第三章 布朗运动
第三章布朗运动2.

则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4:几何布朗运动(指数布朗运动)
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 :布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布,Xn~U(0,1) , 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数,
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s),由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果, 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
布朗运动PPT课件

五、热力学第三定律: 在宇宙中温度的下限:—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律) 总结
铅 几年后 金
铅 金
固 成因:微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下,微粒作无规则运动。 特点: 1、布朗运动本质上是一种微粒(不是分子)运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。 3、温度越高,越剧烈。微粒越小,越剧烈。 二、分子的热运动:热运动 = 分子运动 布朗运动不 是一种热运动,它可以反映热运动。 三、分子的动能 决定 温度是分子平均动能的标志 温度 平均动能 四、热力学第三定律: 热力学温标: T= 273.15 + t (K) 热力学零度不可达到(热力学第三定律)
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高,分子运动越剧烈
热运动:分子的运动与温度有关,分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动 布朗运动不 是一种热运动,它可以反映热运动。 四、分子的动能 分子的运动 是无规则的 温度
决定
所有运动的物体都具有动能。 各个分 子的动 能不同 平均动能
平均动能
温度是分子平均动能的标志
布朗运动理论

布朗运动理论布朗运动是物理学中的一种现象,由罗伯特·布朗在19世纪末观察到并进行了详细研究。
该理论被广泛应用于许多领域,如颗粒物理学、化学、生物学和金融等。
本文将探讨布朗运动的定义、原理以及应用,并对其重要性进行分析。
一、布朗运动的定义布朗运动是一种无规则的、连续的、无记忆性质的运动。
在布朗运动中,微小粒子或颗粒不断地做无规则的运动,呈现出随机性和不可预测性。
这种运动的主要特点是颗粒以相对较小的速度在液体或气体中做无规则的碰撞和扩散运动。
二、布朗运动的原理布朗运动的原理主要是由液体或气体中的分子碰撞引起的。
根据统计物理的观点,在溶液或气体中,微观颗粒受到分子碰撞的力的作用,从而产生了布朗运动。
这种分子碰撞是随机的,没有规律可循。
三、布朗运动的数学描述布朗运动的数学描述采用随机游动的模型。
在一段极短的时间间隔内,粒子的运动方向和速度都是随机的。
根据这一模型,布朗运动可以使用随机过程来描述,其中最普遍的模型是随机游动模型。
四、布朗运动在物理学中的应用1. 粒子物理学:布朗运动在粒子物理学中是一个重要的参考,可以用来描述粒子在物质中的扩散运动。
2. 化学反应:布朗运动在化学反应中起到了重要的作用。
通过对布朗运动的研究,可以更好地理解化学反应速率和反应动力学。
3. 生物学:布朗运动在细胞生物学和分子生物学中也具有重要意义,用来描述细胞内分子的运动。
五、布朗运动在金融中的应用布朗运动在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动模型被用来描述股票价格、证券价格等金融市场中的随机波动。
通过布朗运动模型,可以进行期权定价、风险管理等金融工具的应用和分析。
六、布朗运动的重要性布朗运动的研究对我们理解自然界、物质运动和微观粒子行为有着重要的意义。
它为我们提供了对随机性运动的认识,并在许多领域中提供了解决问题的方法和途径。
布朗运动的应用广泛,在理论和实践中均发挥着重要的作用。
七、结论布朗运动理论从物理学、化学、生物学到金融学等领域都有着广泛的应用,对于研究和理解自然界中的随机运动具有重要意义。
布朗运动

分子热运动的激烈程度与
温度越高,分子运动越
温度 激烈
有关。
。
5.通过学习布朗运动以及对 布朗运动发现过程的了解, 你应向科学家学习什么优秀 的品质?
作业:
1.P179 (1)、(2) 2.课外活动:用显 微镜观察布朗运动
第二节
分子的热运动
布朗运动
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗 用显微镜观察植物的花粉微粒悬浮在静止水面 上的形态时,却惊奇地发现这些花粉微粒在不 停地作无规则运动。布朗经过反复观察后,写 下了这样的一段文字:“我确信这种运动不是 由于液体的流动所引起,也不是由于液体的逐 渐蒸发所引起,而是属于粒子本身的运动。” 为了进一步证实这种看法,布朗把观察的 对象扩大到一切物质的微小颗粒,结果发现,一切悬浮在液体中 的微小颗粒,都会作无休止的不规则运动。 布朗的发现一经公布,就引起了科学界的轰动,在以后的 几十年里,众多的物理学家经过大量的观测和研究,终于科学 的解释了布朗运动,揭示了自然界普遍存在的分子运动的奥秘, 使人类认识产生了飞跃。人们为了纪念这个发现,便把悬浮在 液体中的花粉的无规则运动命名为布朗运动。
C:布朗运动是液体分子无规则运动的反映; D:在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动;
B、C ) 3.对布朗运动的下列说法中正确的是:( A:课本中图6-4的折线是颗粒的运动路径; B:颗粒越小,布朗运动越明显; C:温度升高,布朗运动加剧; D:布朗运动是微粒内部分子运动的宏观表现;
4.分子的热运动是指 分子的无规则运动 ,
运动状态难改变
布朗运动的激烈程度与什么因素有关?
布朗运动的激烈程度
与液体的温度有关
温度越高,布朗运动越激烈
我们把分子的无规 则运动叫做热运动
《高一物理布朗运动》课件

