若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【思路分析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，可得11//EG D B ，又1CA ⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，可得1B F 与BC 不垂直，即可判断出正误．④由于11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．即可判断出正误．【解析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出．【解析】1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒Q ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =， ∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键． 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【思路分析】观察11()x x f x e e x --=-+，可得()(2)2f x f x +-=，于是()(32)2f x f x +-„等价转化为()(32)()(2)f x f x f x f x +-+-„，即(32)(2)f x f x --„，再分析()f x 的单调性，脱“f ”即可求得答案．【解析】11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟，(32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出()(2)2f x f x +-=是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果．【解析】1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =． 故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12 ．【思路分析】由题意可得，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，由此求得ω的取值范围．【解析】Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为223；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【思路分析】由于BD 过球心，所以可得90BAD BCD ∠=∠=︒，AO ⊥面BCD ，所以当BC CD =时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．【解析】当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -=g g g ，当BC CD =时体积最大，因为22BD =，2OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：112222232=g g g g ；三棱锥A BCD -体积最大时，三角形ABC 中，222AB AC OC OA BC ==+==，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则23r =，所以3r =，所以外接圆的面积为243S r ππ==，故答案分别为：22，43π．【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生30女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．【思路分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出2K 并与6.635比较，从而得出答案．【解析】（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计307010024.762 6.635()()()()50503070K a b c d a c b d ==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【思路分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得1A B GN ⊥，在BNE ∆中可求得BE ，进而得到1A E ，再解△1AGE ，即可求得AG 的长； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BMG 及平面MNG 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值．【解析】（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥， 设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN ABN =∠=⨯=+g ， 则114565164A E A B BE =-=+-=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r r g r rr r ，∴二面角B MG N --的余弦值为5．【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】本题第（Ⅰ）题将递推式进行转化可得到2113()n n n n a a a a +++-=-，则数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列1{}n n a a +-的通项公式，再应用累加法可计算出数列{}n a 的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式3n n b n n =-g．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，可运用错位相减法计算出数列{}n c 的前n 项和为n T ，最后运用分组求和法计算出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g gg113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--g ．【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n 项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）设P 的坐标，由离心率及直线PA 和PB 的斜率之积为34-．P 点代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线AP 的方程，与椭圆联立求出P 的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出P 的坐标，再由椭圆令直线的0x =求出Q 的纵坐标，进而求出||||AP AQ 之积，有题意设直线OM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出2||OM ，进而求出2||||||AP AQ OM g 为定值【解析】（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--， 而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ==，在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43M M m OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【思路分析】()I 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；()II 由已知对m 分类讨论，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，原不等式可化为12()f x x +>，然后构造函数11()2()2xh x f x e x x=+=+，结合导数及函数的性质可求()h x 最小值的范围，可求． 【解析】()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =， 故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +>， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．【归纳与总结】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解由不等式恒成立求解参数范围 问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【思路分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值．【解析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos||sin cos ||sin 2cos 21||2sin(2)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． Q 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ON OM 的最小值为4(21)21=-+．【归纳与总结】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当2a =时，()|21||1|f x x x =++-，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1()min f x <，(0)x >，讨论0a =，0a <，0a >，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-， 综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a=++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a+>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={xx(x −2)≤0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，3}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,2，3} 2. 若z =1+(1−a)i(a ∈R)，|z|=√2，则a =( )A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1 3. 下列与函数y =1√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A. a 1 B. a 3 C. a 8 D. a 105. 若单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 夹角为60°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 4 B. 2 C. √3 D. 16. 《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高数二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是(注：雷达图(RadarCℎart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderCℎart)，可用于对研究对象的多维分析)( )A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q8. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，则函数y =f(x)−3的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n (n∈N∗)，则S n=()A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4.正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约条条件{2x+y≥2y−2≤02x−y≤2，则z=x+y的最大值为______14.曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=______．15.在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______．16.三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，三棱锥A−BCD体积的最大值为______；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若AC=2，求AB长．18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P(K2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．(Ⅰ)求证：A1B⊥GM；(Ⅱ)求点A1到平面MNG的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．(Ⅰ)若x 1为f(x)的极值点，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值； (Ⅱ)求证：当m >0时，f(x)有唯一的零点．