三角形中位线定理
三角形中位线定理证明的多种方法
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三角形中位线判定定理证明
三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理是指，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
现在让我们来证明这个定理。
首先，我们知道一个三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设三角形ABC的中位线分别为DE, FG和HI，D是BC的中点，E是顶点A到BC的中线上的点，F是AC的中点，G是顶点B到AC的中线上的点，H是AB的中点，I是顶点C到AB的中线上的点。
我们要证明如果DE=FG=HI，那么三角形ABC是等腰三角形。
首先，我们知道中位线DE等于底边BC的一半，中位线FG等于底边AC的一半，中位线HI等于底边AB的一半。
因此，DE=FG=HI意味着BC=AC=AB，即三角形的三条边相等，这就是等腰三角形的定义。
另一种证明方法是利用向量。
假设向量AD=a, DC=b, AF=c,FC=d, AE=e, EB=f。
根据中位线的定义，我们知道D是BC的中点，所以D=(B+C)/2，同理F=(A+C)/2，H=(A+B)/2。
根据向量的加法和数量积的性质，我们可以得出E=(A+B)/2，G=(B+C)/2，I=(A+C)/2。
由于DE=FG=HI，所以E-D=G-F=I-H，即E-D=G-F=I-H=0。
根据向量的性质，我们知道E-D表示向量DE的方向和长度，同理G-F表示向量FG的方向和长度，I-H表示向量HI的方向和长度。
因此，E-D=G-F=I-H=0意味着向量DE, FG和HI的方向和长度相等，即三角形ABC是等腰三角形。
综上所述，根据中位线判定定理的证明过程，我们可以得出结论，如果在一个三角形中，三条中位线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
如何证明三角形中位线定理
如何证明三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形中，连接三角形的三个顶点和中点所形成的三角形，它们的面积之比为4:1。
这个定理可以通过多种方法来证明，下面我将从几何和代数两个角度来进行证明。
首先，我们从几何角度来证明。
我们可以利用平行四边形面积定理来证明三角形中位线定理。
首先，连接三角形的一个顶点和对边的中点，得到一个平行四边形。
根据平行四边形面积定理，平行四边形的面积等于对角线的一半乘以高。
然后，我们可以利用平行四边形的性质和三角形的性质进行推导，最终可以得出三角形中位线定理成立。
其次，我们从代数角度来证明。
我们可以利用向量的方法来证明三角形中位线定理。
首先，我们可以假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
然后，利用向量的加法和数量积的性质，我们可以求出三角形的中位线向量。
接着，通过向量的运算，我们可以得出中位线所形成的三角形的面积。
最终，我们可以证明三角形中位线定理成立。
综上所述，通过几何和代数两个角度的证明，我们可以证明三
角形中位线定理成立。
这样的全面证明可以更加深入地理解和掌握这一定理。
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
初二数学(人教版)-三角形中位线定理
A
E
F
C
分析 EF=DE ∠AED=∠CEF AE=CE
△ADE≌△CFE
BD=AD CF=AD
D
∠A=∠ACF
CF=BD
B
CF//BD
▱ BCFD
A
E
F
C
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF．
∵ AE=CE，EF=DE，
∠AED=∠CEF， ∴ △ADE≌△CFE． ∴ AD=CF，∠A=∠ECF．
A
E
F
D
B
C
例 在四边形ABCD中，E，F，G， A H D
H分别是AB，BC，CD，DA的中点． E
G
求证：四边形EFGH是平行四边形． B
F
C
分析
连接对角线BD（AC） 三角形中位线
EH//FG， EH=FG． （HG//EF， HG=EF．）
▱
AH D
E
G
B
F
C
证明：连接BD． ∵ E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点， ∴ EH是△ABD的中位线， FG是△CBD的中位线．
AH D
E
G
B
F
C
∴ EH //BD， FG //BD，
EH= 1 BD，FG= 1 BD．
2
2
∴ EH //FG， EH=FG．
AH D
E
G
∴ 四边形EFGH是平行四边形．B
F
C
顺次连接四边形各边中点 平行四源自形AH DEG
B
F
C
练习 如图，在▱ABCD中，E，F分别是
D
E
F
∴ CF//BD． 又 BD=AD，
证明三角形中位线判定定理
证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。
下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形中位线定理
三角形中位线定理三角形中位线定理是欧几里得几何学中一个重要的定理，它描述了三角形中位线的性质。
中位线是指连接三角形两边中点的线段。
在三角形中，每条边都有一个对应的中位线，因此一个三角形总共有三条中位线。
定理内容：在任意三角形中，三条中位线相交于一点，这个点被称为三角形的质心（Centroid）。
质心具有以下性质：1. 它将每条中位线分为两段，其中一段是另一段的两倍长。
2. 质心将三角形的每条中线平分，即从质心到三角形顶点的线段是从中点到顶点线段的两倍。
证明：我们可以通过构造辅助线和使用相似三角形的性质来证明这个定理。
1. 考虑任意三角形ABC，设D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
2. 连接D和E，它们交于点G，这个点就是质心。
3. 连接AG并延长，交BC于点H。
4. 由于D和E是中点，DE是三角形ABC的中位线，所以根据中位线定理，AG是DH的两倍长。
5. 同理，连接BG和CG，它们也会在三角形的边AB和AC上分别找到中点，并且这些线段也会将中位线平分。
6. 由于AG、BG、CG都平分中位线，因此它们必然相交于同一点G。
