七年级一元一次方程培优(自己整理)教学提纲

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人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲含参一元一次方程》

第4讲含参一元一次方程【知识目标】目标一理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】（1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】（1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】（1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值．只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】（1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三：解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-．但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去；综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。

初一-第05讲-一元一次方程(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第05讲 --- 一元一次方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解一元一次方程应用题的典型例题，以及其中的解题思路②熟练提炼应用题等量关系，根据等量关系，设立未知数，列方程求解。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）一元一次方程概念1、方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

3、方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

判断一个数是不是方程的解，只需将这个数代入方程，若方程的左边等于右边，则这个数是方程的解，否则不是。

4、等式基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式体系搭建等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

（二）解一元一次方程1、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。

（三）一元一次方程应用 1、形积问题2、打折销售问题1、与打折销售有关的公式：①利润=售价-成本（进价） ②利润率=利润÷成本价×100% ③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） ④售价=标价×打折数 3、行程问题1、相遇问题，它的特点是相向而行，这类问题一般画出示意图帮助分析题意。

这类问题的等量关系一般是：双方所走路程之和=全部路程，这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。

2、追及问题，它的特点是同向而行，等量关系一般是：双方路程之差=原来双方相距的路程。

这只是常见的等量关系，解题时还需结合实际分析等量关系。

3、航行问题：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度逆水速度=船在的静水中速度-水流速度4、解决实际问题一般步骤变形名称具体做法变形依据注意的问题去分母在方程两边同时乘各分母的最小公倍数等式基本性质2不要漏乘不含分母的项，分数线起到括号的作用去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律括号前是负号，去括号后，括号内各项均变号移项把含未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边等式基本性质1移项要变号合并同类项把方程化为(0)ax b a =≠的形式合并同类项法则系数相加，字母及其指数均不变未知数的系数化为1 在方程两边同除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=等式的基本性质2 分子、分母不要颠倒5、其他应用：工程问题、分配问题等考点一：一元一次方程相关概念例1、例1、若（m-2）23mx-﹣2m=1，是关于x的一元一次方程，则m=（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．