函数的凹凸性与拐点

若同号则不是拐点.
注意：拐点是平面上的点, 要写出纵坐标.
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例1 判断曲线 y x3 的凹凸性，并求拐点 . 解 D (, ). y 3x2 , y 6x,
当x 0时， y 0,
曲线 在 (, 0] 上是凸的；
y
y x3
当x 0时， y 0,
(1) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是凹的；
(2) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是凸的. （证略）
拐点的计算： 1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点； 2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；
x2 x
o x1
x2 x
6
二、曲线凹凸性的判定
当曲线是凹的时， f (x)单调增加. 当曲线是凸的时， f (x)单调减少. 曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点. 研究曲线的凹凸性与拐点问题相当于研究一阶导函数
f (x) 的单调性与极值问题.
拐点
凹
凸
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定理（曲线凹凸性的判别法）
设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导
则 x0 为极大值点；
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,

x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
第五节 函数的凹凸性与拐点
在绘制函数图像时, 仅知道函数的单调性(函数是上升 还是下降）是不够的, 还需知道曲线的弯曲方向.
曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.
问题：如何研究曲线的凹凸性? y
曲线的凹凸 性
o
x
1
一、曲线凹凸性的定义
y
y f (x) y
f ( x1 ) f ( x2 )
2
解
D (, ).
y

5
2
x3

2
1
x3
,
33
y 10
1
x3

2
4
x3

（2 5x 1) ,
9
9
93 x4
令 y 0，x 1，又 f (0)不存在.
5
x
( , 1 ) 1 ( 1 ,0)
55
5
0
(0, )
y

0 不存在
令y 0,
得
x1
0,
x2

2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0

f ( x) 拐点
拐点

f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
4
定理3(极值的第二充分条件)
设函数 f ( x) 在它的驻点x0 处二阶可导,则
(1) 如果 f ( x0 ) 0 ,则 x0 为极小值点； (2) 如果 f ( x0 ) 0 ,则 x0 为极大值点； (3) 如果 f ( x0 ) 0 ,则无法判断. 当第二充分条件失效时, 需用第一充分条件或定义法 进行判断.
曲线 在 [0, ) 上是凹的；
Ox
点(0,0)是 曲 线 的 拐 点. 常见错误： x 0是曲线的拐点.
拐点是平面点,有两个坐标.
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例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D (, ).
y 12x3 12x2, y 36x2 24x 36x( x 2) .
2
2
2
2
2
知识回顾：
1、函数单调性的判别法则 定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
（1）如果在(a,b)内f (x) 0，则函数 y f (x)在[a,b]上 单调增加；
（2）如果在(a,b)内f (x) 0，则函数 y f (x)在[a,b]上 单调wk.baidu.com少；
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
解
x
y
( , 1 ) 1 55

0
( 1 ,0) 0 (0, )
5
不存在
y
拐点 非拐点
f (x)的凹区间为 ( 1 , +)；凸区间为(, 1].
2、极值的充分、必要条件
定理(极值的必要条件) 设 x0 是 f ( x) 的极值点，
且 f ( x) 在点x0 可导，则必有 f ( x0 ) 0 .
3
定理(极值的第一充分条件)
y
(1) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,

x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
5
定义 设 f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 , x1 x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2 ()
2
则称 f (x)在(a,b)内的图形是凹的 (凸的).
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
5
5
拐点：( 1 , 6 1 ) .
5 5 3 25
13
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
y

1

x
2
3,
y


2

x
5 3
,
( x 0)
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 在(0,)内, y 0,