应用：三角形中位线定理在解决几何问题时非常有用，尤其是在需要找到三角形内某一点到各边距离相等的点时，这个点就是质心。
它也可以用来计算三角形的面积，因为质心到三角形各顶点的距离相等，可以构成三个小三角形，这些小三角形的面积之和等于原三角形的面积。
结论：三角形中位线定理不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也非常重要。
它帮助我们更好地理解三角形的结构和性质，是几何学中不可或缺的一部分。
通过这个定理，我们可以解决许多与三角形相关的几何问题，从而在数学和工程学等领域中发挥重要作用。
三角形中位线定理图解说明
∵AD=BD边形
∴BC∥DF BC=DF
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
中位线特点
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。
若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于这条边的一半（这条 线段的端点必须是交 另外两条边上），这条线段就是这个三角形的中位线。
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段角三角形的中位线。如图中线段 DE。
中位线定理 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 证明 1：如图，延 长 DE 到 F，使 EF=DE ，连 接 CF. ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE
∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC
误区
要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它 对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底 边的 1/2 的线段。
三角形的中线定义：
连接三角形顶点与对边中点的连线段。如图： BE 都是三角形的中线。
AE、CF、
三角形中位线
又 AD=DB ∴BD∥CF, BD=CF
所以 ，四边形 BCFD 是平行四边形
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
证明 2：
如图，延 长 DE 到 F，使 EF=DE ，连 接 CF、DC、AF
∵AE=CE DE=EF
∴四边形 ADCF 为平行四边形
∴AD∥CF AD=CF
三角形中位线
三角形中位线定理
。
。B
E
例1：
Байду номын сангаас
已知点O是△ABC内一点，D、E、F、G分 别是AO、BO、CB、CA的中点。
求证：四边形DEFG是平行四边形
C
G
F
O
D A
E B
练习：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的 四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中,E.F.G.H 分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形 E
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC
证明：延 长DE 到 F，使EF=DE ，
A
连 结CF.
D
E
F
B
C
A
D
E
B
C
如果 DE是△ABC的中位线 那么 ⑴ DE∥BC，
⑵ DE=1/2BC
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
则△DEF的周长= 12 cm.
C △DEF面积是_________
思考：
如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，
并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测 量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。
中位线的判定定理
中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。
三角形中线的全部定理
三角形中线的全部定理
1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段。
2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分。
3.三角形的三条中线必交于一点,该交点为三角形重心。
4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。
5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分。
6.解决三角形中线问题,常作的辅助线是倍长中线,塑造全等三角形,或平行四边形。
7.遇到三角形两条中线同时出现时,常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半。
8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
9.如果三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
10.等边三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线,互相重合。
11.若AD是△ABC的中线,则向量AB+向量AC=2*向量AD。
三角形中位线定理的逆定理的证明
三角形中位线定理的逆定理的证明
三角形中位线定理是指：连接三角形两个中点的线段，长度相等且平行于第三边。
引理：三角形中，如果有两条边和它们的中线长度相等，则这两条边平行。
证明：我们假设三角形ABC中AB和AC的中线分别为DE和FG，且DE=FG=BE=CF，则我们需要证明AB∥FG和AC∥DE。
首先，我们可以得到一个结论：因为DE和FG是AD和AG的中线，所以AD=AG=2DE=2FG。
同样地，BD=CE=DE，BF=AF-AB/2=AG-AC/2=2FG-AC/2=FG-AC/2。
因此，有：
BD/CE=DE/DE=1，BF/AF=(FG-AC/2)/(AG-AB/2).