1 【解析】解：由题意得，2m﹣3=1，m-2≠0，解得，m= -2 故选：C例2、已知：1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程：（1）求a，b的值（2）若x=a是﹣+3=的解，求丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|的值【解析】解：（1）∵1(2)23(2)50aa b y y++-+=是关于y的一元一次方程，∴a+2b=0，13a+2=1，∴a=﹣3，b= 3 2（2）把x=a=﹣3，代入﹣+3=，m=26，故原式=﹣28例3、2093x x x==+是一元一次方程m+m的解，则m=【解析】将x=0带入方程得29m=，3m=±，注意到是一元一次方程，30,3m m-≠=-故考点二：解一元一次方程典例分析例1、我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为2，且2=4﹣2，则该方程2x=4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x=4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，求m的值．【解析】（1）根据差解方程的意义得出ax=b的解为b﹣a，即b﹣a=b a解：（1）∵3x=4.5∴x=1.5∵4.5﹣3=1.5∴3x=4.5是差解方程（2）∵关于x的一元一次方程6x=m+2是差解方程，∴m+2﹣6=，解得：m=例2、已知关于x的方程ax+2=2（a+x）的解是方程|x﹣|﹣1=0的解，求a的值．【解析】解：方程|x﹣|﹣1=0的解为：x=或x=﹣，把x=代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a+），解得：a=﹣2把x=﹣代入方程ax+2=2（a+x）得：a+2=2（a﹣），解得：a=，综上可得，a=﹣2或a=例3、解方程：（1）2﹣=x﹣（2）2[x﹣（x﹣）]=x （3）|4x﹣3|﹣2=3x+4 （4）|x﹣|2x+1||=3【解析】（1）x=1 （2）x=（3）x=﹣或x=9 （4））x=﹣或x=2考点三：一元一次方程的应用例1、如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值【解析】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311解得：x=1答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm例2、如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h（1）用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V；（2）若a=12cm，h=2cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？（3）在（2）中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？（π取3.14，结果精确到0.1cm）【解析】（1）设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h，∴容器底面是一个正方形，其边长为a﹣2h，∴这个无盖长方体容器的容积V=（a﹣2h）2h；（2）若a=12cm，h=2cm，则V=（12﹣2×2）2×2=128cm3；（3）设该圆柱形容器的高度为xcm，根据题意得3.14×（）2×x=128解得x=2.5答：该圆柱形容器的高度至少是2.5cm例3、列方程解应用题某市为提倡节约用水，采取分段方式收费．若每户每月用水不超过22m3，则每立方米收费a元，若每户每月用水超过22m3，则超过部分每立方米加收1.1元．（1）小张家12月用水10m3，共交水费23元，求a的值；（2）老王家12月份共交水费71元，问老王家12月用水多少m3？【解析】解：（1）由题意得：10a=23，解得：a=2.3，（2）设老王家12月用水x m3，根据题意可得：22×2.3+（2.3+1.1）（x﹣22）=71解得：x=28，答：老王家12月用水28m3例4、甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？【解析】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得120x=80（x+1）解得x=2则慢车行驶了3小时设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣）小时，由题意得120（y﹣1﹣）+80y=720×2解得y=88﹣3=5（小时）答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时例5、有一个水池，用两根水管注水，如果单开甲管，5小时注满水池，如果单开乙管，10小时注满水池．（1）如果甲先注水2小时，然后由甲、乙共同注水，还需要多少时间才能把水池注满？（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管6小时可以把一满池水放完，如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？【解析】解：（1）设这个水池的体积为单位“1”，设甲、乙共同注水，还需要x小时才能把水池注满根据题意得：+（+）x=1解得：x=2答：甲、乙共同注水，还需要2小时才能把水池注满；（2）设三管同时开放，a小时才能把一空池注满水，根据题意得：（+﹣）a=1解得：a=答：三管同时开放，小时才能把一空池注满水例6、某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚17元，问：（1）每件服装的标价是多少元？（2）每件服装的成本是多少元？（3）为保证不亏本，最多能打几折？(保留一位小数)【解析】根据同一件衣服进价是相等的，这一等量关系列方程解答。