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)(Ⅰ)求C 1和C 2的普通方程；(Ⅱ)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23. 已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(Ⅰ)若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|0≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：因为z =1+(1−a)i(a ∈R)，∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒(1−a)2=1⇒a =0或2； 故选：A ．根据复数求模公式计算即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题． 3.答案：C解析：解：y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x|x >0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x|x ≥0}． 故选：C ．可看出，y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{x|x >0}上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{x|x >0}，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ． 本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，3a 5=2a 7， ∴3(a 1+4d)=2(a 1+6d)， 化为：a 1=0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，得a ⃗ 2=(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )2=4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4×1−4×1×1×cos60°+1=3， 所以|a ⃗ |=√3． 故选：C ．根据平面向量的数量积，计算模长即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误， 对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7.答案：A解析：解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立， 当x 0=π时，对任意实数x ，使得sin(x +π)=−sinx 恒成立， 故P 为真命题；命题q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x >0，解可得−a <x <a ，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数， 故其为真命题；则p ∧q 为真命题，(￢p)∨(￢q)、P ∧(￢q)、(￢p)∧q 为假命题； 故选：A ．根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x 在a >0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题． 8.答案：B解析：解：因为函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，且x ≤0时f(x =−2x(x +2)=−2(x +1)2+2； 所以f(x)的图象如图，由图可得：y =f(x)与y =3只有两个交点； 即函数y =f(x)−3的零点个数是2； 故选：B ．画出f(x)的图象，结合图象求出y =f(x)与y =3的交点个数，即可判断结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，属于中档题． 9.答案：C解析：解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论． 本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题． 10.答案：D解析：解：圆x 2+y 2−4y =0化为标准方程为：x 2+(y −2)2=4， ∴圆心为(0,2)，半径r =2，∵渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay =0， ∴√a 2+b 2=√3，即2ac =√3∴离心率e =c a=2√33， 故选：D ．先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值． 本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题． 11.答案：B解析：解：法一：排除法：a 2=6，a 3=16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)，∴S n+1−S n =n+2nS n ,化简得：S n+1n+1 =2Sn n， ∴数列{Snn}是以2为首项，2为公比的等比数列， S n n=2n ,S n =n ⋅2n ．故选：B ．根据a n+1=S n+1−S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG//D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM//ED ，因此GC//ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.∴EF 和BB 1成角为π4.正确．正确命题的个数是2． 故选：C ． 如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG//D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误．对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误； ③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：4解析：解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图： 化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A(2,2)时， 目标函数有最大值为z =4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：1解析：解：∵f′(x)=2cosx ， ∴f′(π3)=2cos π3=1，∵切线与直线ax +y −1=0垂直， 所以−a =−1 ∴a =1．故答案为：1．根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，利用切点处的导数等于切线斜率是本题的切入点．15.答案：16解析：解：由∠ABQ =90°，∠BAP =90°， 延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形，因为AO =OB =AB ；所以：∠AOB =∠POQ =60°； 所以其概率为：P =60°360∘=16．故答案为：16．先找到等于90°的分界点，进而求得结论．本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16.答案：2√2 4π3解析：解：当BD 过球心，所以∠BAD =∠BCD =90°，所以AO ⊥面BCD ，V A−BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC =CD 时体积最大， 因为BD =2√2，OA =√2，所以BC =CD =2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A −BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB =AC =√OC 2+OA 2=2=BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =√32，所以r =√3，所以外接圆的面积为S =πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3． 由于BD 过球心，所以可得∠BAD =∠BCD =90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC =CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinBsin 2A =√2cosA 中，sinB =2√23， ∴2sin 2A =3cosA ，即2(1−cos 2A)=3cosA ， 解得cosA =12，A =π3．(2)∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB ，∴AB =ACsinB ⋅sinC =√64+1．解析：(1)由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； (2)由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求． 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题．18.答案：解：(Ⅰ)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005)×10=1， 解得m =0.025；擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 3070 100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762<6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．解析：(Ⅰ)由小矩形面积之和为1即可求出m ；(Ⅱ)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN//BC ， 可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ， 由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，由(Ⅰ)可得A 1B ⊥平面MNG ， 在△BNE 中，AA 1=2AB =4，tan∠EBN =12，则cos∠EBN =√5， 可得BE =4√55，由BA 1=2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．解析：(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．本题考查线面垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用转化思想和平面几何的性质，属于中档题．20.答案：解：(1)已知点P 在椭圆上，设P(x 0,y 0)，即有x 02a 2+y 02b 2=1，又k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c =2， 可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ， 联立直线AP 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， 由x A =−2，可得x P =6−8k 23+4k 2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2−12=0，即x M 2=6−8k 23+4k 2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M|2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，且定值为2．解析：(1)由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a =−34，又c =1，再结合a 2=b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识．21.答案：解：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得(2x 1+x 2+3)(x 1−x 2)=0．2x 1+x 2=−3.(6’)(2)证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，可知ℎ(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，又ℎ(−2)=43，ℎ(0)=0；−m(x +1)为过点(−1,0)的直线，又m >0，则−m <0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．(12分)解析：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．(2)令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程为(x −2)2+y 2=4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)，得{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y =8； (Ⅱ)如图，圆C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)， 则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=4|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4<α<π2，∴−π4<2α+π4<5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1,1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为4√2+1=4(√2−1)．