第三章 布朗运动

∆tk = tk − tk −1 如果
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
br
则称
均值函数 mB (t )=E[W (t )-tW (1)]=0, ∀t ∈ [0,1] 相关函数 RB (s,t )=min{s,t}-st, ∀s,t ∈ [0,1]
x
z2 exp (- )dz ∆t 2
=
2
π
∫
+∞
0
z2 exp (- )dz =1 2
均方导数的定义
设{ X (t ), t ∈ T }是二阶矩过程，t0 ∈ T ,若均方极限
X ( t0 + ∆ t ) − X ( t0 ) X ( t0 + ∆ t ) − X ( t0 ) ⇔ lim E - X ′( t 0 ) =0 l .i .m ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆t ∆t
∆Wk ~ N (0, ∆tk ) 于是
E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = E[ ∑ [(∆Wk ) 2 − ∆tk ] ]
k =1 k =1
n
2
n
2
= E{ ∑ [(∆Wk ) 2 − ∆tk ][(∆Wl ) 2 − ∆tl ]}
n
= ∑ E[(∆Wk ) − ∆tk ] +
2 2
n
k ,l =1
2
)]=exp{(µ +
σ
2
2
)t}, ∀t ≥ 0
RB ge (s,t )=e
µ (t +s ) 2σ 2 s
σ2
e
e2
(t -s )
, ∀s,t ≥ 0
mB ge (t )=E[exp(Bt =e
µt
µ ,σ 2
)]= ∫
+∞
-∞
e
µ t +σ x
1 e dx 2π t 1 e 2π t
(x -tσ )2 2t
x2 2t
∫
+∞
-∞
1 e 2π t
x 2 -2 tσ x 2t
dx =e
µt
∫
+∞
-∞
e
(tσ )2 2t
dx
=exp{(µ +
σ2
2
)t}, ∀t ≥ 0
RB ge (s,t )=Ee =e =e
µ (s +t )
µ s +σ W (s ) µ t +σ W (t)
e
=Ee
µ (s +t )+σ (W (s )+W (t ))
2
存在,则称此极限为{ X (t ), t ∈ T }在t0点的均方导数. 记为 X ′(t0 ) 或
dX (t ) dt
t =t0
.
这时称 { X (t ), t ∈ T }在t0处均方可导． 所以Wiener过程不是均方可导的.
σ 2 , s < t ∂ 1, s < t 因为 RW ( s, t ) = 令：u ( s − t ) = ∂s 0, s > t 0, s > t
(2) mW (t ) = 0, DW (t ) = σ 2t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = σ 2 min( s, t ), s, t , ≥ 0
Wiener过程是正态过程．
一 Brown运动的性质 对称性 -W也是一个标准Brown运动 自相似性：对任意的常数a>0和固定的时 间指标t>0,有W (at)=a1/2W(t) 时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B={B (t), 0≤t≤T}也是一个标准Brown运 动
∆W (t ) ∆W (t ) P( lim+ >x )= lim+ P( >x ) ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t
= lim+ P ( ∆W (t ) >x∆t )
∆t → 0
= lim+
∆t → 0
2 2π∆t
y2 ∫x∆t exp (- 2∆t )dy
+∞
= lim+
∆t → 0
2
π
∫
+∞
br
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥：
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质： (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
2
称参数为σ 2的Wiener过程 {W (t ), t ≥ 0}的导数过程
{W ′(t ), t ≥ 0} 为参数为 σ 2 的白噪声过程或白噪声.
三、与布朗运动有关的随机过程 过程1：d维布朗运动
若 W (t ),W (t ),L,W (t ) 是 d 个相互独立的 SBM，则称
1
2
d
W =(W (t ),L ,W (t ))
= ∑ E[(∆Wk ) 2 − ∆tk ]2
k =1 n 4
k =1 n
k ≠ l =1
∑ E[(∆W )
k
n
2
− ∆tk ]E[(∆Wl ) − ∆tl ]
2
= ∑ [ E (∆Wk ) − 2∆tk E (∆Wk ) + (∆tk ) ]
2 2 k =1
E[ W (t )-W (s)
2n
(2n)! n ]= n t -s , 2 n!
是 d 维标准ห้องสมุดไป่ตู้朗运动.