布朗运动是一种微观物理现象,掌握它的原理对于理解分子运动、扩散、化 学反应等诸多现象非常重要。
布朗运动的定义和背景
定义
布朗运动是指微观分子或粒子受到周围分子或粒子冲击而发生不规则运动的现象。
背景
布朗运动被发现于1827年,是英国植物学家布朗首先观察到其花粉颗粒在水中做无规则运 动。
微珠颗粒实验
利用计算机追踪微珠颗粒在液 体中的运动轨迹,验证了布朗 运动的存在和本质。
纳米机器人应用
利用布朗运动现象,德国的研 究人员开发了利用纳米机器人 对药物进行精准输送的技术。
微流控芯片应用
布朗运动对于微小颗粒在微流 控芯片中的流动有着显著影响, 其中利用数学模型和实验数据 的结合进行精确分析,具有广 泛的应用价值。
微珠颗粒观察
现代的科学实验可以通过像微 珠颗粒这样的物质,在水中观 察几乎没有误差的布朗运动现 象。
布朗运动的原因和机理
1
温度
高温会加快周围粒子的运动速度,增加碰撞机会,对布朗运动的表现有着非常明 显的影响。
2
分子运动
碰撞所产生的不规则运动是由于空气或水中导致的分子气或水分子对于物体不停地撞击所产生的一种阻力,使得物 体不停地受到扰动从而产生布朗运动。
布朗运动的数学描述和模型
数学模型
布朗运动的随机性质也可以 通过微积分中的随机过程和 随机微分方程来表达。
基础模型
基础模型是考虑到粒子和周 围分子的碰撞机制,通过粘 弹性阻力和外力驱动对布朗 运动进行了合理的逼近。
流体动力学模型
流体动力学模型则是站在大 范围角度,强调了流体动力 学对于布朗运动的根本影响。
总结和展望
布朗运动的研究始于植物学家的发现和眼前的实验观察,通过不断迭代进化 搭建起一套完整的物理学理论体系。今天,布朗运动在工业、医学等领域有 了广泛应用,也有着深远的科学价值。
随机过程第二章2

⎛1 ⎜ ⎜0 − Bt n −1) 0 ⎜ ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
1 L 1⎞ ⎟ 1 L 1⎟ 0 L 1⎟ ⎟ M L M⎟ 0 L 1⎟ ⎠
所以 ( Bt 1 , Bt 2 ,L , Bt n ) 是n维正态变量.
所以, ,σ )-布朗运动是一个正态过程 (µ
2
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
ϕ (t1 ,L , tn ; u1 , u2 ,..., un ) = e
1 ( jmX ( tk ) uT − uCuT ) 2
=e
1 j uk m X ( tk ) − uk ul C X ( tk ,tl ) 2 k =1 l =1 k =1
∑
n
∑∑
n
n
称为正态过程X的特征函数,其中CX(⋅,)为协方差函数. ⋅
第三章 布朗运动(维纳过程)
1. 1827年植物学家布朗观察到现象 2. 1905 爱因斯坦由物理定律导出其数学描述 3. 1918后维纳提出其简明的数学公式——维纳过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动内容
布朗运动定义 布朗运动的一些性质 与布朗运动的相关的随机过程
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
re
=∫
+∞
−∞
y ϕt ( y )dy = 2 ∫ y ϕt ( y )dy
0
+∞
= 2∫
+∞
0
y (令 z= ) t
2 = 2π
∫
y2 +∞ − 2t 0
1 y e 2πt
y2 − 2t
dy
e
y dy t
2 +∞ − 2 2t = ∫0 e z tdz = π 2π
布朗运动PPT课件