初一上数学-一元一次方程-培优讲义

一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=；（2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解；【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。

人教版七年级上册数学《一元一次方程》教学说课培优课件

分
析
路程/km
速度/(km/h)
客车

70
卡车

60
卡车行驶时间 − 客车行驶时间 =

−
=1
60 70
时间/h

70
x
60
思
考
用算术方法和用方程解决这个问题，各有什么特点
？
算术方法
列方程
计算过程
根据相等关系列出的等式
只含有已知数
既含有已知数，
又含有用字母表示的未知数
小结
列方程解实际问题初始的两步：
解：设沿跑道跑x周，可以跑3000m.
400x=3000
根据下列问题，设未知数，列出方程：
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅
笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设买甲种铅笔支，则买乙种铅笔 20 − 支.
0.3 + 0.6 20 − = 9.
巩固练习
练习
六
根据下列问题，设未知数，列出方程：
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
2 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两
种铅笔共 20 支，两种铅笔各买了多少支？
巩固练习
练习
六
1 环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3 000 m？
解方程是一个具体的过程，
方程的解是解方程的结果.
练习五
x=-3和x=2中哪个是方程2x+3=3x+1的解？
解：当x=-3时，
左边=__________=_______.

七年级(上)培优讲义：第13讲一元一次方程

第13 讲一元一次方程一、新知建构1. 有关概念一元一次方程方程的解．2. 解一元一次方程基本步骤检验方法．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题．二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2．解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3．甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（）Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（）Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元Ｃ．1.12a元Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（）（A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值．六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。

一元一次方程知识点总结教学提纲

一元一次方程知识点总结一、等式与方程1．等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式．（2）性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．若a b=那么a c b c+=+②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．若a b=那么有ac bc=或a c b c÷=÷（0c≠）③对称性：若a b=，则b a=．④传递性：若a b=，b c=则a c=．（3）拓展：①等式两边取相反数，结果仍相等．如果a b=，那么a b-=-②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．如果0a b=≠，那么11 a b =③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．2．方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．（2）说明：①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．未知数次数最高是几就叫几次方程．④方程有整式方程和分式方程．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．二、一元一次方程1．一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．（2）一般形式：0ax b+=（a，b为常数，x为未知数，且0a≠）．（3）注意：①该方程为整式方程．②该方程有且只含有一个未知数．③该方程中未知数的最高次数是1．④化简后未知数的系数不为0．如：212x x-=，它不是一元一次方程．⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如13xx+=，它不是一元一次方程．2．一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．（3）移项：①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．②说明：Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：①去分母——等式的性质②②去括号——分配律③移项——等式的性质①④合并——合并同类项法则⑤系数化为1——等式的性质②⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）（5）一般方法：①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（一般都是把未知数移到一起）④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b=（0a≠）的形式．⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．3．一元一次方程的应用：（1）解决实际应用题的策略：①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．（2）分析问题方法：①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法：一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．（4）找等量关系的方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．④借助线段图确定等量关系。

七年级上一元一次方程培优讲义(精品)

值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。否则就不是方程
的解。
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一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（ 1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（ 2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不
变
（ 3）移项（ 4）合并同类项
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化
为
，
如方程： x 3 － x 4 =1.6 ，将其化为： 0.5 0.2
有变化，
－
=1.6
。方程的右边没
这要与“去分母”区别开。例 7、下列等式变形正确的是 ( )
A. 若 x y , 则 x 5 y 5
B.
C.若
a c
b c
移项要变号只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（ 5）方程两边同除相除时系数不等于 0。若为 0，则方程可能无
以未知数的系数
解或有无穷多解。
重点题型总结及应用
知识点一：一元一次方程的概念
例 1、已知下列各式：
①2x－5＝1；② 8－7＝1；③ x＋y；④ 1 x－y＝x2；⑤ 3x＋y＝6； 2
÷y 得 x=y
3、运用等式性质进行的变形 , 正确的是 ( )
A. 如果 a=b 那么 a+c=b-c;
B.
如果 6＋a=b-6 那么 a=b;
x
2？
举一反三：
已知
y 2
m
my m ．（1）当 m
4 时，求 y 的值；（2）当 y
4 时，求 m 的值．

七年级一元一次方程培优

七年级一元一次方程培优--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________七年级上册《一元一次方程》培优专题一：一元一次方程概念的理解:例：若()2219203m x x m --+=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是。

练习：1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为2.若方程()()321x k x -=+与62k x k -=的解互为相反数，则k= 。

3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（）A.4个B.8个C.12个D.16个专题二：一元一次方程的解法（一）利用一元一次方程的巧解：例：（1）0.2•表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2•化成分数吗？（2）0.23••表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23••化成分数吗？（二）方程的解的分类讨论：当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。

（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当0,0a b =≠时，方程无解；（3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。

例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。

练习：1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。

10初一上数学培优第十讲一元一次方程1

第十讲一元一次方程（1）－－概念及解法一、重要知识点回顾1.只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．必须满足下面三个特点：（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是1。

判断方法：要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为的形式，则这个方程就为一元一次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