因此，AB∥FG。
同样地，我们可以通过类似的证明得到AC∥DE。
因此，引理得证。
因此，BF=BG+CE。
又因为BE∥CF，所以BF∥CG。
因此，BF=CG。
将此式代入BF=BG+CE 中，得到：
CG=BG+CE=EF.。
三角形中位线定理
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： ∵点D、E分别是AB和AC的中点 ∴DE是△ABC的中位线
A
中点 D
E 中点
一个三角形有几条中位线？
B
C
F
注意：
三角形的中位线和中线区别：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
理解三角形的中位线定义的两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
② ∵ DE为△ABC的中位线
D
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有三条中位线。 B
。
F
C
如图，线段DE是△ABC 的中位线，
你能猜测出DE和BC有什么
A
关系吗？
D
1
E
DE∥BC,且DE= 2 BC
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
1
E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
2
∴AB∥FC
又AD=DB
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
即DE∥BC
又∵
1
DE DF
DE 1 BC
2
2
A
F
C
（3）若△ABC的面积是 20，则△DEF的面积是 ，
△DEF的面积是△ABC的面积的 。
(4）连结AF则AF是△ABC的
初中数学三角形中位线定理
三角形中位线定理
内容-----
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形．
（2）三角形中位线定理的作用有二：位置关系：可以证明两条线段平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系．
由三角形中位线定理还可以推出：
①三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；
②三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
③三角形三条中位线可从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形；
④三角形任两中位线的夹角与这个夹角所对的三角形的顶角相等．
应用-----
【例题】如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q．
求证：AP=AQ．
【分析】欲证AP=AQ，可考虑证明．根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图2）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线．利用BD=CE 易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立．
【证明】取BC的中点F，连结FM，FN，
由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线,
所以FM∥AC，FN∥BD，．
所以．
又因为BD=CE，所以FM=FN．
所以，，所以，所以AP=AQ．
【评注】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等．。
三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理的证明在数学中，三角形是一种基本的几何形状，有许多重要的定理与性质。
其中，三角形中位线定理是一条关于三角形中的中位线的重要定理。
本文将对三角形中位线定理进行证明。
定理陈述：在一个三角形ABC中，连接三角形的顶点A、B、C和三角形的中点D、E、F，若连接中点D和E的线段DE与连接A和C 的线段AC相交于点G，则G为线段AC的中点。
证明：由题意，连接D、E和F的线段分别表示三角形的中位线，可得：AD = CF （中位线性质）BD = AE （中位线性质）接下来，我们证明线段DE与线段AC相交于点G，那么G就是线段AC的中点。
假设点G是线段AC上的一点，则有以下两种情况：情况一：若AG = GC，则G是AC的中点，定理成立。
情况二：若AG ≠ GC，则AG > GC 或 AG < GC。
对于情况二，我们可以分别讨论如下：情况二.1：若AG > GC。
在三角形ABC中，通过线段BD和CE可将三角形ABC分为三个小三角形：△ABD、△DCE和△ACF。
由△ABD和△DCE两个小三角形的中位线定理可得：AG > GC 即 AG + GD > GC + GDBD > DE 即 BD + DE > DE + GD将上述两个不等式相加，得：AG + GD + BD + DE > GC + GD + DE + GD化简得：AB + BC > AC由三角形的三边不等式可知，该不等式不成立。