解析：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程；(Ⅱ)分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9，解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)；(Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立，即为1<f(x)min，当a=0时，f(x)=|x−1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a<0，即−a>0时，f(x)=|ax+1|+|x−1|=−a|x+1a |+|x−1|=(−a−1)|x+1a|+(|x−1|+|x+1a|)，当−a−1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a|>1不恒成立；当a>0，x>0时，f(x)=ax+1+|x−1的最小值为f(1)=a+1|>1恒成立，综上可得，a的范围是(0,+∞)．解析：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 已知复数z =a +i ，a ∈R ，若|z|=2，则a 的值为( )A. 1B. √3C. ±1D. ±√33. 下列与函数y =√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 在等差数列{a n }中，a 3=3，d =2，则a 1=( )A. 1B. −1C. 7D. 25. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=( )A. 12B. 4C. 2√3D. √36. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是A. 乙的记忆能力优于甲的记忆能力B. 乙的创造力优于观察能力C. 甲的六大能力中记忆能力最差D. 甲的六大能力整体水平优于乙7. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1eC. a <1D. a <1e8. 函数f(x)={lnx −x 2+2x(x >0)x 2−2x −3(x ≤0)的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 已知α为锐角，cos(α+π6)=23，则sinα=( )A. 2+√156B. 2√3+√56C. 2√3−√56D. √15−2610. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3311. 已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6=6332，且−a 2，a 4，3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．A. (12)n−1；4−(2n +4)⋅(12)nB. (12)n；4−(2n +4)⋅(12)n C. (12)n−1；5−(2n +4)⋅(12)nD. (12)n；5−(2n +4)⋅(12)n 12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A. A 1E ⊥DC 1B. A 1E ⊥BDC. A 1E ⊥BC 1D. A 1E ⊥AC二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x,y 满足{x −y +1≤02x +y −4≥0x ≥0，则z =x +2y 的最小值为________．14. 设曲线y =2−cosx sinx在点(π2,2)处的切线与直线x +ay +1=0垂直，则a = ______ ．15. 已知在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，在边AB 上任取一点F ，则△ADF 与△BFE 的面积之比大于1的概率是________．16. 一个平行于棱长为1的正四面体ABCD 的一对棱AC ，BD 的截面，所得最大截面的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足2√3sinAsinB =5sinC 且cosB =1114．(1)求角A 的大小；(2)若内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =14，求边BC 上的中线AD 的长．18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E为A1C1的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB，(1)求证：AB⊥BC；(2)若C1F//平面ABE，且C1F=2，求点A到平面BCE的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD 为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．21.已知函数f(x)=[ax2+(a−1)2x+a−(a−1)2]e x，若x=0为f(x)的极值点，求实数a的值．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.已知函数f(x)=|a−x|+|x+1|．(1)当a=6时，解不等式f(x)≥9；(2)若关于实数x的不等式f(x)>2a2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：D解析：本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，属于基础题．根据复数求模公式计算即可．解：z=a+i，a∈R，则|z|=√a2+1=2，解得：a=±√3，故选：D．3.答案：C解析：解：y=在定义域{x|x>0}上单调递减，xy=2log2x=x在定义域{x|x>0}上单调递增，故A错；y=log2(1)x的定义域为R，B错；2y=log21在定义域{x|x>0}上单调递减，C正确；xy=x14的定义域为{x|x≥0}.故D错故选：C．可看出，y=在定义域{x|x>0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x>0}上单调√x递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x>0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}中，a3=3，d=2，a1+2×2=3，解得a1=−1．故选：B．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，是基础题．根据平面向量的数量积计算向量的模长即可．解：平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，∴|a⃗|=2，∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12，∴|a⃗+2b⃗ |=2√3．故选C．6.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题．在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5；在B中，乙的创造能力是3，乙的观察能力是4；在C中，甲的推理能力最差；在D中，甲的六大能力综合为4+5+5+4+4+3=25，乙的综合能力和为5+3+3+4+4+5=24，得到整体水平甲的高．解：由六维能力雷达图，得：在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5，。
2020年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)(有答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. 或D. 或2.在等比数列中，，，则A. B. C. 9 D. 123.设复数，，下列说法正确的是A. z的虚部是yiB.C. 若，则复数z为纯虚数D. 若z满足，则z在复平面内对应点的轨迹是圆4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种5.若，则A. B. C. D.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为每次试跳之间互不影响，则本次比赛他获得冠军的概率是A. B. C. D.7.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.已知直线a和平面、有如下关系：，，，，则下列命题为真的是A. B. C. D.9.如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为，，此时无人机的高度为h，则AB的距离为A. B.C. D.10.过抛物线C：的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则A. B. C. 4 D.11.函数的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是函数的图象关于点成中心对称；函数在上单调递；圆C的面积为A. B. C. D.12.函数的图象在点处两条切线的交点一定满足A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的离心率为，则渐近线方程是______．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的取值范围是______．15.已知向量，则面积为______．16.已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC，的中点，则二面角的余弦值为______若动点P在正方形包括边界内运动，且平面AMN，则线段的长度范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是等比数列，且公比q不等于1，数列满足．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ若，，求数列的前n项和．18.如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，点E为PB的中点，且，点F在CD上，且．Ⅰ求证：平面PAD；Ⅱ若平面平面ABCD，且，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．19.已知椭圆C：与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．Ⅰ求过A，B，C三点的圆E的方程；Ⅱ若O为坐标原点，直线l与椭圆C和Ⅰ中的圆E分别相切于点P和点Q不重合，求直线OP与直线EQ的斜率之积．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．设方案中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；设，试比较方案中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？最后结果四舍五入保留整数21.已知函数．Ⅰ若函数在处有最大值，求a的值；Ⅱ当时，判断的零点个数，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足，点B的轨迹为．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ设点M的极坐标为，求面积的最小值．23.已知函数．Ⅰ解不等式：Ⅱ设时，的最小值为若实数a，b，c满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：；；．故选：B．可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．本题主要考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集、补集的运算．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列中，，，则有，变形可得；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：D解析：解：复数，，z的虚部是y，所以A不正确；，不正确，因为左侧是复数，右侧是实数，所以B不正确；若，并且，则复数z为纯虚数，所以C不正确；若z满足，则z在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以D 正确；故选：D．利用复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程的判断，是基本知识的考查．4.答案：D解析：解：分两类，第一类，1名女生3名男生，有种，第二类，2名女生2名男生，有种，根据分类计数原理得，共有种．故选：D．分两类，第一类，1名女生3名男生，有种，第二类，2名女生2名男生，有种，根据分类计数原理可得．本题考查分类计数原理，考查分类讨论，属于基础题目．5.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由已知利用二倍角公式可求的值，利用诱导公式可求，根据诱导公式可求，由此得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.