2.解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

解一元一次方程的一般步骤及根据：1.去分母——等式的性质22.去括号——乘法分配律3.移项——等式的性质14.合并同类项——乘法分配律5.系数化为1——等式的性质26.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等二、典型例题分析:解方程解：去分母（有时需要添括号），得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得检验：把代入原方程左边=右边=左边=右边∴是原方程的解三、基础练习（一）选择题1．下列方程解相同的是（）．A．方程536x+=与方程24x=B．方程31x x=+与方程241x x=-C．方程12x+=与方程12x+=D．方程63(52)5x x--=与方程6153x x-=2．下列解方程的过程中，移项错误的是()．A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6 B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6 C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4 D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝43．方程1143x=的解是（）．A．12x=B．112x=C．43x=D．34x=4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是()．A．4x-1-x-3＝1 B．4x-1-x+3＝1 C．4x-2-x-3＝1 D．4x-2-x+3＝15．方程1302x--=可变形为()．A．3-x-1＝0 B．6-x-1＝0 C．6-x+1＝0 D．6-x+1＝26．3x-12的值与13-互为倒数，则x的值为()．A．3 B．-3 C．5 D．-57．解方程21101136x x++-=时，去分母，去括号后，正确结果是()．A．4x+1-10x+1＝1 B．4x+2-10x-1＝1C．4x+2-10x-1＝6 D．4x+2-10x+1＝68．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（）A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏（二）填空题9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________ 可变形为2x-3x＝-2-3，这种变形叫_______ _．(2)方程-3x＝5，利用，把方程两边都_______，把x的系数化为1，得x＝________．10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x＝-1，k的值是_______．11．如果式子2x+3与x-5的值互为相反数，那么x＝________．12．将方程1111124396x x x x+++=去分母后得到方程________．13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a-b．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．14．一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s ．（三）解答题15．解下列方程(1)4(2x -1)-3(5x+2)＝3(2-x ) (2)12323x x x ---=-(3)0.10.2130.020.5x x -+-=16．式子12-3(9-y )与5(y -4)的值相等，求2y (y 2+1)的值．17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为31155x x ++∙=-，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是14，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．四、拓展练习例：若是关于x 的一元一次方程，则方程的解是。

一元一次方程培优教案

一元一次方程培优教案第一章：一元一次方程的概念与解法一、教学目标：1. 理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法。

2. 能够应用一元一次方程解决实际问题。

二、教学内容：1. 一元一次方程的概念：定义、形式。

2. 一元一次方程的解法：代入法、加减法、移项法。

三、教学步骤：1. 引入一元一次方程的概念，引导学生理解一元一次方程的形式。

2. 讲解一元一次方程的解法，通过例题展示解题过程。

3. 练习题：让学生独立解决一些简单的一元一次方程问题。

四、教学评价：1. 课堂问答：检查学生对一元一次方程概念的理解。

2. 练习题：评估学生解决实际问题的能力。

第二章：一元一次方程的解法拓展一、教学目标：1. 掌握一元一次方程的解法拓展，包括因式分解法、配方法。

2. 能够灵活运用解法拓展解决一元一次方程问题。

二、教学内容：1. 一元一次方程的解法拓展：因式分解法、配方法。

2. 应用解法拓展解决实际问题。

1. 讲解一元一次方程的解法拓展，包括因式分解法和配方法，通过例题展示解题过程。

2. 练习题：让学生独立解决一些应用解法拓展的一元一次方程问题。

四、教学评价：1. 课堂问答：检查学生对一元一次方程解法拓展的理解。

2. 练习题：评估学生灵活运用解法拓展解决实际问题的能力。

第三章：一元一次方程与实际问题一、教学目标：1. 能够将实际问题转化为一元一次方程，并解决实际问题。

2. 培养学生的实际问题解决能力。

二、教学内容：1. 一元一次方程与实际问题的转化：数量关系、比例关系。

2. 解决实际问题的一元一次方程应用。

三、教学步骤：1. 讲解一元一次方程与实际问题的转化方法，展示实际问题转化为一元一次方程的过程。

2. 练习题：让学生独立解决一些实际问题转化为一元一次方程的问题。

四、教学评价：1. 课堂问答：检查学生对一元一次方程与实际问题转化的理解。

2. 练习题：评估学生解决实际问题的能力。

第四章：一元一次方程的综合应用1. 能够综合运用一元一次方程解决复杂问题。

一元一次方程培优教案

一、教案基本信息教案名称：一元一次方程培优教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解一元一次方程的概念及其一般形式。