1
d
2 ( µ , σ ) 布朗运动 过程2：
设 µ ∈ R , σ >0，定义 Bt
µ ,σ 2
=µ t +σ W (t ), ∀t ≥ 0 ， t ≥ 0} 为（ µ， σ 2）布朗运动。 µ ,σ 2
{Bt
µ ,σ 2
均值函数 mB 相关函数 R
B
(t )=µ t
2 2 ( s , t )= µ st + σ min (s,t ) µ ,σ 2
γ (t )= ∫ e
均值函数
2α s
1 2α t ds = (e -1) 2α
-α t
mBou (t )=E[e W (γ (t )） ]=0, ∀t ≥ 0
相关函数
RBou (s,t )=min{γ (s),γ (t)}e
-α (s +t )
, ∀s,t ≥ 0
布朗运动的三种逼近方式 1. 基于随机游走的逼近 2. 基于帕里-维纳表示 3. 基于小波函数的逼近方法
k =1
差（或称全变差）。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
B = W (t )
均值函数
re t
t≥0
2t
mBre (t )=E[ W (t ) ]=
方差函数
π
, ∀t ≥ 0
DBre (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ] =t-
2
2
2t
π
, ∀t ≥ 0
mBre (t )=E [ W (t ) ]= ∫
+∞
-∞
x
1 e dx 2π t
W (at )~N (0,at )
令
X =a W (t)
x -∞
1 2
P (W (at ) ≤ x)= ∫
1 e 2π at
1 2
y2 2 at
dy = ∫
-1 a 2x
-∞
-1 a 2x
1 e dz 2π t
z2 2t
P (X ≤ x)=P (a W (t ) ≤ x)= ∫
-∞
1 e 2π t
x2 2t +∞
x2 2t
2t = ( -e 2π t =
2
)
0
2t
π
, ∀t ≥ 0
DB re (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ]2 =E[ W (t ) ] −
2
2t
π
=t-
2t
π
反射布朗运动的一维分布函数
x ≥ 0时，有 F (t; x ) = P ( B ≤ x )
re t
k =1
n
定义 当n→+∞时， ∑ (∆Wk ) 的均方极限t为
2 k =1
n
Brown运动W的二次变差. 记为
< W >t = t , ∀t ≥ 0
称 < W >= {< W >t , t ≥ 0}为Brown运动W的二次变 差过程。
∆Wk 称 V = πmax ∑ :n∈N
n
n
为Brown运动W的一次变
称实过程{Wt , t ≥ 0}是参数为σ 的布朗运动，若
2
（1） W0 = 0 （2） {Wt , t ≥ 0}是平稳独立增量过程
（3） ∀0 ≤ s < t , Wt -Ws ~ N (0, σ (t − s ))
2
σ = 1 时称为标准布朗运动
2
设 {Wt , t ≥ 0} 是参数为σ2的Wiener过程(布朗运 动), 则 (1) ∀t > 0,W (t ) ~ N (0, σ 2t )
y2 2t
dy
定理3.1.1（样本轨道性质） 设Wt是一个标 准Brown运动，对固定的时间指标t>0,考虑 时间区间[0，t]的一个划分 π n : 0 = t0 < t1 < L < tn = t , n ∈ N
∆tk , 其中 定义 ∆Wk = Wt − Wt 和 π n = kmax =1,L,n k k −1
2 { W ( t ), t ≥ 0} 是参数为 σ 的Wiener过程. 定义 设
如果存在实随机过程以 σ 2δ ( s − t ) 为其相关函数， 则称该过程为Wiener 过程 {W (t ), t ≥ 0} 的导数过 程．记为 {W ′(t ), t ≥ 0}. 从而
RW ′ ( s, t ) = σ δ ( s − t ), s, t ≥ 0.
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
本章主要内容 •Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
∂ 2 则有 RW ( s, t ) = σ u ( s − t ) ∂s
∂ 再引进Drica − δ 函数：δ ( s − t ) = u ( s − t ) ∂t ∂2 于是有 RW ( s, t ) = σ 2δ ( s − t ) ∂t∂s
∂2 同理 RW ( s, t ) = σ 2δ ( s − t ) ∂s∂t
Ee Ee
σ (W (s )+W (t ))
=e
µ (s +t )
Ee
σ [W (s )+(W (t )-W (s ))+W (s )] σ2
µ (s +t )
2σ W (s )
E
σ [W (t )-W (s )]
=e
µ (t +s ) 2σ 2 s
e
e2
(t -s )
, ∀s,t ≥ 0
过程5：反射布朗运动
性质
(µ ,σ 2 ) -布朗运动是一个高斯过程 (µ ,σ 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
证明
对任意自然数 n ≥ 2, 不是一般性，取n个不同 的时间指标 0=t0 <t1 < L <tn <∞, 定义增量
ξ k =Bt
则
(Bt1
µ ,σ 2
k
-Btk -1 ,
µ ,σ 2
k =1,L ,n
ξ k ~N (µ (tk -tk -1 ),σ 2 (tk -tk -1 ))
∀t ,s ≥ 0
E[∆Wk ] = 3(∆tk )
4
2
P32,例2.2.8
于是当 n → +∞
0 ≤ E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = ∑ [3(∆tk ) 2 − 2(∆tk ) 2 + (∆tk ) 2 ]
k =1 k =1 n
2
n
= 2∑ (∆tk ) 2 ≤ 2t π n → 0