第2章逻辑函数及其化简(精)

第2章逻辑函数及其化简

内容提要

本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含：

（1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。

（2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。

（3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。

（4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。本章主要讲述了前三种。（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。教学基本要求

要求掌握：

（1）逻辑代数的基本定律和定理。

（2）逻辑问题的描述方法。

（3）逻辑函数的化简方法。

重点与难点

本章重点：

（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。

（2）常用公式。

（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。

（4）最小项和最大项概念。

（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。主要教学内容

2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算

2.1.2 复合运算

2.2 逻辑代数运算的基本规律

2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2.

3.1 逻辑代数的常用运算公式

2.3.2 逻辑代数的三个规则

2.4 逻辑函数及其描述方法

2.4.1 逻辑函数

2.4.2 逻辑函数及其描述方法

2.4.3 逻辑函数的标准形式

2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式

2.5 逻辑函数化简

2.5.1 公式法化简

2.5.2 卡诺图化简

2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算

2.1.1 三种基本运算

1. 与运算（逻辑乘）

2. 或运算（逻辑加）

3. 非运算（逻辑非）

2.1.2 复合运算

1. 与非运算

与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。

2. 或非运算

或非运算是或运算和非运算的组合，先进行或运算，再进行非运算。

3. 与或非运算

与或非运算是与运算、或运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行或运算，最后进行非运算。

4. 同或运算

同或逻辑是这样一种逻辑关系，当A、B相同时，输出P为1；当A、B不相同时，输出P为0。

5. 异或运算

异或逻辑与同或逻辑相反，当A、B不相同时，输出P为1；当A、B 相同时，输出P为0。

2.2 逻辑代数运算的基本规律

表2–2–1列出了逻辑代数的基本公式和基本规律。

表2–2–1 逻辑代数基本公式

以上基本公式也叫布尔恒等式，其正确性均可用真值表证明。对于异或、同或逻辑运算也有相类似的基本运算公式，如表2–2–2所示。

表2–2–2 异或和同或逻辑运算的基本公式和基本规律

必须说明的是，调换律是同或、异或的特殊规律，它说明等式两边的变量是可以调换的。

利用调换律可以证明：

例2–1 证明。

证：

对于同或和异或函数，非运算也可以调换，即

根据同或和异或重叠律可以推广为

（1）奇数个A重叠同或运算得A，偶数个A重叠同或运算得1。（2）奇数个A重叠异或运算得A，偶数个A重叠异或运算得0。

2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则

2.3.1 逻辑代数的常用运算公式

表2–3–1列出了逻辑代数的常用公式。

以上各公式在公式法化简中可以消去多余变量和多余乘积项。

2.3.2 逻辑代数的三个规则

1.代入规则

任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。

利用代入规则可以扩大逻辑代数等式的应用范围。

2.反演规则

对于任意一个逻辑函数表达式F，如果将F中所有的“·”换为“+”，所有的“+”换为“·”，所有的0换为1，所有的1换为0，所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，则得到一个新的函数式为F。F为原函数F的反函数，它是反演律的推广。

利用反演规则可以很方便地求出反函数。

例2–2 求逻辑函数F的反函数

解（1）根据反演规则

（2）如果将作为一个整体，则

（3）如果将作为一个变量，则

以上三式等效，但繁简程度不同。

3. 对偶规则

对于任意一个逻辑函数表达式F，如果将F中所有的“·”换为“+”，所有的“+”换为“·”；所有的0换为1，所有的1换为0，则得到一个新的函数表达式F*，F*称为F的对偶式。

在证明或化简逻辑函数时，有时通过对偶式来证明或化简更方便。

逻辑代数中逻辑运算的规则是“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。在以上三个规则应用时，都必须注意与原函数的运算顺序不变。

2.4 逻辑函数及其描述方法

2.4.1 逻辑函数

如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，则输出与输入之间是一种函数关系，这种函数关系称为逻辑函数。任何一个具体的因果关系都可以用逻辑函数来描述它的逻辑功能。

2.4.2 逻辑函数的描述方法

逻辑函数的描述方法有真值表、函数表达式、卡诺图、逻辑图及硬件描述语言。有关卡诺图及硬件描述语言将在后面叙述。

1.真值表

求出逻辑函数输入变量的所有取值下所对应的输出值，并列成表格，称为真值表。

例2–3 有a、b、c三个输入信号，只有当a为1，且b、c至少有一个为1时输出为1，其余情况输出为0。