2. 学会解一元一次方程的常用方法。

3. 能够应用一元一次方程解决实际问题。

教学重点：1. 一元一次方程的概念及一般形式。

2. 解一元一次方程的常用方法。

教学难点：1. 解一元一次方程的步骤及注意事项。

2. 应用一元一次方程解决实际问题。

二、教学方法1. 讲授法：讲解一元一次方程的概念、一般形式及解方程的方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用一元一次方程进行解决。

3. 练习法：通过课堂练习，巩固所学知识。

三、教学内容第一课时：1. 一元一次方程的概念及一般形式讲解一元一次方程的定义，引导学生理解方程的意义。

示例：2x + 3 = 7 2. 解一元一次方程的常用方法讲解解一元一次方程的步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。

并通过示例演示解题过程。

第二课时：3. 解一元一次方程的练习布置课堂练习，让学生独立解一元一次方程。

选做一些实际问题，引导学生运用一元一次方程进行解决。

4. 应用一元一次方程解决实际问题分析实际问题，引导学生运用一元一次方程进行解决。

举例：某商品打8折后售价为120元，求原价。

四、教学评价1. 课堂练习：检查学生对一元一次方程的解法掌握情况。

2. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。

3. 实际问题解决：评价学生在解决实际问题中运用一元一次方程的能力。

五、教学资源1. 教案、PPT课件2. 课堂练习题及答案3. 实际问题案例及相关资料六、教学步骤第一课时：1. 引入新课，讲解一元一次方程的概念及一般形式。

2. 讲解解一元一次方程的常用方法，示例演示解题过程。

3. 课堂练习，学生独立解一元一次方程。

第二课时：1. 讲解解一元一次方程的练习，分析实际问题。

2. 引导学生运用一元一次方程解决实际问题。

3. 课堂总结，布置课后作业。

六、教学步骤（续）第二课时（续）：4. 应用练习：提供几个实际问题，让学生独立解决，并讨论解题思路和策略。

七年级培优竞赛讲义——第9讲：绝对值与一元一次方程

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．【例题讲解】例1.方程5665-=+x x 的解是(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．例2.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有()．(希望杯邀请赛试题)A ．5B ．4C ．3D ．2思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．例3.解方程：413=+-x x ；(天津市竞赛题)思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．例4.解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．例5.已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．※巩固训练※1．方程1)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是()．A ．一2B ．0C ．32D ．不存在6．方程055=-+-x x 的解的个数为()．(“祖冲之杯”邀请赛试题)A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个7．已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是()(山东省竞赛题)A ．5210或B ．5210-或C ．5210或-D ．5210--或8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于()．(重庆市竞赛题)A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于()．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是()．A ．m>n>k B ．n>k>mC ．k>m>nD ．m>k>n 17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有()个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．(“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22．(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．第九讲绝对值与一元一次方程参考答案。

七年级数学一元一次方程培优

一元一次方程培优知识点1：等式及其性质重点：等式的基本性质的理解难点：性质的运用等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 例：已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．．成立的是（）（A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3532+=b a 知识点2：一元一次方程的概念重点：一元一次方程的概念难点：正确理解概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a .例１、下列各式：①3x+2y=1 ②m-3=6 ③x/2+2/3=0.5 ④x 2+1=2 ⑤z/3-6=5z ⑥(3x-3)/3=4 ⑦5/x+2=1⑧x+5中，一元一次方程的个数是（）Ａ、1 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、4分析：根据一元一次方程定义，化简后具备以下五个条件：①含有一个未知数②未知数的次数为一次③未知数的系数不为０④分母中不含有未知数⑤是等式，才是一元一次方程．这些条件缺一不可，所以根据上述要求可以确定答案为Ｄ．例2、如果(m-1)x |m|+5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．知识点3：解一元一次方程重点：解一元一次方程的步骤例1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最简便的方法应该首先（）Ａ、去括号Ｂ、移项Ｃ、方程两边同时乘以１０Ｄ、方程两边同时除以4.5 例2、解方程（1）512(69)812()8323x x x ---=- （2）34113843242x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦难点：熟练解方程知识点4：一元一次方程实际应用重点：找等量关系列方程难点：审题找准等量关系，巧妙设未知量例1、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。