答案：D解析：解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为，则本次比赛他获得冠军的概率故选：D．结合题意可知，他能获得概率对应的事件为第一次能通过或第一次没通过，第二次通过，前两次没通过，第三次通过，然后结合独立事件的概率公式可求．本题主要考查了n次独立事件恰好发生k次的概率公式，属于基础试题．7.答案：D解析：解：，，，，．故选：D．可以得出，，，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：对于A，由，，可得或，故A错误；对于B，由，，可得或或a与相交，故B错误；对于C，由，过a作平面与相交，交线为b，则，，，而，可得，故C正确；对于D，由，，可得，故D错误．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.答案：A解析：解：如图所示，由题意作，可得，，，则，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故选：A．利用正弦定理求出AB，再结合选项化简即可得出答案．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．10.答案：A解析：解：过A作准线，过B作准线，过A作交BG于点D，交y轴于点C设，则，，准线：，根据抛物线性质得：，，，，，由图可知：，即，解得，则．故选：A．根据条件画出示意图，设，则，利用，求出x，进而求出比值．本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.答案：B解析：解：根据函数的图象与圆C的关系，得到点C为点M和点N的对称点．所以点C的横坐标，即，函数的最小正周期为．故函数的图象关于点的横坐标为：，当时，点成中心对称，故正确．由于，所以，则，故单调增区间为，故错误．由于，当时，，解得．所以当时．所以．所以圆C的面积为故正确．故选：B．首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：A解析：解：的导数为，可得的图象在点处两条切线的斜率分别为，，可得，，，可得的图象在A处的切线的方程为，的图象在B处的切线的方程为，可得，，即，，解得，故选：A．求得的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得的图象在A，B处的切线的方程，联立方程，求得交点的横坐标为0，即可得到结论．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：双曲线的离心率为，，双曲线的渐近线是．答案：由双曲线的离心率为，可以求出a，b，从而求出双曲线的渐近线方程．本题比较简单，根据离心率求出a，b即可求出双曲线的渐近线方程．14.答案：解析：解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出的值域，当时，，当时，，故输出s的取值范围是．故答案为：．模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出的值域，进而得到答案．本题以程序框图为载体，考查了函数的值域，属于基础题．15.答案：解析：解：易知，，，．．故答案为：．将看成基底，表示出，代入，可求出的夹角，则面积可求．本题考查平面向量数量积的运算和三角形的面积公式，同时考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：延长AM至Q，使得，连接NQ，如图，由于为正方体，由三垂线定理易知为二面角的平面角，而，故，，；以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2，，，0，，2，，2，，0，，则，，设平面AMN的一个法向量为，则，故可取，又平面AMN，，点P的轨迹为经过，中点的线段，根据对称性可知，当点P在两个中点时，，当点P在两个中点的中点时，，故选段的长度范围是．故答案为：，．易知为二面角的平面角，利用相似的性质可求得CQ，进而求得NQ，由此得解二面角的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P的轨迹为经过，中点的线段，再根据对称性即可求得线段长度的最值，进而得到取值范围．本题考查二面角的求法以及空间中线段长度取值范围的求解，考查利用空间向量解决立体几何中的动态问题，也考查了转化思想，运算求解能力，逻辑推理能力等，是中档题．17.答案：证明：Ⅰ数列是等比数列，且公比q不等于1，所以．数列满足，则，所以．故数列是等差数列．解：Ⅱ由于，，可知．解得或舍去．即．设，所以．解析：Ⅰ直接利用定义证明数列为等差数列．Ⅱ利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.答案：解：Ⅰ证明：取PA的中点，连接DM，EM，在中，ME为一条中位线，则，又由题意有，，故，四边形DFEM为平行四边形，，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面平面ABCD，且，平面平面，可知平面ABCD，又，故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PBF的一个法向量为，则，可取，又，故，直线PA与平面PBF所成角的正弦值为．解析：Ⅰ先证明四边形DFEM为平行四边形，进而得到，由此得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量及直线PA的方向向量，再利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得，，，由圆的性质可得圆心E在线段BC的中垂线上，所以设可得，所以，解得，所以圆心E的坐标，半径，所以圆E的方程为：；Ⅱ由题意设直线l的方程为存在且不为，联立直线l与椭圆的方程，整理可得：，设直线l与椭圆的切点，由即，可得，，解得，，因为直线l与E相切，所以圆心E到直线l的距离等于半径，可得，整理可得，由可得，直线OP的斜率为，直线EQ与直线l垂直，所以，所以．解析：Ⅰ由题意可得A，B，C三点的坐标，再由圆的性质可得圆心在圆的弦的中垂线上，可设圆心的坐标，由圆的半径可求出圆心的坐标及半径的值，进而求出圆的方程；Ⅱ设直线l的方程由与椭圆相切由判别式为0求出参数的关系，及切点的坐标，再由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的关系，两式联立求出参数的值，进而求出EQ的斜率及OP 的斜率，求出两个斜率之积．本题考查求圆的方程及直线与椭圆相切和直线与圆相切的性质，属于中档题．20.答案：解：设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则；所以k个人的混合后呈阴性的概率为，呈阳性反应的概率为；依题意知X的可能取值为，；所以X的分布列为；XP q1-q方案中，结合知每个人的平均化验次数为：；所以当时，，此时1000人需要化验的总次数为690次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为604次；当时，，此时1000人需要化验的总次数为594次；即时化验次数最多，时化验次数居中，时化验次数最少；而采用方案需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案，时化验次数最多可以平均减少次．解析：设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；方案中计算每个人的平均化验次数，分别求出、3、4时的值，比较即可．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由条件可知，时，，即，解得，则，，令，则，则为减函数，又，则在上单调递增，在上单调递减，即函数在处取得最大值，综上，．Ⅱ令，，则与的零点个数相等，当时，，即，所以函数零点个数为0，当时，，所以函数在上为减函数，即函数至多有一个零点，即至多有一个零点，当时，，所以当时，，又，所以函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点，当时，令，即，令，易知在为增函数，且，故存在，使得，即，由以上可知，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，，令，，则，所以在上为增函数，则，即，当且仅当，时等号成立，由以上可知，当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点，当时，无零点，综上所述，当时，函数无零点，当或时，函数有且只有一个零点．解析：Ⅰ由题意得得，，则，先求，再令，求导得，则为减函数，又，得单调性，即函数在处取得最大值，综上，．Ⅱ令，，则与的零点个数相等，分三种情况当时，当时，当时，分析单调性，函数值，零点个数，进而得出答案．本题考查导数的综合应用，零点的个数，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ将曲线化为普通方程为，即，又，则曲线的极坐标方程为；又根据题意有，可知，即为曲线的极坐标方程；Ⅱ由，而，故面积的最小值为2．解析：Ⅰ利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；Ⅱ先表示出的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．本题主要考查简单曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查三角形的面积公式，属于基础题．23.答案：解：Ⅰ因为函数．当时，不等式等价为，解得；当时，不等式等价为，解得；当时，不等式等价为，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ由，可得的最小值为，，当且仅当“”时取等号，；即的最小值为6．解析：Ⅰ分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；Ⅱ由绝对值的三角不等式，求得的最小值，再结合柯西不等式，即可求解．本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
吉林省长春市2020届高考数学二模试卷(文科) (解析版)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3} 2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y=1√x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x144．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量e1→，e2→夹角为60°，a→=2e1→−e2→，则|a→|＝（）A．4B．2C．√3D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√3311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣112．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC ∥ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1成角为π4．正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 ．14．曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为 ．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 ；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，sin B sin 2A =√2cos A ，cos B =13． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若AC ＝2，求AB 长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝4，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，G 为棱AA 1上一点，若A 1B ⊥NG ． （Ⅰ）求证：A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）求点A 1到平面MNG 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y=x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x14【分析】可看出，y=1√x在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B ，D 都错误，只能选C ． 解：y =1√x {x |x ＞0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x |x ＞0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x |x ＞0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x |x ≥0}． 故选：C ．4．已知等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是（ ） A ．a 1B ．a 3C ．a 8D ．a 10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7， ∴3（a 1+4d ）＝2（a 1+6d ）， 化为：a 1＝0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．5．若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|＝（ ） A ．4B ．2C ．√3D ．