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想一想
Байду номын сангаас颗粒越小
为什么微粒越小,布 朗运动越明显?
每一瞬间受到液体 分子撞击的数目少
受力极易不平 衡
﹛ 颗粒越大
同时跟它撞击的分子书多
质量大,惯性大
受力的平均效果互相 平衡
运动状态难改变
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练习
1.“布朗运动”是说明分子运动的重要实验事实。则布朗运动是指:( c ) A、液体分子的运动; B、悬浮在液体中的固体分子的运动; C、悬浮在液体的固体颗粒的运动; D、液体分子和固体分子的共同运动;
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练习
2.关于布朗运动,下列说法正确的是:( C ) A、布朗运动用眼睛可直接观察到; B、布朗运动在冬天观察不到; C、布朗运动是液体分子无规则运动的反映; D、在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动;
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谢谢您的观看!
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放大后 有花粉的液体
1827年,布朗在显微镜下观察悬浮于静 止液体中的花粉颗粒,发现花粉颗粒在 做永不停息的无规则运动,而且颗粒越 小,现象越明显
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之后,布朗把观察对象扩大到一切物质的微小颗粒,结果发现,一 切悬浮在液体中的微小颗粒,都会做永不停息的无规则运动。
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英国植物学家布朗robertbrown177318581827年布朗在显微镜下观察悬浮于静止液体中的花粉颗粒发现花粉颗粒在做永不停息的无规则运动而且颗粒越小现象越明显放大后有花粉的液体之后布朗把观察对象扩大到一切物质的微小颗粒结果发现一切悬浮在液体中的微小颗粒都会做永不停息的无规则运动
第三章布朗运动1