七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的概念及解法)第六讲

一元一次方程的概念及解法板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子.叫做等式．在等式中.等号左、右两边的式子.分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式.可以是公式、方程.也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母.等式才能成立．方程56x=才成立．x+=需要1矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式都不能成立．如125+=-．+=.11x x等式由代数式构成.但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中.哪些是等式⑴31x-⑵523x+=⑸()x+<⑷53-=⑶212x y+=-=-⑹1x y z xz yz【解题思路】等式的概念【题目答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程.如21x+=.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解.也叫方程的根.☞关于方程中的未知数和已知数：未知数：是指要求的数.未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中.a 、2b -、c 是已知数.x 、y 是未知数．【例2】下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解题思路】方程的概念【题目答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固练习】判断下列各式是不是方程.如果是.指出已知数和未知数；如果不是.说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解题思路】判断一个式子是不是方程.一要看是否为等式.二要看是否含未知数．【题目答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解题思路】方程的解（注意严格要求学生的书写格式.不能直接将数值代入方程.如3(1)15(1)⨯--=+-.这样写不对的原因在于未检验之前.并不知道1x =-是否是方程的解）【题目答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边.得左边3318=⨯-=.右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解 ⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边.得左边3(1)14=⨯--=-.右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解题思路】方程的解【题目答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边22(3)12=⨯+-+=.右边2(3)32=---= ∴左边=右边∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把1x =⎧⎨分别代入原方程的左边和右边.得左边21013=⨯++=.右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边20(2)11=⨯+-+=-.右边0(2)31=---=- ∴左边=右边∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】若2-为关于x 的一元一次方程.713mx +=的解.则m 的值是【解题思路】将2x =-代入原方程中.即可求解【题目答案】3m =-【巩固练习】关于x 的方程320x a +=的根是2.则a 等于【解题思路】略【题目答案】3-板块二等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则am bm =.a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中.等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减.同时乘以或同时除以.不能漏掉某一边⑵等式变形过程中.两边同加或同减.同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中.以下两个性质也经常用到：对称性.即：如果a b =.那么b a =．传递性.即：如果a b =.b c =.那么a c =．又称为等量代换考点难点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】根据等式的性质填空：(1)4a b =-.则______a b =+； (2)359x -=.则39x =+ ；(3)683x y =+.则x =_________； (4)122x y =+.则x =__________．【解题思路】(1)4a b =+.在等式两端同时加上b ；(2)395x =+.在等式两端同时加上5；(3)836y +.在等式的两端同时乘以16；(4)24y +.在等式的两端同时乘以2．【题目答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固练习】下列变形中.不正确的是( )A ．若25x x =.则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=.则1012x x -=D ．若x ya a=.则ax ay =【解题思路】根据等式的性质二.除数不能为0【题目答案】A【巩固练习】用适当数或等式填空.使所得结果仍是等式.并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+.那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=.那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=.那么34x y -=______；根据⑷如果34x =.那么x =_____________；根据【解题思路】略【题目答案】⑴1-.等式的性质1；⑵y .等式的性质1；⑶8.等式的性质2；⑷43.等式的性质2板块三一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数.并且未知数的最高次数是1.系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数.“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠.a .b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠.a .b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式.所以判断一个方程是不是一元一次方程.可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形.直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的.方程ax b =的解需要分类讨论完成【例6】下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解题思路】方程、等式的概念【题目答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+C ． 22(2)3y y y y +=--D ．3813x y -= 【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】在初中数学中.我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程.请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中.属于一次方程的序号填入圆圈⑵中.既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．（2）（1）⑤③①②（2）（1）【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】如图【例7】若131m x -=是一元一次方程.那么m = 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】2m =【巩固练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程.则k = 【解题思路】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【题目答案】2k =-【巩固练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程.则a = .方程的解是【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=.则10a -=.∴1a =.1x =-【巩固练习】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程.