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可． 解：由a →=2e 1→−e 2→，得a →2=(2e 1→−e 2→)2=4e 1→2−4e 1→•e 2→+e 2→2=4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3， 所以|a →|=√3． 故选：C ．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D正确，故选：D．7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f （x ）＝ln a+x a−x在a ＞0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立， 当x 0＝π时，对任意实数x ，使得sin （x +π）＝﹣sin x 恒成立， 故P 为真命题； 命题q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x，有a+x a−x＞0，解可得﹣a ＜x ＜a ，函数的定义域为（﹣a ，a ），关于原点对称， 有f （﹣x ）＝lna+x a−x=−lna+x a−x=−f （x ），即函数f （x ）为奇函数，故其为真命题；则p ∧q 为真命题，（￢p ）∨（￢q ）、P ∧（￢q ）、（￢p ）∧q 为假命题； 故选：A ．8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】画出f （x ）的图象，结合图象求出y ＝f （x ）与y ＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2；所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．9．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【分析】由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)， 将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．10．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√33【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x 2+y 2﹣4y ＝0化为标准方程为：x 2+（y ﹣2）2＝4， ∴圆心为（0，2），半径r ＝2，∵渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴√a 22=√3，即2ac=√3∴离心率e =c a =2√33，故选：D ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣1【分析】根据a n +1＝S n +1﹣S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 解：法一：排除法：a 2＝6，a 3＝16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)， ∴S n+1−S n =n+2n S n ，化简得：S n+1n+1=2Sn n， ∴数列{S n n}是以2为首项，2为公比的等比数列，S n n=2n ，S n =n ⋅2n ．故选：B ．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】如图对于①，连接A1C，B1D1，可得EG∥D1B1，又CA1⊥平面EFG，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，可得B1F与BC不垂直，即可判断出正误．④由于D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A1C，B1D1，则EG∥D1B1，而CA1⊥平面EFG，所以AC1⊥EG；故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM ∥ED，因此GC∥ED不正确；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，∴B1F与BC不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立．④∵D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．∴EF和BB1成角为π4．正确．正确命题的个数是2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图：化目标函数z ＝x +y 为y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A （2，2）时， 目标函数有最大值为z ＝4． 故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在x=π3处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴f′(π3)=2cosπ3=1，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为16．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P=60°360°=16．故答案为：16．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 √23；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为4π3．【分析】由于BD 过球心，所以可得∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC ＝CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD 过球心，所以∠BAD ＝∠BCD ＝90°，所以AO ⊥面BCD ，V A ﹣BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC ＝CD 时体积最大， 因为BD ＝2√2，OA =√2，所以BC ＝CD ＝2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23； 三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB ＝AC =√OC 2+OA 2=2＝BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =232，所以r =3， 所以外接圆的面积为S ＝πr 2=4π3， 故答案分别为：2√23，4π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A=√2cos A，cos B=1 3．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合和差角公式可求sin C，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵sinBsin2A=√2cosA中，sinB=2√23，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得cosA=12，A=π3．（2）∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB，∴AB=ACsinB⋅sinC=√64+1．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005）×10＝1， 解得m ＝0.025； （Ⅱ）擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性104050合计3070100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，易得A1B⊥平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB⊥BC，BC⊥BB1，可得CB⊥平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MN∥BC，可得MN⊥平面ABB1A1，又A1B⊥NG，由三垂线定理可得A1B⊥GM；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，由（Ⅰ）可得A1B⊥平面MNG，在△BNE中，AA1＝2AB＝4，tan∠EBN=12，则cos∠EBN=5，可得BE =4√55，由BA 1＝2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a2=−34，又c ＝1，再结合a 2＝b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．解：（1）已知点P 在椭圆上，设P （x 0，y 0），即有x 02a +y 02b =1，又k AP k BP=y 0x 0+a ⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c ＝2，可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，联立直线AP 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0， 由x A ＝﹣2，可得x P =6−8k 23+4k2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x2﹣12＝0，即x M2=6−8k 23+4k2，所以|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．即|AP|⋅|AQ||OM|为定值，且定值为2．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．（2）令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．解：（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得（2x 1+x 2+3）（x 1﹣x 2）＝0． 2x 1+x 2＝﹣3．（6’）（2）证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，可知h （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又h(−2)=43，h （0）＝0；﹣m （x +1）为过点（﹣1，0）的直线，又m ＞0，则﹣m ＜0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．【分析】（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4为{x =8−√22t y =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4（t 为参数），得{x =8−√22ty =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y ＝8；（Ⅱ）如图，圆C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ＝8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4＜α＜π2，∴−π4＜2α+π4＜5π4． ∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1，1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为√2+1=4(√2−1)．一、选择题23．已知函数f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若a ＝2，解关于x 的不等式f （x ）＜9；（Ⅱ）若当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f （x ）min ，（x ＞0），讨论a ＝0，a ＜0，a ＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|={3x ，x ＞1x +2，−12≤x ≤1−3x ，x ＜−12，则f （x ）＜9等价为{x ＞13x ＜9或{−12≤x ≤1x +2＜9或{x ＜−12−3x ＜9，解得1＜x ＜3或−12≤x ≤1或﹣3＜x ＜−12， 综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）； （Ⅱ）当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立， 即为1＜f （x ）min ，当a ＝0时，f （x ）＝|x ﹣1|，其最小值为f （1）＝0，不符题意；当a ＜0，即﹣a ＞0时，f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|＝﹣a |x +1a|+|x ﹣1|＝（﹣a ﹣1）|x +1a|+（|x ﹣1|+|x +1a|），当﹣a ﹣1≥0，f （x ）有最小值，且为|1+1a|，又|1+1a|＞1不恒成立；当a ＞0，x ＞0时，f （x ）＝ax +1+|x ﹣1的最小值为f （1）＝a +1|＞1恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+∞）．。
2020吉林长春高考模拟真题—文数+答案
（Ⅱ）当 a 0 时， f (x) 的最小值为 f (1) 1；
当 a = 0 时， f (x) 的最小值为 f (1) =1；
当 a 0 时， f (x) 的最小值不恒大于 1.
综上， a (0,+) .