布朗运动解释为随机游动的极限
W (t)表示质点在时刻t的位置,则W (t) 也表示 质点直到t所作的位移,因此在时间(s, t)内,它所 做的位移是W (t)-W (s),由于在时间(s, t)内质点受 到周围分子的大量碰撞,每次碰撞都产生一个小 的位移,故W (t)-W (s)是大量小位移的和,由中 心极限定理它服从正态分布
W t1,
f x1, x2,
其中
,W tn 的联合密度函数为
, xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)
ft x
1
x2
e 2t
2 t
ftn tn1 (xn xn1)
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下,W(t2)的条件密度
是相互独立的随机变量
布朗运动W(t)的对称性
在W(t0)=x0的条件下,W(t0+t)的条件密度函数为
fW t0 tW t0 x x0
1
( x x0 )2
e 2t
2 t
P W t0 t x0 W t0 x0 x0 fW t0 tW t0 x x0 dx
P W t0 t x0 W t0 x0
1.对称性 -W也是一个标准Brown运动
2.自相似性:对任意的常数a>0和固定的时间 指标t>0,有W (at)=a1/2W(t)
3.时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B={B (t), 0≤t≤T}也是一个标准Brown运 动
对称性的证明: 显然 -W(0)=0
0 s t, (W (t) W (s)) ~ N(0,(t s)) n 2,0=t0 <t1< <tn < , (W (t1)-W (t0 )), (W (t2 )-W (t1)), , (W (tn )-W (tn-1))
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n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明:随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的,且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4:几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6:奥恩斯坦-乌伦贝克过程 (Ornstein-Uhlenbeck)
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )) t ≥ 0, α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3:布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
br
则称
均值函数 mB (t )=E[W (t )-tW (1)]=0, ∀t ∈ [0,1] 相关函数 RB (s,t )=min{s,t}-st, ∀s,t ∈ [0,1]
x
z2 exp (- )dz ∆t 2
=
2
π
∫
+∞
0
z2 exp (- )dz =1 2
均方导数的定义
设{ X (t ), t ∈ T }是二阶矩过程,t0 ∈ T ,若均方极限
X ( t0 + ∆ t ) − X ( t0 ) X ( t0 + ∆ t ) − X ( t0 ) ⇔ lim E - X ′( t 0 ) =0 l .i .m ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆t ∆t
∆Wk ~ N (0, ∆tk ) 于是
E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = E[ ∑ [(∆Wk ) 2 − ∆tk ] ]
k =1 k =1
n
2
n
2
= E{ ∑ [(∆Wk ) 2 − ∆tk ][(∆Wl ) 2 − ∆tl ]}
n
= ∑ E[(∆Wk ) − ∆tk ] +
2 2
n
k ,l =1
2
)]=exp{(µ +
σ
2
2
)t}, ∀t ≥ 0
RB ge (s,t )=e
µ (t +s ) 2σ 2 s
σ2
e
e2
(t -s )
, ∀s,t ≥ 0
mB ge (t )=E[exp(Bt =e
µt
µ ,σ 2
)]= ∫
+∞
-∞
e
µ t +σ x
1 e dx 2π t 1 e 2π t
(x -tσ )2 2t
x2 2t
∫
+∞
-∞
1 e 2π t
x 2 -2 tσ x 2t
dx =e
µt
∫
+∞
-∞
e
(tσ )2 2t
dx
=exp{(µ +
σ2
2
)t}, ∀t ≥ 0
RB ge (s,t )=Ee =e =e
µ (s +t )
µ s +σ W (s ) µ t +σ W (t)
e
=Ee
µ (s +t )+σ (W (s )+W (t ))
2
存在,则称此极限为{ X (t ), t ∈ T }在t0点的均方导数. 记为 X ′(t0 ) 或
dX (t ) dt
t =t0
.
这时称 { X (t ), t ∈ T }在t0处均方可导. 所以Wiener过程不是均方可导的.
σ 2 , s < t ∂ 1, s < t 因为 RW ( s, t ) = 令:u ( s − t ) = ∂s 0, s > t 0, s > t
(2) mW (t ) = 0, DW (t ) = σ 2t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = σ 2 min( s, t ), s, t , ≥ 0
Wiener过程是正态过程.
一 Brown运动的性质 对称性 -W也是一个标准Brown运动 自相似性:对任意的常数a>0和固定的时 间指标t>0,有W (at)=a1/2W(t) 时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B={B (t), 0≤t≤T}也是一个标准Brown运 动
∆W (t ) ∆W (t ) P( lim+ >x )= lim+ P( >x ) ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t
= lim+ P ( ∆W (t ) >x∆t )
∆t → 0
= lim+
∆t → 0
2 2π∆t
y2 ∫x∆t exp (- 2∆t )dy
+∞
= lim+
∆t → 0
2
π
∫
+∞
br
性质,从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥:
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质: (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
2
称参数为σ 2的Wiener过程 {W (t ), t ≥ 0}的导数过程
{W ′(t ), t ≥ 0} 为参数为 σ 2 的白噪声过程或白噪声.
三、与布朗运动有关的随机过程 过程1:d维布朗运动
若 W (t ),W (t ),L,W (t ) 是 d 个相互独立的 SBM,则称
1
2
d
W =(W (t ),L ,W (t ))
= ∑ E[(∆Wk ) 2 − ∆tk ]2
k =1 n 4
k =1 n
k ≠ l =1
∑ E[(∆W )
k
n
2
− ∆tk ]E[(∆Wl ) − ∆tl ]
2
= ∑ [ E (∆Wk ) − 2∆tk E (∆Wk ) + (∆tk ) ]
2 2 k =1
E[ W (t )-W (s)
2n
(2n)! n ]= n t -s , 2 n!
是 d 维标准ห้องสมุดไป่ตู้朗运动.
1
d
2 ( µ , σ ) 布朗运动 过程2:
设 µ ∈ R , σ >0,定义 Bt
µ ,σ 2
=µ t +σ W (t ), ∀t ≥ 0 , t ≥ 0} 为( µ, σ 2)布朗运动。 µ ,σ 2
{Bt
µ ,σ 2
均值函数 mB 相关函数 R
B
(t )=µ t
2 2 ( s , t )= µ st + σ min (s,t ) µ ,σ 2
γ (t )= ∫ e
均值函数
2α s
1 2α t ds = (e -1) 2α
-α t
mBou (t )=E[e W (γ (t )) ]=0, ∀t ≥ 0
相关函数
RBou (s,t )=min{γ (s),γ (t)}e
-α (s +t )
, ∀s,t ≥ 0
布朗运动的三种逼近方式 1. 基于随机游走的逼近 2. 基于帕里-维纳表示 3. 基于小波函数的逼近方法
k =1
差(或称全变差)。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
B = W (t )
均值函数
re t
t≥0
2t
mBre (t )=E[ W (t ) ]=
方差函数
π
, ∀t ≥ 0
DBre (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ] =t-
2
2
2t
π
, ∀t ≥ 0
mBre (t )=E [ W (t ) ]= ∫
+∞
-∞
x
1 e dx 2π t
W (at )~N (0,at )
令
X =a W (t)
x -∞
1 2
P (W (at ) ≤ x)= ∫
1 e 2π at
1 2
y2 2 at
dy = ∫