则m 、n 需要满足的条件为【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】210m -≠且1n =.即12m ≠且1n =±板块四一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．温馨提示：不要漏乘不含分母的项.分子是个整体.含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地.先去小括号.再去中括号.最后去大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项.不要弄错符号．3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边. 不含未知数的项移到方程的另一边．温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ ).得到方程的解 b x a=．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例10】下列等式中变形正确的是（）A.若31422x x -+=.则3144x x -=-B. 若31422x x -+=.则3182x x -+=C. 若31422x x -+=.则3180x -+=D. 若31422x x -+=.则3184x x -+=【解题思路】考查去分母解方程第一步骤.学生很容易出现漏乘等问题造成失分【题目答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解题思路】按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答【题目答案】35x =-．【巩固练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解题思路】略【题目答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固练习】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解题思路】略【题目答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质.将小数化为整数.然后再进行解方程计算【例12】解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-．解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母.得．根据等式的性质( )移项.得．根据等式的性质( ) 合并同类项.得．系数化为1.得．根据等式的性质( )【解题思路】注意解方程的基本步骤与等式的性质【题目答案】去分母.得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号.得21340.8306x x x -=---．移项.得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项.得51.81x =．系数化为1.得5259x =．根据等式的性质2【例13】 0.130.41200.20.5x x +--=【解题思路】略【题目答案】原方程可变形为304102025x x +--=去分母得5(30)2(410)200x x +--=去括号得5150820200x x +-+= 移项、合并得330x -= ∴10x =-【巩固练习】解下列方程：⑴2 1.210.70.3x x --=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=； ⑶1(0.170.2)10.70.03x x --= ⑷0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=⑸42230%50%x x -+-= ⑹1(4)335190.50.125x x x +++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=-⑻0.10.90.210.030.7x x --= 【解题思路】解这类方程通常先应用分数的基本性质.将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x --=.而后解得2126x =； ⑵原方程可化为49532523x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x +--=+解得9x =； ⑶原方程可化为1017201x x --=.解得14x =．⑷原方程可化为1002010100.325x x -+-=.则4812.3x =.解得41160x =． ⑸原方程可化为10401020235x x -+-=.解得13110x =． ⑹解得7x =-． ⑺解得9x =．⑻解得48127619x ==．【题目答案】略☞逐层去括号含有多重括号时.去括号的顺序可以从内向外.也可以从外向内. 【例14】解方程：111[16]20343x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭【解题思路】原方程可变形为11(1)66043x --+= 整理得1103x -=解得3x =【题目答案】3x =【巩固练习】解方程：()11111[1]3261224x ------=-．【解题思路】11111[(1)]3261224x ------=-. 11111[(1)]3261224x -+-=-. 111(1)268x +=-.1112x =-．【题目答案】1112x =-【例15】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解题思路】注意一定去括号的顺序.解得12x =．【题目答案】12x =【巩固练习】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解题思路】略【题目答案】117x =-【巩固练习】解下列方程：(1)[]{}234(51)82071x ----=(2)11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】(1)略；(2)原方程可化为：11110713926x x x x x +--+=-+. 186229183021x x x x x -++=-+-.513x =．【题目答案】（1）1x = （2）513x =☞整体思想注意观察方程中.完全一样的整式【例16】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解题思路】原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=.即111()(23)0111319x +--=.又1110111319+-≠.所以230x -=.即32x =．【题目答案】32x =【巩固练习】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【解题思路】按常规去括号整理后再解.显然较繁.应用整体思想求解()()()()1131121123x x x x +++=-+-.()()771123x x +=-.括号.移项.可解得5x =-．【题目答案】5x =-【巩固练习】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】这一方程在变换过程中.宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6.得3323(7)32(7)55x x --=--.333(7)2(7)3255x x --+-=-.333(7)2(7)155x x ----=.3345(7)1,53x x --==．【题目答案】343x =343x =课堂检测1.下列各式不是方程的是：( )A ． 24y y -=B ． 2m n =C ． 222p pq q -+D ． 0x = 【解题思路】略【题目答案】C ．2.解方程⑴ 11(4)(3)34y y -=+ ⑵ 3126x x x +-=-⑶253164x x ---=⑷42132[()]3324x x x --= 【解题思路】略【题目答案】⑴ 1y =．⑵ 4x =．⑶13x =．⑷127x =-．3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=【解题思路】原方程可化为10521030332x x x ---=.解得513x =．【题目答案】513x =1. 解方程：⑴12225y y y -+-=-⑵122233x x x -+-=-【解题思路】⑴105(1)202(2)y y y --=-+.10552024y y y -+=--.117y =． ⑵按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答可得：35x =-．【题目答案】⑴117y =．⑵35x =-2. 解方程：111233{[]}234324x x x x ⎛⎫----=+ ⎪⎝⎭【解题思路】略【题目答案】解得229x =-3. 解方程：0.10.40.2111.20.3x x -+-=课后练习【解题思路】原方程可化为42101123x x -+-=.解得8x =-．【题目答案】8x =-．4. 求方程31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦的解．【解题思路】原方程可化为：33333()()4167167x x x x -+-=-.注意在运算过程中把37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭视为一个整体.解得0x =．【题目答案】0x =.。