（5 分） （10 分）
在椭圆 C ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 上，
可设
P( x0 ,
y0) ，即
x02 a2
+
y02 b2
= 1，
又 kAP kBP
=
y0 x0 + a
y0 x0 − a
=
y02 x02 − a2
=
−
b2 a2
=−3， 4
且 2c = 2，可得椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 . 43
对照表格可知， 4.762 6.635，
不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系（. 12 分）. 19. (本小题满分 12 分)
【参考答案与评分细则】（Ⅰ）由题意：
平面ABB1 A1
⊥
平面BCC1B1 MN ⊥ BB1
MN
⊥
平面ABB1
A1
A1B
平面ABB1 A1
3
3
令 h(x) = 1 x3 + x2 ， h(x) = x2 + 2x ， 3
可知 h(x) 在 (−, −2) 和 (0, +) 上单调递增，在[−2,0]上单调递减，
又 h(−2) = 4 ， h(0) = 0 ； 3
−m(x +1) 为过 (−1,0) 点的直线，又 m 0，则 −m 0 ，
助力2020高考 2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（17）2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3} B ．{0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，2，3} 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( )A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC ，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x = D ．28y x = 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = ． 15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())221m f x km x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【思路分析】可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解析】{|02}A x x =剟；{0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．【归纳与总结】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2．若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【思路分析】根据复数求模公式计算即可． 【解析】因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．【归纳与总结】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题．3．下列与函数y定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y = C ．21log y x= D ．14y x =【思路分析】可看出，y=在定义域{|0}x x >上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{|0}x x >上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{|0}x x >，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．【解析】y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【思路分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】Q 等差数列{}n a 中，5732a a =，113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =． 则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||a =r，则实数(λ= ) A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【思路分析】根据条件即可求出1212e e =u r u u r g ，然后对12a e e λ=-u r u u r r两边平方，进行数量积的运算即可得出213λλ-+=，解出λ即可．【解析】Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r ，∴1212e e =u r u u r g ，且||3a =r，∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r rg ，解得2λ=或1-．故选：D ．【归纳与总结】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．6．《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 （注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【思路分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【解析】对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．【归纳与总结】本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x +=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【思路分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数()a xf x ln a x+=-在0a >时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．【解析】根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立， 当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x ln ln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ． 【归纳与总结】本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题．8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为( )A ．5B ．2C ．5D ．15【思路分析】先利用平方关系求得sin A ，再由sin sin()ABC A C ∠=+及正弦定理可求得3AB =，最后由等面积法求得AC 边长的高．【解析】Q 2cos ,03A A π=-<<，∴5sin A =，∴5321152sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C -∠=+=+=⨯-⨯=， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠，即15211522AB -=-，解得3AB =， ∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯，∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【思路分析】根据分类计数原理，分两类，若甲单独被派遣到A 县，若若甲不单独被派遣到A 县，问题得以解决．【解析】若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了分类计数原理，属于基础题．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【思路分析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，可得11//EG D B ，又1CA ⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，可得1B F 与BC 不垂直，即可判断出正误．④由于11//D D B B ，EF 和1DD 所角为4π．即可判断出正误．【解析】如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( )A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【思路分析】根据抛物线的定义和三角形的性质即可求出．【解析】1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴，1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =-120AMF ∠=︒Q ，30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =， ∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键． 12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【思路分析】观察11()x x f x e e x --=-+，可得()(2)2f x f x +-=，于是()(32)2f x f x +-„等价转化为()(32)()(2)f x f x f x f x +-+-„，即(32)(2)f x f x --„，再分析()f x 的单调性，脱“f ”即可求得答案．【解析】11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟，(32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数，∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析出()(2)2f x f x +-=是关键，考查观察与推理、运算能力，涉及等价转化思想的运用，属于难题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【思路分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．【归纳与总结】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【思路分析】直接利用定积分知识的应用和被积函数的原函数的求法和应用求出结果．【解析】1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =． 故答案为：2【归纳与总结】本题考查的知识要点：定积分知识的应用，被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12 ．【思路分析】由题意可得，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，由此求得ω的取值范围．【解析】Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．【归纳与总结】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为223；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【思路分析】由于BD 过球心，所以可得90BAD BCD ∠=∠=︒，AO ⊥面BCD ，所以当BC CD =时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．【解析】当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO ⊥面BCD ，1132A BCD V BC CD OA -=g g g ，当BC CD =时体积最大，因为22BD =，2OA =，所以2BC CD ==，所以最大体积为：112222232=g g g g ；三棱锥A BCD -体积最大时，三角形ABC 中，222AB AC OC OA BC ==+==，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则23r =，所以3r =，所以外接圆的面积为243S r ππ==，故答案分别为：22，43π．【归纳与总结】本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有 擅长 不擅长 合计 男生30女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n a b c d =+++．【思路分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出2K 并与6.635比较，从而得出答案．【解析】（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计307010024.762 6.635()()()()50503070K a b c d a c b d ==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 【归纳与总结】本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【思路分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得1A B GN ⊥，在BNE ∆中可求得BE ，进而得到1A E ，再解△1AGE ，即可求得AG 的长； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BMG 及平面MNG 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得所求余弦值．