因此，AG > GC的情况不存在。
情况二.2：若AG < GC。
同理，通过线段BD和CE可将△ABC分为△ABD、△DCE和△ACF。
由△ABD和△DCE两个小三角形的中位线定理可得：AG < GC 即 AG + GD < GC + GDBD < DE 即 BD + DE < DE + GD将上述两个不等式相加，得：AG + GD + BD + DE < GC + GD + DE + GD化简得：AB + BC < AC由三角形的三边不等式可知，该不等式不成立。
三角形中位线定理与应用
三角形中位线定理与应用引言三角形是几何学中的重要概念，其性质和定理被广泛应用于数学和物理学的各个领域。
本文将介绍三角形中的一个重要定理——三角形中位线定理，并讨论其应用。
三角形中位线定理三角形中位线定理是指一个三角形的三个中位线交于一点且该点距离三个顶点的距离相等。
具体地说，对于任意三角形ABC，连接其中任意两个顶点的中点，得到三条中线AD，BE和CF。
中位线定理表明这三条中线交于一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。
证明为了证明三角形中位线定理，我们先假设以点G为交点的中线AD与边BC的交点为点E。
根据中线的性质，AD的长度是线段BE的一半。
因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * BE （1）同理，根据中线的性质，AD的长度是线段EC的一半。
因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * EC （2）由等式（1）和（2）可知： 1/2 * BE = 1/2 * EC通过上述等式我们可以推导出BE = EC。
因此，点E在线段BC的中点。
同理，我们可以证明点G也是线段AB和线段AC的中点。
因此，三条中线AD、BE和CF都通过一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。
应用三角形中位线定理不仅仅是一个理论定理，它还具有一些实际的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用情况。
1. 建模问题三角形中位线定理可以用于解决一些建模问题。
例如，假设我们要在一个三角形中找到一个点，使得该点到三个顶点的距离之和最小。
根据中位线定理，我们可以简单地找到三条中线的交点，即为所求点。
这种方法在处理一些几何建模问题时非常实用。
2. 三角形特性分析通过三角形中位线定理，我们可以研究三角形的一些特性。
例如，我们可以推导出一个结论：三角形中位线的长度之和等于三角形三边长度之和的一半。
这个结论可以帮助我们分析三角形的性质和特点，并且在解决相关问题时提供了重要的线索。
3. 相似三角形问题三角形中位线定理还可以应用于相似三角形的问题。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
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【学习目标】
1．知识技能
利用平行四边形的性质和判定证明出三角形的中位线定理，并会用定理进行计算或证明．
2．数学思考
通过猜想、验证、推理、交流等数学活动，发展我们的动手操作能力、合情推理能力以及应用数学能力．
3．解决问题
通过三角形中位线定理的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性． 4．情感态度
（1）在观察、分析过程中发展我们主动探索、质疑和独立思考的习惯．
（2）经历合作探究的过程，培养我们合作交流意识和探索精神．【学习重难点】
1．教学重点：理解和掌握三角形中位线定理，并能熟练运用． 2．教学难点：利用平行四边形的性质与判定证明三角形的中位线定理，以及复杂图形中通过作辅助线应用三角形中位线定理．课前延伸
各人准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB、AC边中点D、E，用直尺分别测量DE、BC的长，比较DE、BC的大小关系，
并猜想DE、BC之间存在怎样的数量关系．还能借助量角器测量有关角的大小，并猜想出DE、BC之间的位置关系吗？课内探究
一．上面猜想进行理论证明．已知：D、E分别平分AB、AC，求证：_______________________
二．总结归纳．三角形的中位线定义：三角形的中位线定理：三．三角形的中位线和中线区别：三角形中位线定理的符号语言：四．随堂练习、巩固深化
1．D、E分别平分AB、AC，若BC=10cm，则DE=______；若DE= cm，则BC=______．
2．已知中，，且 cm，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则的周长是_________cm．
3．如图，内有一点P，EF是的中位线，MN是的中位线，求证：四边形MNFE是平行四边形．
4．判断任意一个四边形各边中点连接所形成四边形的形状，并证明你的结论．
已知：E、F、G、H分别为四边形ABCD中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．
5．实际应用：
想知道一池塘边缘宽度AB，且AB不可直接测量，怎么办？提醒：
池塘旁取一点C，C与A、B之间可以直接到达．。