一元一次方程培优教案

一、教案基本信息教案名称：一元一次方程培优教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解一元一次方程的概念及其应用；2. 学会解一元一次方程的基本方法；3. 能够运用一元一次方程解决实际问题。

教学内容：1. 一元一次方程的定义及例题解析；2. 一元一次方程的解法及练习；3. 一元一次方程在实际问题中的应用。

教学方法：1. 采用讲解、示例、练习、讨论相结合的方式进行教学；3. 鼓励学生积极参与，提高解决问题的能力。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题及答案；3. 相关实际问题案例。

二、教学过程第一课时1. 导入新课教师通过展示生活中的实际问题，引导学生认识到数学在生活中的重要性，激发学生学习兴趣。

示例：小明去文具店购买了一些铅笔，每支铅笔的价格为2元，他一共花费了20元。

请问他购买了多少支铅笔？2. 讲解概念教师讲解一元一次方程的定义，引导学生理解一元一次方程的基本构成。

一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，且a≠0）的方程称为一元一次方程。

3. 解法讲解教师讲解一元一次方程的解法，引导学生掌握解题步骤。

解法步骤：（1）移项，将方程中的常数项移至等号另一边；（2）合并同类项，将方程中的同类项合并；（3）化简，将方程化简为ax = b的形式；（4）解x，将方程两边除以a，得到x的值。

4. 例题解析教师展示例题，引导学生跟随步骤解题，巩固解法。

例题：解方程3x 5 = 2。

解题步骤：（1）移项，将-5移至等号右边，得3x = 2 + 5；（2）合并同类项，得3x = 7；（3）化简，得x = 7 / 3；（4）解x，得x = 2.33。

5. 课堂练习学生独立完成练习题，教师巡回指导。

练习题：（1）解方程4x + 3 = 11；（2）解方程-2x + 7 = 0。

第二课时6. 复习导入教师简要复习一元一次方程的概念和解法，为新课做准备。

7. 解法练习教师展示一些不同形式的方程，引导学生运用解法进行解答。

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