【解析】（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内，1A B GN ∴⊥， 设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN ABN =∠=⨯=+g ， 则114565164A E A B BE =-=+-=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r r g r rr r ，∴二面角B MG N --的余弦值为5．【归纳与总结】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】本题第（Ⅰ）题将递推式进行转化可得到2113()n n n n a a a a +++-=-，则数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．然后计算出数列1{}n n a a +-的通项公式，再应用累加法可计算出数列{}n a 的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式3n n b n n =-g．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，可运用错位相减法计算出数列{}n c 的前n 项和为n T ，最后运用分组求和法计算出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g gg113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=-22331134422n n n n -=+--g ．【归纳与总结】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法和分组求和法求前n 项和．考查了转化与化归思想，构造法，等比数列的通项公式和求和公式，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【思路分析】（Ⅰ）设P 的坐标，由离心率及直线PA 和PB 的斜率之积为34-．P 点代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线AP 的方程，与椭圆联立求出P 的纵坐标，代入直线方程进而求出横坐标，即求出P 的坐标，再由椭圆令直线的0x =求出Q 的纵坐标，进而求出||||AP AQ 之积，有题意设直线OM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出2||OM ，进而求出2||||||AP AQ OM g 为定值【解析】（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--， 而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ==，在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43M M m OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 【归纳与总结】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和两点间的距离公式，属于中档题．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【思路分析】()I 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；()II 由已知对m 分类讨论，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，原不等式可化为12()f x x +>，然后构造函数11()2()2xh x f x e x x=+=+，结合导数及函数的性质可求()h x 最小值的范围，可求． 【解析】()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =， 故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =，()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +>， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈+，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．【归纳与总结】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数及函数的性质求解由不等式恒成立求解参数范围 问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【思路分析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程；化38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆1C 的极坐标方程与直线2C 的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，可得8|||cos sin |||4|cos |ON OM ααα+=，整理后利用三角函数求最值．【解析】（Ⅰ）由22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C 的参数方程为22(2)4x y -+=；由38cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，可得2C 的普通方程为8x y +=；（Ⅱ）如图，圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2C 的极坐标方程为cos sin 8ρθρθ+=， 即8cos sin ρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin |||4|cos||sin cos ||sin 2cos 21||2sin(2)1|4ON OM cos ααπααααααα+====+++++． Q 42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ON OM 的最小值为4(21)21=-+．【归纳与总结】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当2a =时，()|21||1|f x x x =++-，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1()min f x <，(0)x >，讨论0a =，0a <，0a >，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-， 综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a=++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a+>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》 “助力2020高考”特别奉献备考 （纯WORD ）资料 已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD 版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD 版全详解) （10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD 版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（13）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解) （14）2020年山西省大同市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（15）2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解) （16）2020年新疆高考数学模拟试卷（文科）（问卷）（4月份）(精美纯WORD版全详解)（17）2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。
2020年吉林省长春市高考(文科)数学第二次模拟测试试卷 含解析
2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x4．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量，夹角为60°，＝2﹣，则||＝（）A．4B．2C．D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立：q：∀a＞0，f （x）＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q 8．已知函数，则函数y＝f（x）﹣3的零点个数是（）A．1B．2C．3D．49．已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．10．若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，，则S n＝（）A．2n﹣1+1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣112．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题13．若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为14．曲线f（x）＝2sin x在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．16．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A＝cos A，cos B＝．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．21．已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|＝＝⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x【分析】可看出，在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．解：在定义域{x|x＞0}上单调递减，在定义域{x|x＞0}上单调递增，的定义域为R，在定义域{x|x＞0}上单调递减，的定义域为{x|x≥0}．故选：C．4．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵等差数列{a n}中，3a5＝2a7，∴3（a1+4d）＝2（a1+6d），化为：a1＝0．则此数列中一定为0的是a1．故选：A．5．若单位向量，夹角为60°，＝2﹣，则||＝（）A．4B．2C．D．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可．解：由＝2﹣，得＝＝4﹣4•+＝4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3，所以||＝．故选：C．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D正确，故选：D．7．命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立：q：∀a＞0，f （x）＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P为真命题，分析函数f（x）＝ln在a＞0时的奇偶性，可得q为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立，当x0＝π时，对任意实数x，使得sin（x+π）＝﹣sin x恒成立，故P为真命题；命题q：∀a＞0，f（x）＝ln，有＞0，解可得﹣a＜x＜a，函数的定义域为（﹣a，a），关于原点对称，有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，故其为真命题；则p∧q为真命题，（￢p）∨（￢q）、P∧（￢q）、（￢p）∧q为假命题；故选：A．8．已知函数，则函数y＝f（x）﹣3的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】画出f（x）的图象，结合图象求出y＝f（x）与y＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数，且x≤0时f（x＝﹣2x（x+2）＝﹣2（x+1）2+2；所以f（x）的图象如图，由图可得：y＝f（x）与y＝3只有两个交点；即函数y＝f（x）﹣3的零点个数是2；故选：B．9．已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且，可得，将各个选项中的值代入检验，只有α＝满足，故选：C．10．若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x2+y2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d＝＝，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x2+y2﹣4y＝0化为标准方程为：x2+（y﹣2）2＝4，∴圆心为（0，2），半径r＝2，∵渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d＝＝，又渐近线方程为bx±ay＝0，∴，即∴离心率e＝，故选：D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，，则S n＝（）A．2n﹣1+1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣1【分析】根据a n+1＝S n+1﹣S n，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n．解：法一：排除法：a2＝6，a3＝16，验证知B对．法二：∵，∴，∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，．故选：B．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】如图对于①，连接A1C，B1D1，可得EG∥D1B1，又CA1⊥平面EFG，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，可得B1F与BC不垂直，即可判断出正误．④由于D1D∥B1B，EF和DD1所角为．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A1C，B1D1，则EG∥D1B1，而CA1⊥平面EFG，所以AC1⊥EG；故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM ∥ED，因此GC∥ED不正确；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，∴B1F与BC不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立．④∵D1D∥B1B，EF和DD1所角为．∴EF和BB1成角为．正确．正确命题的个数是2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为4【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足约条条件作出可行域如图：化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（2，2）时，目标函数有最大值为z＝4．故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P＝＝．故答案为：．16．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．【分析】由于BD过球心，所以可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AO⊥面BCD，所以当BC ＝CD时体积最大，这时三角形ABC为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD过球心，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，所以AO⊥面BCD，V A﹣BCD＝，当BC＝CD时体积最大，因为BD＝2，OA＝，所以BC＝CD＝2，所以最大体积为：＝；三棱锥A﹣BCD体积最大时，三角形ABC中，AB＝AC＝＝2＝BC，设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r＝，所以r＝，所以外接圆的面积为S＝πr2＝，故答案分别为：，．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A＝cos A，cos B＝．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合和差角公式可求sin C，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵中，，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得，．（2）∵由正弦定理得，∴．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m+0.030+0.005）×10＝1，解得m＝0.025；（Ⅱ）擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100＝≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，易得A1B⊥平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB⊥BC，BC⊥BB1，可得CB⊥平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MN∥BC，可得MN⊥平面ABB1A1，又A1B⊥NG，由三垂线定理可得A1B⊥GM；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，由（Ⅰ）可得A1B⊥平面MNG，在△BNE中，AA1＝2AB＝4，tan∠EBN＝，则cos∠EBN＝，可得，由BA1＝2，则，可知A1到平面MNG的距离为A1E＝．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA和PB的斜率之积为可得，又c＝1，再结合a2＝b2+c2从而求出椭圆C的方程；（2）设直线AP的方程为：y＝k（x+2），则直线OM的方程为y＝kx，分别于椭圆方程联立，求出点P，点M的坐标，代入化简得．解：（1）已知点P在椭圆上，设P（x0，y0），即有，又＝，且2c＝2，可得椭圆的方程为；（2）设直线AP的方程为：y＝k（x+2），则直线OM的方程为y＝kx，联立直线AP与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，由x A＝﹣2，可得，联立直线OM与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2﹣12＝0，即，所以．即为定值，且定值为2．21．已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f（x1）＝f（x2），且f′（x1）＝0，又f'（x）＝x2+2x+m，即得，化简并分解因式可得．（2）令，可得，令，h'（x）＝x2+2x，利用单调性可得：有且只有一个交点，即有唯一的零点．解：（1）由题可知f（x1）＝f（x2），且f′（x1）＝0，又f'（x）＝x2+2x+m，即得，化简并分解因式可得（2x1+x2+3）（x1﹣x2）＝0．2x1+x2＝﹣3．（6’）（2）证明：令，则，令，h'（x）＝x2+2x，可知h（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又，h（0）＝0；﹣m（x+1）为过点（﹣1，0）的直线，又m＞0，则﹣m＜0，因此有且只有一个交点，即有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由（α为参数），消去参数α，可得C1的参数方程；化为，消去参数t，可得C2的普通方程；（Ⅱ）分别写出圆C1的极坐标方程与直线C2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（＜α＜），可得＝，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由（α为参数），消去参数α，可得C1的参数方程为（x﹣2）2+y2＝4；由（t为参数），得，消去参数t，可得C2的普通方程为x+y＝8；（Ⅱ）如图，圆C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝8，即，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（＜α＜），则＝＝＝＝．∵＜α＜，∴＜2α+＜．∴∈，则的最小值为．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f（x）min，（x＞0），讨论a＝0，a＜0，a＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|＝，则f（x）＜9等价为或或，解得1＜x＜3或﹣≤x≤1或﹣3＜x＜﹣，综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）；（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＞1恒成立，即为1＜f（x）min，当a＝0时，f（x）＝|x﹣1|，其最小值为f（1）＝0，不符题意；当a＜0，即﹣a＞0时，f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|＝﹣a|x+|+|x﹣1|＝（﹣a﹣1）|x+|+（|x ﹣1|+|x+|），当﹣a﹣1≥0，f（x）有最小值，且为|1+|，又|1+|＞1不恒成立；当a＞0，x＞0时，f（x）＝ax+1+|x﹣1的最小值为f（1）＝a+1|＞1恒成立，综上可得，a的范围是（0，+∞）．。
2020年吉林省长春市市第二十中学高三数学文模拟试题含解析
2020年吉林省长春市市第二十中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知则( )A. B. C. D.π参考答案：B因为，所以即，故选B.2. 设指数函数的图象分别为，点在曲线上，线段（为坐标原点）交曲线于另一点.若曲线上存在一点，使点的横坐标与点的纵坐标相等，点的纵坐标是点的横坐标的2倍，则点的坐标是A．（4，4）B． C． D．参考答案：C3. 等比数列{a n}的各项均为正数，且，则（）A. 12B. 10C. 8D. 2+log35参考答案：B由等比数列的性质可得：，所以..则，故选：B.4. 已知集合A={x|x2+3x+2≤0}，B={y|y=2x-1,x∈R}，则A∩C R B=( )A．B．{-1} C．[-2，-1] D．[-2,-1)参考答案：CA={x|x2+3x+2≤0}，B={y|y=2x-1,x∈R}，所以A∩C R B=[-2，-1]。
5. 根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y为28，则判断框中的条件可以是（）A．x≥0？B．x≥1？C．x≥﹣1？D．x≥﹣3？参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后，x=2013，输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后，x=2011，输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后，x=3，输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后，x=1，输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后，x=﹣1，输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后，x=﹣3，输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1，输出y=28，故选：C．6. 设函数f(x)＝ln的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N等于A．{x|x＜0} B．{x|x＞0且x≠1}C．{x|x＜0且x≠－1} D．{x|x≤0且x≠－1}参考答案：C7. 若复数i i是实数i是虚数单位，则实数的值为（）A． B． C． D．参考答案：C8. 设变量满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：C略9. 函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（）A． B． C．D．参考答案：D10. 在平行四边形中，为一条对角线，A．（2，4） B．（3，5） C．（—2，—4） D．（—1，—1）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线y=﹣4x2的准线方程是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程．【解答】解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：12. (几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=．参考答案：略13. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)销售额y(万元)根据上表可得回归方程＝x＋中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为________(万元)．参考答案：73.514. 设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S n﹣=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n=．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n，化为a n+1=3a n．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{a n}为等比数列，∴．∴{a n}的通项公式为a n=．故答案为：a n=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．15. =（2，4），=（﹣1，2）．若=﹣（?），则||= ．参考答案：8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量数量积的运算，求出向量的坐标表示，即可求出模长||．解答：解：∵=（2，4），=（﹣1，2），∴=﹣（?）=﹣=（2，4）﹣6（﹣1，2）=（2+6，4﹣12）=（8，﹣8）；∴||==8．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及求平面向量的数量积与模长的问题，是基础题．16. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.1当时，y的取值范围是;2果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是 .参考答案：；17. 已知函数（，且）的图象恒过点A，若点A在角的终边上，则=__________．参考答案：【分析】首先确定点A的坐标，然后由三角函数的定义求得的值，最后结合二倍角公式可得三角函数式的值.【详解】由函数的解析式可知点A的坐标为，由三角函数的定义可得：，故.【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。